自动控制原理课件.ppt

华中科技大学控制系 樊慧津 自动控制原理 AutomaticControlTheory 学时 48 8 3 5考试 闭卷考试参考书目 王敏 秦肖臻编自动控制原理 北京 化学工业出版社 2003孙德宝主编 自动控制原理 北京 化学工业出版社 2002胡寿松主编 自动控制原理 第三版 北京 国防工业出版社 1994王划一主编 自动控制原理 北京 国防工业出版社 2001 实验安排4周 332 322 8 11周 620 南一楼0401 0402班周一 11 12 0403 0404班周四 11 12 4周 332 322 7 11周 620 南一楼0405 0406班周二 9 10 0407 0408班周二 11 12 14周计算中心四楼401机房0401 0408班周五 1 2 3 主要内容绪论控制系统的数学模型线性系统的时域分析线性系统的频域分析线性系统的校正方法线性离散控制系统 采样系统分析 状态空间分析设计 4 第一章绪论 1 1自动控制的基本概念 明确什么叫自动控制 正确理解被控对象 控制装置和自控系统等概念 1 2自动控制理论的发展 了解自动控制理论发展的四个主要阶段 1 3控制系统的分类 明确系统常用的分类方式 掌握各类别的含义和信息特征1 4对控制系统的基本要求 明确对自控系统的基本要求 正确理解三大性能指标的含义 5 手动控制 人在控制过程中起三个作用 1 观测 用眼睛去观测温度计和转速表的指示值 2 比较与决策 人脑把观测得到的数据与要求的数据相比较 并进行判断 根据给定的控制规律给出控制量 3 执行 根据控制量用手具体调节 如调节阀门开度 改变触点位置 控制 操纵 节制使不超出范围或随意活动 6 1 1自动控制的基本概念 在现代科学技术的众多领域中 自动控制技术起着越来越重要的作用 如数控车床按预定程序自动切削 人造卫星准确进入预定轨道并回收等 除了在工业上广泛应用外 近几十年来 随着计算机技术的发展和应用 在宇航 机器人控制 导弹制导及核动力等高新技术领域中 自动控制技术更具特别重要的作用 不仅如此 自动控制技术的应用范围现在已扩展到生物 医学 环境 经济管理和其它许多社会生活领域中 特别在化学工业中的应用有传热设备控制 反应器控制 流体输送设备控制 精馏塔控制等 自动控制已成为现代社会生活中不可缺少的一部分 7 自动控制 自动控制 就是在没有人直接参与的情况下 利用外加的设备或装置 控制装置 使机器 设备或生产过程 控制对象 的某个工作状态或参数 被控量 自动地按照预定的规律运行 自动控制系统 是指能够对被控对象的工作状态进行自动控制的系统 它是控制对象以及参与实现其被控制量自动控制的装置或元部件的组合 一般由控制装置和被控对象组成 一般包括三种机构 测量机构 比较机构 执行机构 自动控制系统的功能和组成是多种多样的 其结构有简单也有复杂 它可以只控制一个物理量 也可以控制多个物理量甚至一个企业机构的全部生产和管理过程 它可以是一个具体的工程系统 也可以是比较抽象的社会系统 生态系统或经济系统 8 控制系统分析 已知系统的结构参数 分析系统的稳定性 求取系统的动态 静态性能指标 并据此评价系统的过程称为控制系统分析 控制系统设计 或综合 根据控制对象和给定系统的性能指标 合理的确定控制装置的结构参数 称为控制系统设计 被控量 指被控对象中要求保持给定值 要按给定规律变化的物理量 被控量又称输出量 输出信号 给定值 系统输出量应达到的数值 例如与要求的炉温对应的电压 扰动 是一种对自动控制系统输出量起反作用的信号 如电源电压的波动 环境温度的变化 9 开环控制是指系统的被控制量 输出量 只受控于控制作用 而对控制作用不能反施任何影响的控制方式 采用开环控制的系统称为开环控制系统 优点 结构简单 成本低廉 易于实现缺点 对扰动没有抑制能力 控制精度低 控制方式 开环控制 10 闭环控制 闭环控制是指系统的被控制量 输出量 与控制作用之间存在着负反馈的控制方式 采用闭环控制的系统称为闭环控制系统或反馈控制系统 闭环控制是一切生物控制自身运动的基本规律 人本身就是一个具有高度复杂控制能力的闭环系统 优点 具有自动补偿由于系统内部和外部干扰所引起的系统误差 偏差 的能力 因而有效地提高了系统的精度 缺点 系统参数应适当选择 否则可能不能正常工作 11 反馈的概念 反馈 把输出量送回到系统的输入端并与输入信号比较的过程 若反馈信号是与输入信号相减而使偏差值越来越小 则称为负反馈 反之 则称为正反馈 显然 负反馈控制是一个利用偏差进行控制并最后消除偏差的过程 又称偏差控制 同时 由于有反馈的存在 整个控制过程是闭合的 故也称为闭环控制 12 比较以上两种控制方式 由于开环控制的特点是控制装置只按照给定的输入信号对被控制量进行单向控制 而不对控制量进行测量并反向影响控制作用 这样 当炉温偏离希望值时 开关K的接通或断开时间不会相应改变 因此 开环控制不具有修正由于扰动 使被控制量偏离希望值的因素 而出现的被控制量与希望值之间偏差的能力 即抗干扰能力差 在闭环控制中 被控量一般是由测量装置检测并反馈到输入端 然后由比较装置将它与输入信号综合得到偏差 误差 有时 测量与综合作用是由一个装置完成的 如水银温度计 由于采用了接触式水银温度计 可以不断对炉温进行测量和比较 根据炉温的实际偏差进行控制 提高了控制精度和抗干扰能力 13 是开环和闭环控制相结合的一种控制方式 它是在闭环控制回路的基础上 附加一个输入信号或扰动信号的顺馈通路 用来提高系统的控制精度 顺馈通路通常由对输入信号的补偿器或对扰动信号的补偿器组成 优点 具有很高的控制精度 可以抑制几乎所有的可量测扰动缺点 补偿器的参数要有较高的稳定性 复合控制 14 方框图的概念 方框控制装置和被控对象分别用方框表示信号线方框的输入和输出以及它们之间的联接用带箭头的信号线表示输入信号进入方框的信号输出信号离开方框的信号 15 开环控制系统方框图 被控制量 输入量 加在电阻丝两端的电压被控制对象 炉子被控制量 输出量 炉温控制装置 开关K和电热丝 对被控制量起控制作用 16 闭环控制的电加热炉方框图 17 人取书的控制过程 18 闭环控制系统方框图 19 反馈控制系统方框图 反馈控制系统的组成 名词术语和定义 20 1 2自动控制理论的发展 自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学 既是一门古老的 已臻成熟的学科 又是一门正在发展的 具有强大生命力的新兴学科 从1868年马克斯威尔 J C Maxwell 提出低阶系统稳定性判据至今一百多年里 自动控制理论的发展可分为四个主要阶段 第一阶段 经典控制理论 或古典控制理论 的产生 发展和成熟 第二阶段 现代控制理论的兴起和发展 第三阶段 大系统控制兴起和发展阶段 第四阶段 智能控制发展阶段 21 经典控制理论 控制理论的发展初期 是以反馈理论为基础的自动调节原理 主要用于工业控制 第二次世界大战期间 为了设计和制造飞机及船用自动驾驶仪 火炮定位系统 雷达跟踪系统等基于反馈原理的军用装备 进一步促进和完善了自动控制理论的发展 1868年 马克斯威尔 J C Maxwell 提出了低阶系统的稳定性代数判据 1875年和1896年 数学家劳斯 Routh 和赫尔威茨 Hurwitz 分别独立地提出了高阶系统的稳定性判据 即Routh和Hurwitz判据 二战期间 1938 1945年 奈奎斯特 H Nyquist 提出了频率响应理论1948年 伊万斯 W R Evans 提出了根轨迹法 至此 控制理论发展的第一阶段基本完成 形成了以频率法和根轨迹法为主要方法的经典控制理论 22 经典控制理论的基本特征 1 主要用于线性定常系统的研究 即用于常系数线性微分方程描述的系统的分析与综合 2 只用于单输入 单输出的反馈控制系统 3 只讨论系统输入与输出之间的关系 而忽视系统的内部状态 是一种对系统的外部描述方法 基本方法 根轨迹法 频率法 PID调节器 频域 反馈控制是一种最基本最重要的控制方式 引入反馈信号后 系统对来自内部和外部干扰的响应变得十分迟钝 从而提高了系统的抗干扰能力和控制精度 与此同时 反馈作用又带来了系统稳定性问题 正是这个曾一度困扰人们的系统稳定性问题激发了人们对反馈控制系统进行深入研究的热情 推动了自动控制理论的发展与完善 因此从某种意义上讲 古典控制理论是伴随着反馈控制技术的产生和发展而逐渐完善和成熟起来的 23 现代控制理论 经典控制理论只适用于单输入 单输出的线性定常系统 只注重系统的外部描述而忽视系统的内部状态 在实际应用中有很大局限性 随着航天事业和计算机的发展 20世纪60年代初 在经典控制理论的基础上 以线性代数理论和状态空间分析法为基础的现代控制理论迅速发展起来 1954年贝尔曼 R Belman 提出动态规划理论1956年庞特里雅金 L S Pontryagin 提出极大值原理1960年卡尔曼 R K Kalman 提出多变量最优控制和最优滤波理论在数学工具 理论基础和研究方法上不仅能提供系统的外部信息 输出量和输入量 而且还能提供系统内部状态变量的信息 它无论对线性系统或非线性系统 定常系统或时变系统 单变量系统或多变量系统 都是一种有效的分析方法 基本方法 状态方程 时域 大系统理论 20世纪70年代开始 现代控制理论继续向深度和广度发展 出现了一些新的控制方法和理论 如 1 现代频域方法以传递函数矩阵为数学模型 研究线性定常多变量系统 2 自适应控制理论和方法以系统辨识和参数估计为基础 在实时辨识基础上在线确定最优控制规律 3 鲁棒控制方法在保证系统稳定性和其它性能基础上 设计不变的鲁棒控制器 以处理数学模型的不确定性 25 随着控制理论应用范围的扩大 从个别小系统的控制 发展到若干个相互关联的子系统组成的大系统进行整体控制 从传统的工程控制领域推广到包括经济管理 生物工程 能源 运输 环境等大型系统以及社会科学领域 大系统理论是过程控制与信息处理相结合的系统工程理论 具有规模庞大 结构复杂 功能综合 目标多样 因素众多等特点 它是一个多输入 多输出 多干扰 多变量的系统 大系统理论目前仍处于发展和开创性阶段 智能控制 是近年来新发展起来的一种控制技术 是人工智能在控制上的应用 智能控制的概念和原理主要是针对被控对象 环境 控制目标或任务的复杂性提出来的 它的指导思想是依据人的思维方式和处理问题的技巧 解决那些目前需要人的智能才能解决的复杂的控制问题 被控对象的复杂性体现为 模型的不确定性 高度非线性 分布式的传感器和执行器 动态突变 多时间标度 复杂的信息模式 庞大的数据量 以及严格的特性指标等 智能控制是驱动智能机器自主地实现其目标的过程 27 智能控制是从 仿人 的概念出发的 其方法包括学习控制 模糊控制 神经元网络控制和专家控制等方法 28 1 3控制系统的分类恒值系统和随动系统 按参考输入形式分类 恒值系统是指参考输入量保持常值的系统 其任务是消除或减少扰动信号对系统输出的影响 使被控制量 即系统的输出量 保持在给定或希望的数值上 随动系统是指参考输入量随时间任意变化的系统 其任务是要求输出量以一定的精度和速度跟踪参考输入量 跟踪的速度和精度是随动系统的两项主要性能指标 29 线性系统和非线性系统 按照组成系统的元件特性分类 线性系统是指构成系统的所有元件都是线性元件的系统 其动态性能可用线性微分方程描述 系统满足叠加原理 非线性系统是指构成系统的元件中含有非线性元件的系统 其只能用非线性微分方程描述 不满足叠加原理 同时把可以进行线性化处理的系统或元件特性称为非本质非线性特性 反之 称之为本质非线性 它只能用非线性理论分析研究 30 连续系统和离散系统 按照系统内信号的传递形式分类 连续系统是指系统内各处的信号都是以连续的模拟量传递的系统 如果系统内某处或数处信号是以脉冲序列或数码形式传递的系统则称为离散系统 其脉冲序列可由脉冲信号发生器或振荡器产生 也可用采样开关将连续信号变成脉冲序列 这类控制系统又称为采样控制系统或脉冲控制系统 而用数字计算机或数字控制器控制的系统又称为数字控制系统或计算机控制系统 31 1 4控制系统的性能指标 32 稳定性系统在受到扰动作用后自动返回原来的平衡状态的能力 如果系统受到扰动作用 系统内或系统外 后 能自动返回到原来的平衡状态 则该系统是稳定的 稳定系统的数学特征是其输出量具有非发散性 反之 系统是不稳定系统 33 动态性能当系统受到外部扰动的影响或者参考输入发生变化时 被控量会随之发生变化 经过一段时间 被控量恢复到原来的平衡状态或到达一个新的给定状态 称这一过程为过渡过程在时域中 常用单位阶跃信号作用下 系统输出的超调量 p 上升时间Tr 峰值时间Tp 过渡过程时间 或调整时间 Ts和振荡次数N等特征量表示 34 稳态误差指稳定系统在完成过渡过程后的稳态输出偏离希望值的程度 开环控制系统的稳态误差通常与系统的增益或放大倍数有关 而反馈控制系统 闭环系统 的控制精度主要取决于它的反馈深度 稳态误差越小 系统的精度越高 它由系统的稳态响应反映出来 35 作业Page6 2 3Duedate 29thSep 周六 36 小结明确什么叫自动控制 正确理解被控对象 控制装置和自控系统等概念 了解自动控制理论发展的四个主要阶段 明确系统常用的分类方式 掌握各类别的含义和信息特征明确对自控系统的基本要求 正确理解三大性能指标的含义 37 预备知识 复变函数 Laplace变换 拉氏变换 Z变换常微分方程解法 Laplace变换和反变换电路理论基本的电子学和力学知识 第二章控制系统的数学模型 2 1基本概念 数学模型及常见的系统 2 2时域模型 微分方程 微分方程的建立及线性化 2 3复域模型 传递函数 借助拉氏变换 给出系统传递函数 经典控制理论中引用最广泛的一种模型 2 4控制系统方块图 掌握方块图的建立及化简 2 5状态空间模型 控制系统的内部模型 描述了系统内部状态 系统输出与系统输入之间的关系 深入地揭示了系统的动态特性 是现代控制理论分析 设计系统的基础 掌握系统的状态变量表达式的求取及它与传递函数之间的关系 2 1基本概念 定义 数学模型是描述系统内部物理量 或变量 之间关系的数学表达式 建立数学模型的目的是分析和设计控制系统的首要工作 或基础工作 自控系统的组成可以是电气的 机械的 液压或气动的等等 然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的 通过数学模型来研究自控系统 可以摆脱各种不同类型系统的外部特征 研究其内在的共性运动规律 建立方法解析法 机理模型 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理 化学定律 列出各变量之间的数学关系式实验法 实验建模 对系统施加典型测试信号 脉冲 阶跃或正弦信号 记录系统的时间响应曲线或频率响应曲线 从而获得系统的传递函数或频率特性 常见的控制系统 1 集中参数系统变量仅仅是时间的函数 这类系统建立的动态数学模型通常是微分方程 2 分布参数系统变量不仅是时间函数 而且还是空间的函数 这类系统建立的动态数学模型通常是偏微分方程 如很大的蒸馏罐 温度随空间位置不同是有梯度变化的 在实际系统中 大多数系统都是分布式参数系统 但由于偏微分方程求解比较困难 因此在一定误差允许范围内 对系统作一个近似 近似为集中参数系统 这样就可以用微分方程进行分析 41 3 线性系统能够用线性数学模型 线性的代数方程 微分方程 差分方程等 描述的系统 称为线性系统 这类系统的基本特性 即输出响应特性 状态响应特性 状态转移特性等均满足线性关系 对于控制系统而言 由线性元件构成的系统为线性系统 其运动方程一般为线性微分方程 若其各项系数为常数 则称为线性定常系统 在动态研究中 如果系统在多个输入作用下的输出等于各输入单独作用下的输出和 可加性 并且当输入增大倍数时 输出相应增大同样的倍数 均匀性 就满足叠加原理 因而系统可以看成线性系统非线性系统 描述系统的数学模型是非线性微分方程 其特性是不能应用叠加原理 42 4 非线性系统不满足叠加原理的系统 就是非线性系统 因此非线性系统对两个输入量的响应不能单独进行计算 因此系统分析将比较困难 很难找到一般通用方法 但在实际系统中 绝对线性的系统是不存在的 通常所谓的线性系统也是在一定的工作范围内才保证线性的 如放大器 在小信号时可能出现 死区 在大信号时 又可能出现饱和现象 如图所示即为几种常见的非线性的关系曲线 显然上面的微分方程不容易求解 系统分析很困难 所以常常需要引入 等效 线性系统来代替非线性系统 这种等效线性系统仅在有限的工作范围内是正确的 我们下面研究的系统就是线性系统或能等效为线性系统的非线性系统 非线性微分方程 43 5 线性定常系统如果描述一个线性系统的微分方程的系数为常数 那么称系统为线性定常系统 如 6 线性时变系统如果描述一个线性系统的微分方程的系数为时间的函数 那么称系统为线性时变系统 如 44 建立合理的数学模型 建立的数学模型既有准确性 又有简化性一般应根据系统的实际结构参数及要求的计算精度 略去一些次要因素 使模型既能准确反映系统的动态本质 又能简化分析计算的工作 除非系统含有强非线性或参数随时间变化较大 一般尽可能采用线性定常数学模型描述自动控制系统 2 2时域模型 微分方程 2 2 1 建立系统或元件微分方程的步骤 确定元件输入量和输出量根据物理或化学定律 列出元件的原始方程在可能条件下 对各元件的原始方程进行适当简化 略去一些次要因素或进行线性化处理消去中间变量 得到描述元件输入和输出关系的微分方程对微分方程进行标准化处理 与输出量相关的各项置于等号左侧 而与输入量相关的置于等号右边 等号左右各项均按降幂排列 将各项系数归化为具有一定物理意义的形式 46 例2 1机械位移系统 如图表示一个弹簧 质量 阻尼器系统 f t 为一作用在运动部件上的外加作用力 系统产生的位移为y t 运动部件质量用M表示 B为阻尼器的阻尼系数 K为弹簧的弹性系数 要求写出系统在外力f t 作用下的运动方程式 选择f t 为系统的输入 y t 为系统的输出 列出原始方程式 根据牛顿第二定律 有 式中f1 t 阻尼器阻力 f2 t 弹簧力 在忽略弹簧质量的情况下 2 2 2 微分方程 47 f1 t 和f2 t 为中间变量 消去中间变量 整理得 方程两边同时除以K 令 则有 例2 2RLC电路 设回路电流为 由克希霍夫定律写出回路方程为 确定元件的输入 输出Input ur t Output uc t 消去中间变量 得到描述网络输入输出关系的微分方程为 例2 3 设流体是不可压缩的 应满足物质守恒定律 可得 由流量公式得 图2 4液位流体系统 50 具有相同结构微分方程的系统称为相似系统例如 R L C电路与弹簧 质量 阻尼器系统 虽然这两个系统就系统本质而言完全不同 但其具有相同结构的微分方程 拉氏变换法求解步骤 1 考虑初始条件 对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换 得到变量s的代数方程 2 求出输出量拉氏变换函数的表达式 3 对输出量拉氏变换函数求反变换 得到输出量的时域表达式 即为所求微分方程的解 2 2 3 线性定常微分方程的求解 求解方法 经典法 拉氏变换法 拉氏 laplace 变换定义 设函数f t 当t 0时有定义 而且积分存在 其中s是复数 则称F s 是f t 的象函数 即f t 的拉氏变换 记为f t 称为F s 的原函数 拉氏反变换为 53 单位阶跃函数1 t 单位阶跃函数的拉氏变换为单位脉冲函数单位脉冲函数的拉氏变换为 54 几个重要的拉氏变换 55 拉氏变换的基本性质 1 线性性质原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和 2 微分性质若 则有f 0 为原函数f t 在t 0时的初始值 3 积分性质若则式中为积分当t 0时的值 56 4 终值定理即原函数的终值等于其象函数乘以s的初值 5 初值定理 6 位移定理 a 实域中的位移定理 若原函数在时间上延迟 则其象函数应乘以b 复域中的位移定理 象函数的自变量延迟a 原函数应乘以 即 57 例2 4 用拉氏变换解微分方程 58 59 练习 方程两边进行拉氏变换得整理得 方程两边进行拉氏反变换得若则 系统响应如图所示 重点建立微分方程要掌握所涉及系统的关键公式例如 牛顿第二定律 克希霍夫定律 质量守恒定律 刚体旋转定律等建立的微分方程的标准形式特点 方法直观 但是微分方程的求解麻烦 尤其是高阶系统 2 3复域模型 传递函数 2 3 1 传递函数的定义与性质 定义 线性定常系统的传递函数为零初始条件下 系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比 问题的提出传递函数不仅可以表征系统的动态特性 而且还可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响 所谓零初始条件是指1 输入量在t 0时才作用在系统上 即在时系统输入及各项导数均为零 2 输入量在加于系统之前 系统为稳态 即在时系统输出及其所有导数项为零 62 设r t 和c t 及其各阶导数在t 0时的值为0 即零初始条件 则对上式中各项分别求拉氏变换 可得s的代数方程为 由定义得系统得传递函数为 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述 式中c t 为系统输出量 r t 为系统输入量 ai i 1 2 3 n 和bj j 1 2 3 m 是与系统结构和参数有关的常系数 分母中s的最高阶次n即为系统的阶次 该系统称为n阶系统 试列写网络传递函数Uc s Ur s 例2 5如图RLC电路 解 零初始条件下取拉氏变换 传递函数 64 性质传递函数是复变量s的有理真分式函数 分子多项式的次数m低于或等于分母多项的次数n 所有系数均为实数 传递函数与微分方程有相通性 可经简单置换而转换 传递函数表征了系统本身的动态特性 传递函数只取决于系统本身的结构参数 而与输入和初始条件等外部因素无关 可见传递函数有效地描述了系统的固有特性 只能描述线性定常系统与单输入单输出系统 不能表征内部所有状态的特征 只能反映零初始条件下输入信号引起的输出 不能反映非零初始条件引起的输出 服从不同动力学规律的系统可有同样的传递函数 传递函数有一定的零 极点分布图与之对应 因此传递函数的零 极点分布图也表征了系统的动态性能 65 传递函数的物理意义显然 在零初始条件下 若线性定常系统的输入的拉氏变换为 则系统的输出的拉氏变换为系统的输出为由于单位脉冲输入信号的拉氏变换为所以 单位脉冲输入信号作用下系统的输出的拉氏变换为 66 单位脉冲输入信号下系统的输出为g t 则可见 系统传递函数的拉氏反变换即为单位脉冲输入信号下系统的输出 因此 系统的单位脉冲输入信号下系统的输出完全描述了系统动态特性 所以也是系统的数学模型 通常称为脉冲响应函数 67 作业Page41 2 5 Duedate 29thSep 周六 68 2 3 2 典型环节的传递函数 比例环节 输出量无滞后 按比例复现输入量 电位器 69 惯性环节该环节存在储能元件 典型惯性环节的微分方程为一阶常微分方程 其特点是当系统输入有阶跃变化时 系统输出是由零逐渐跟上 如图所示 a 为系统的输入变化 b 为系统的输出响应 输出按单调指数规律上升 70 积分环节输出量与输入量对时间的积分成正比 微分环节输出量与输入量的导数成正比 积分放大器原理 71 例2 6 如图所示卫星姿态控制系统 对偏航角的控制 其中A B为斜对称配置的喷气发动机 推力均为F 2 成对工作 每个发动机到质心的距离为l 那么产生的力矩为T Fl 假设卫星的转动惯量为J 角位移 t 为输出量 产生的力矩T为输入量 那么根据牛顿第二定律 注意到在卫星周围的环境中不存在摩擦 所以有 其中T J l 这是由两个积分环节组成的 72 振荡环节 二阶环节 该环节存在两个储能元件 且所储两种能量可以互相转换 故动态过程表现出振荡特性 73 无阻尼自然振荡频率 阻尼比 延滞环节延滞时间 死区时间 输出量相对于输入量滞后一个恒定时间 75 关于典型环节的几点说明 一个不可分割的装置或元件可能含有若干典型环节例如 无源网络同一元部件 若选择不同的输入量和输出量 将由不同的典型环节组成 C R ur t uc t 76 有理分式形式传递函数最常用的形式是下列有理分式形式传递函数的分母多项式D s 称为系统的特征多项式 D s 0称为系统的特征方程 D s 0的根称为系统的特征根或极点 分母多项式的阶次定义为系统的阶次 对于实际的物理系统 多项式D s N s 的所有系数为实数 且分母多项式的阶次n高于或等于分子多项式的阶次m 即n m 2 3 3 传递函数的表示方式 77 零极点形式将传递函数的分子 分母多项式变为首一多项式 然后在复数范围内因式分解 得n m 2 66 式中 称为系统的零点 为系统的极点 为系统的根轨迹增益 系统零点 极点的分布决定了系统的特性 因此 可以画出传递函数的零极点图 直接分析系统特性 在零极点图上 用 表示极点位置 用 表示零点 78 例如 传递函数的零极点图如图2 9所示 79 时间常数形式将传递函数的分子 分母多项式变为尾一多项式 然后在复数范围内因式分解 得 式中 为传递系数 通常也为系统的放大系数 为系统的时间常数 2 4控制系统结构图 2 4 1结构图的基本组成微分方程 传递函数等数学模型 都是用纯数学表达式来描述系统特性 不能反映系统中各元部件对整个系统性能的影响 定义 由具有一定函数关系的环节组成的 并标明信号流向的系统的方框图 称为系统的结构图 结构图又称为方框图 方块图等 既能描述系统中各变量间的定量关系 又能明显地表示系统各部件对系统性能的影响 方框 环节 方框表示对信号进行数学变换 方框中写入元部件或系统的传递函数 系统输出的象函数等于输入的象函数乘以方框中的传递函数或者频率特性信号线信号线是带有箭头的直线 箭头表示信号的流向 在直线旁边标记信号的时间函数或象函数 这里的信号引出与测量信号一样 不影响原信号 所以也称为测量点 综合点 比较点 比较点表示对两个以上的信号进行加减运算 表示相加 表示相减 进行相加或相减的量应具有相同的量纲单位分支点 引出点 引出点表示信号引出或测量的位置 从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同 82 结构图特点 结构图是方块图与微分方程 传函 的结合 一方面它直观反映了整个系统的原理结构 方块图优点 另一方面对系统进行了精确的定量描述 每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来 能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能 但不能反映非零条件下的动态性能结构图最重要的作用 计算整个系统的传函对同一系统 其结构图具有非唯一性 简化也具有非唯一性 但得到的系统传函是确定唯一的 结构图中方块 实际元部件 因为方框可代表多个元件的组合 甚至整个系统 83 结构图的绘制 建立控制系统各元部件的微分方程对各元件的微分方程进行拉氏变换 并作出各元件的方框图和比较点 置系统输入量于左端 输出量于右端 便得到系统结构图 从与系统输入量有关的比较点开始 依据信号流向 把各元部件的结构图连接起来 例2 8绘制如图所示RC网络的结构图 中间变量 i i1 i2 信号量 ur uc根据电路定律 得到以下方程 84 按照上述方程 可以分别绘制相应元件的结构图 如图 a d 所示 然后 根据相互关系将这些结构图在相同信号处连接起来 就得到整个系统的结构图 练习绘出RC电路的结构图 为了便于系统分析和设计 常常需要对系统的复杂的结构图作等价变换 或者通过变换使系统结构图简化 求取系统的总传递函数 因此 结构图变换是控制理论的基本内容 2 4 2结构图的化简 等效变换的原则结构图的变换应按等效原则进行 所谓等效 即对结构图的任一部分进行变换时 变换前后输入输出的数学关系保持不变结构图的基本组成形式串联连接并联连接反馈连接 87 等效变换的法则 串联连接的等效变换传递函数的串联连接 其等效传递函数为这些传递函数的积 上述结论可以推广到多个传递函数的串联 即n个传递函数依次串联的等效传递函数 等于n个传递函数的乘积 88 并联连接的等效变换传递函数的并联连接 其等效传递函数为这些传递函数的和 上述结论可以推广到多个传递函数的并联 即n个传递函数并联的等效传递函数 等于n个传递函数的和 89 反馈连接的等效变换 90 比较点 综合点 和引出点的移动在系统结构图简化的过程中 有时为了便于进行方框的串联 并联或者反馈连接的计算 需要移动比较点或引出点的位置 比较点前后移动 91 引出点前后移动 92 注意 对综合点和分支点进行移动位置 消除交叉回路 但在移动中一定要注意以下几点 必须保持移动前后信号的等效性 相邻综合点可以互相换位和合并 相邻分支点可以互相换位 综合点和分支点之间一般不宜交换位置 93 94 95 例2 9 97 例2 10 试化简下述系统结构图 并求传递函数C s R s 显然若不移动比较点或引出点的位置就无法化简 98 首先将间的引出点后移到方框的输出端接着将组成的内反馈网络简化 其等效传递函数为 99 得到图为然后将组成的内反馈网络简化 其等效传递函数为 100 得到图为最后将求得其传递函数为 101 作业Page42 2 6 绘制 a b 的方框图 2 12Duedate 11thOct 周四 102 练习 试化简下述系统结构图 并求传递函数C s R s 显然化简该结构图也需要移动比较点和引出点 需要注意得是 引出点和比较点之间是不宜随便移动的 因此我们将比较点前移 将引出点后移 得到图为 103 将两个比较点合并 并将求出的等效传递函数 得到图为得到系统等效传递函数 2 4 3闭环系统的结构图和传递函数 控制系统常采用反馈结构 又称闭环控制系统 通常 控制系统会受到两类外作用信号的影响 一类是有用信号 或称为输入信号 给定值 参考输入等 常用r t 表示 另一类则是扰动 或称为干扰 噪声等 常用n t 表示 通过对反馈控制系统建立微分方程模型 直接在零初始条件下进行拉氏变换 可求取反馈控制系统的传函 通过对反馈控制系统结构图简化也能求传函 反馈通道传递函数从输出端反送到参考输入端的信号通道 称为反馈通道 前向通道传递函数前向通道是指从输入端到输出端的通道 系统的开环传递函数上图中将反馈的输出通路断开 反馈信号对于参考输入信号的传递函数称为开环传递函数 这时前向通路传递函数与反馈通路传递函数的乘积为该系统的开环传递函数 作用下系统的闭环传递函数令 这时系统结构图如上图 系统传递函数为 系统输出为 作用下系统的闭环传递函数令 这时系统结构图如上图 系统传递函数为 系统输出为 108 系统总输出根据线性系统的叠加原理 系统的总输出应为各外作用引起输出的综合因而得到系统总输出为 109 闭环系统的误差传递函数误差定义为被控量的测量输出和给定输入之差或作用下的误差 输入结构图误差传递函数 n t 作用下系统的误差传递函数 输入结构图误差传递函数总误差 110 闭环系统的特征方程 上面导出闭环传递函数及误差传递函数虽然各不相同 但是他们的分母却是一样的 均为 令并称其为闭环特征方程 将其改写为如下形式 对给定的系统而言 特征多项式是唯一的 即闭环极点的分布是唯一的 闭环系统的极点与控制系统的瞬态响应和系统的稳定性密切相关特征多项式与开环传函相关 因此其动态特性可用开环传函分析 这是闭环控制系统各种传递函数都具有的的规律性 称其为特征多项式 可以是实数或共轭复数 称为特征方程的根 或称为闭环系统的极点 111 例2 11如图所示位置随动系统的方块图 求系统在给定值 r t 作用下的闭环传递函数及在负载力矩ML作用下的闭环传递函数 并求两信号同时作用下 系统总输出c t 的拉氏变换式 解 1 求作用下系统的闭环传递函数 令ML 0 运用串联及反馈法则 可求得 r t 112 2 求ML作用下系统的闭环传递函数 令 r t 0 系统以ML为输入的方块图如图 a 所示 经方块图变换后如图 b 所示可求得 a b 113 3 系统在给定值 r t 作用及在负载力矩ML作用下的总输出为两部分迭加 即 114 2 5状态空间模型 现代控制理论 定义在状态空间中以状态向量或状态变量描述系统的方法称为系统的状态空间模型 内部表达 优点能完全表达出系统的全部状态和性能 内部和外部 能了解系统内部状态的变化特性容易考虑初始条件适用范围广 时变系统 非线性系统 多输入多输出便于设计 115 预备知识 有关矩阵的微分 1 向量函数对数量函数的导数2 矩阵函数对数量函数的导数3 数量函数对向量的导数4 向量函数对向量的导数5 矩阵函数对向量的导数 116 1 向量函数对数量函数的导数 2 矩阵函数对数量函数的导数 117 3 数量函数对向量的导数 4 向量函数对向量的导数 118 5 矩阵函数对向量的导数 119 2 5 1 状态变量表达式相关概念 如图所示的RLC电路 其输入电压为ur t 该电路中的四个物理量i t uR t uL t uC t 反映着系统各方面的特征 根据线性电路知识 这个电路有两个储能元件 即电感L和电容C 因此只能有两个物理量是独立的 而其余的物理量必能用这两个独立的物理量来表示 当选i t Uc t 为独立变量时 则其它变量可表示为 由解微分方程可知 如果已知初始条件i 0 uc 0 以及t 0的ur t 那么在t 0后的任一时刻的解就完全被确定了 120 如方程组采用状态向量表示时 令为系统输入 状态方程 如果以uC t 为系统输出 用y表示 则有 输出方程 系统输出也可能并不一定是状态变量 但前面提到 其它的量如uR t 或uL t 等一定能用状态变量来表示 即输出可以写成状态变量的线性组合 因此输出方程一定是代数方程 121 写为矩阵形式如 状态空间模型 122 基本概念状态 系统过去 现在和将来的状况 状态变量 状态变量指能确定系统运动状态的最少数目的一组变量 状态向量 若以n个状态变量做为向量的分量 则称为状态向量 状态空间 以状态变量为基构成的n维空间 状态方程 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程 123 状态方程的一般形式单输入线性定常连续系统式中常系数与系统特性有关 上式可以写成向量矩阵形式 其中 124 多输入线性定常连续系统向量矩阵形式为 其中 125 输出方程 系统输出量与状态变量 输入量的关系称为输出方程 输出量由系统任务确定或给定单输出线性定常连续系统输出方程的一般形式为式中常系数与系统特性有关 其向量矩阵形式为 多输入 多输出系统的输出方程的一般形式为其向量矩阵形式为 126 状态空间表达式 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式 又称动态方程 A t 系统矩阵 状态矩阵 B t 控制矩阵 输入矩阵 C t 观测矩阵 输出矩阵 D t 直接传递矩阵 多输入 多输出系统状态空间表达式的一般形式为 单输入 单输出系统状态空间表达式的一般形式为 127 对于一般的非线性系统 其状态方程和输出方程可能还是状态和输入的非线性函数 因此状态方程和输出方程可用如下向量方程表示 128 对于本节主要讨论的线性定常系统来说 状态空间模型的标准形式是 线性系统的状态空间表达式动态结构图 129 对于本节主要讨论的线性定常系统来说 状态空间模型的标准形式是 130 2 5 2由微分方程建立状态变量表达式步骤 直接根据系统的物理机理建立相应的微分 连续系统 或差分 离散系统 方程组 针对微分方程 定义一组状态变量 建立状态方程 并根据系统输出和状态之间的关系 建立系统的输出方程 状态变量的选取 1 状态变量的选取是非唯一的 2 选取方法 1 可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量 2 可选取独立储能 或储信息 元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量 如电感电流i 电容电压uc 质量m和速度v等 131 例2 14 试确定下图中两个电网络的独立状态变量 图中分别为输入电压 电流 为输出电压 为电容端或电感电流 图 a 由于因此三个变量中只有两个是独立的 系统的状态变量可以是三者中的任意两个 132 图 b 由于 b 中有 因此 它只有一个独立的状态变量 任意取中的一个即可 133 例2 15 由质量块 弹簧 阻尼器组成的机械位移系统如图示 有力F及阻尼器汽缸速度V两种外作用 另输出量为 质量块位移 速度和加速度 试写出该双输入 三输出机械位移系统的状态空间表达式 图中m k f分别为质量 弹簧的弹性模量 阻尼系数 x为位移 解 根据牛顿力学得到该系统的微分方程为 它是二阶系统 选择质量块的位移和速度为状态变量 令系统的三个输出量为 134 由系统的微分方程可导出下列状态方程 其向量 矩阵形式为 状态变量一般选可反映储能元件能量变化的量 eg 电感电流 电容电压 位置 速度 135 线性微分方程中不含有输入函数导数项的系统的状态空间表达式选取状态变量 则有 136 系统状态空间表达式为 137 根据上式绘制的状态变量之间关系的方块图如图所示 每个积分器的输出都是对应的一个状态变量 状态方程由积分器的输入输出关系确定 输出方程在输出端给出 138 例2 16 设一控制系统的动态过程用微分方程表示为式中u y分别为系统的输入和输出信号 试求系统的状态空间描述 解 选取状态变量为则有 139 将上式写成矩阵微分方程形式 140 系统输入量中含有导数项 其一般形式为 若选取状态变量则得到 在状态方程中将会出现输入导数项 141 应选择以下n个变量作为一组状态变量则状态变量如下 式中是n个待定常数 142 输出方程 状态方程 对最后一个方程处理 143 并将y n 用下式代入 得到 144 将上式中所有的输出项以及输出的导数项都用状态和输入的各阶导数项表示有 145 令上式中u的各阶导数项的系数为零 则有 令则有 146 将上式改为矩阵向量形式为 其中 d h0 bn 147 绘制出状态变量之间关系的方块图如图所示 148 例2 17 设一控制系统的动态过程用微分方程表示为式中u y分别为系统的输入和输出信号 试求系统的状态空间表达式 解 选择状态变量为 149 150 根据上式写出控制系统空间表达式为 d 0 151 例2 18 设一控制系统的动态过程用微分方程表示为式中u y分别为系统的输入和输出信号 试求系统的状态空间表达式 画出系统的结构图解 由题得 152 写出状态空间表达式为系统结构图如下 153 一般形式 当式中bn 0时 还可以按如下规则选择另一组状态变量 设 154 则得到 155 因此可以得到 n 1 个状态方程 输出方程为 156 对下式求导 并将y n 用代入后整理得 状态方程为 157 d 0 158 状态变量之间关系的方块图 159 例2 19 试求的状态空间表达式 因为此系统为三阶系统 而b3 0 所以可以选择状态变量 160 所以状态空间表达式为 对于一个给定的系统而言 状态变量的选取并不是唯一的 161 2 5 3由传递函数建立状态变量表达式 1 设线性定常系统的传递函数为有理真分式 bn为零 162 163 为非有理真分式时 bn不为零 由 可知 bn就等于状态方程中的直接矩阵d 而为有理真分式 因此我们只要能由一个有理真分式的传递函数求相应的状态空间表达式的话 那么对非有理真分式求状态空间表达式 只需增加一个直接矩阵d即可 164 bn 165 这种形式的状态空间表达式被称为可控标准型 166 由于为有理真分式 即对应的微分方程中输入导数项的最高阶等于零 因此也可以采用式的方式选择状态变量 那么状态空间表达式为 167 这种形式的状态空间表达式被称为可观测标准型 168 2 传递函数以极点形式给出 系统传递函数只有单实极点 没有重极点 系统特征方程可表示为 通过部分分式展开成下列形式 169 为G s 在极点 i处的留数 因此有 选择状态变量为 输出为 以上两式整理后 取反拉氏变换得 170 写成矩阵形式有对角阵标准型 171 如果状态变量选择为 那么系统输出则为 同样 经过反拉氏变换并展成矩阵形式有对角阵标准型 172 系统传递函数含有重实极点情况 假设极点 1为三重极点 其它均为单实极点 即 4 5 n 那么系统特征方程可表示为 传递函数可以通过部分分式展开成下列形式 那么系统输出为 173 如果选择状态变量为 输出为 174 整理得 175 对上式反拉氏变换并整理得约当标准型 称重极点对应的 为约当块 176 2 5 4 由状态空间表达式求传递函数阵 若对上式求拉氏变换 并令初始条件为零 则有 整理式得 根据传递函数阵的定义有 第三章线性系统的时域分析 分析和设计控制系统的首要任务是建立系统的数学模型 一旦获得合理的数学模型 就可以采用不同的分析方法来分析系统的性能 经典控制理论中常用的工程方法有时域分析法频率特性法根轨迹法 分析内容瞬态响应稳定性稳态性能 时域分析法在时间域内研究系统在典型输入信号的作用下 其输出响应随时间变化规律的方法 对于任何一个稳定的控制系统 输出响应含有瞬态分量和稳态分量 178 3 1时间响应性能指标3 2一阶系统的时域响应3 3二阶系统的时域响应3 4系统的稳定性分析3 5系统稳态性能分析 179 3 1时间响应性能指标 工程实际中 有些系统的输入信号是已知的 如恒值系统 但对有些控制系统来说 常常不能准确地知道其输入量是如何变化的 如随动系统 因此 为了方便系统的分析和设计 使各种控制系统有一个进行比较的统一的基础 需要选择一些典型试验信号作为系统的输入 然后比较各种系统对这些输入信号的响应 常用的试验信号有阶跃信号 斜坡信号 抛物线信号 脉冲信号及正弦信号 这些信号都是简单的时间函数 并且易于通过实验产生 便于数学分析和试验研究 3 1 1典型输入信号 阶跃函数阶跃函数的定义是 对系统输入阶跃函数就是在t 0时 给系统加上一个恒值输入量 如图所示 若A 1 称为单位阶跃函数 记作1 t 阶跃函数的拉氏变换为 单位阶跃函数的拉氏变换为R s 1 s 斜坡函数 斜坡函数也称等速度函数 其定义为输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间作等速变化的信号 其图形如图所示 若A 1 则称之为单位斜坡函数 斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分 斜坡函数的拉氏变换为单位斜坡函数的拉氏变换为R s 1 s2 抛物线函数 抛物线函数也称加速度函数 其定义为输入抛物线函数相当于对于系统输入一个随时间做等加速变化的信号 其图形如图所示 若A 1 称之为单位抛物线函数 抛物线函数等于斜坡函数对时间的积分 抛物线函数的拉氏变换为单位抛物线函数的拉氏变换为R s 1 s3 t 1 0 脉冲函数 脉冲函数的定义为脉冲函数在理论上 数学上的假设 是一个脉宽无穷小 幅值无穷大的脉冲 在实际中 只要脉冲宽度 极短即可近似认为是脉冲函数 如图所示 脉冲函数的积分 即脉冲的面积为 理想的单位脉冲信号实际上是不存在的 只具有数学意义 任意形式的外作用可以看作是在不同时刻存在的 强度不同的无限多个脉冲函数的叠加 184 t 函数的图形如右图所示 脉冲函数的积分就是阶跃函数 脉冲函数的拉氏变换为单位脉冲函数的拉氏变换为R s 1 t 0 t 1 当A 1时 即面积为1的脉冲函数称为单位脉冲函数 记为 t 正弦函数