高考数学复习解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线练习.docx

第2讲椭圆、双曲线、抛物线高考定位1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真 题 感 悟 1.(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()A.yx B.yxC.yx D.yx解析法一由题意知，e，所以ca，所以ba，即，所以该双曲线的渐近线方程为yxx.法二由e，得，所以该双曲线的渐近线方程为yxx.答案A2.(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A.5 B.6 C.7 D.8解析过点(2，0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y20，根据根与系数的关系，得x1x25，x1x24.易知F(1，0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.答案D3.(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A. B. C. D.解析由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|2c，PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，|PF2|F1F2|2c.|OF2|c，过P作PE垂直x轴，则PF2E60，所以F2Ec，PEc，即点P(2c，c).点P在过点A，且斜率为的直线上，解得，e.答案D4.(2018全国卷)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.(1)解由已知得F(1，0)，l的方程为x1.把x1代入椭圆方程y21，可得点A的坐标为或.又M(2，0)，所以AM的方程为yx或yx.(2)证明当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x20，b0)的渐近线方程为yx；焦点坐标F1(c，0)，F2(c，0).双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，焦点坐标F1(0，c)，F2(0，c).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线y22px(p0)的焦点F，准线方程x.抛物线x22py(p0)的焦点F，准线方程y.4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|x1x2|.(2)过抛物线焦点的弦长抛物线y22px(p0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.热点一圆锥曲线的定义及标准方程【例1】 (1)(2018天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)(2018烟台二模)已知抛物线C：x24y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且，则|NT|_.解析(1)由d1d26，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b3.因为双曲线1(a0，b0)的离心率为2，所以2，所以4，所以4，解得a23，所以双曲线的方程为1.(2)由x24y，知F(0，1)，准线l：y1.设点M(x0，y0)，且x00，y00.由，知点M是线段FN的中点，N是FT中点，利用抛物线定义，|MF|MM|y01，且|FF|2|NN|2.又2(y01)|FF|NN|3，知y0.|MF|1，从而|NT|FN|2|MF|3.答案(1)C(2)3探究提高1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例(2)中充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】 (1)(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)(2018衡水中学调研)P为椭圆C：y21上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|PF2|，记动点Q的轨迹为，设点B为椭圆C短轴上一顶点，直线BF2与交于M，N两点，则|MN|_.解析(1)由题设知，又由椭圆1与双曲线有公共焦点，易知a2b2c29，由解得a2，b，则双曲线C的方程为1.(2)|PF1|PF2|2a2，且|PQ|PF2|，|F1Q|F1P|PF2|2.为以F1(1，0)为圆心，2为半径的圆.|BF1|BF2|，|F1F2|2，BF1BF2，故|MN|222.答案(1)B(2)2热点二圆锥曲线的几何性质【例2】 (1)(2018全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为()A. B.2 C. D.2(2)(2018北京卷改编)已知椭圆M：1(ab0)，双曲线N：1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为_.解析(1)法一由离心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以双曲线C的渐近线方程为yx.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为2.法二离心率e的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是yx，点(4，0)到C的渐近线的距离为2.(2)设椭圆的右焦点为F(c，0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知A，由点A在椭圆M上得，1，b2c23a2c24a2b2，b2a2c2，(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)，则4a48a2c2c40，e48e240，e242(舍)，e242.由0eb0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0t0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.解(1)如图，由已知得M(0，t)，P，又N为M关于点P的对称点，故N，故直线ON的方程为yx，将其代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt).代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点.探究提高1.本题第(1)问求解的关键是求点N，H的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH的方程与曲线C联立，根据方程组的解的个数进行判断.2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.【训练3】 (2018潍坊三模)已知M为圆O：x2y21上一动点，过点M作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA延长至点P，使得|PA|2，记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)直线l：ykxm与圆O相切，且与曲线C交于D，E两点，直线l1平行于l且与曲线C相切于点Q(O，Q位于l两侧)，求k的值.解(1)设P(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，则M(x0，y0)且xy1，由题意知OAMB为矩形，|AB|OM|1，2，即(xx0，y)2(x0，y0)，x0，y0，则1，故曲线C的方程为1.(2)设l1：ykxn，l与圆O相切，圆心O到l的距离d11，得m2k21，l1与l距离d2，m2n或mn，又O，Q位于l两侧，mn，联立消去y整理得(9k24)x218knx9n2360，由0，得n29k24，由得k.考法2有关弦的中点、弦长问题【例32】 (2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0).(1)证明：k0)在椭圆1内，1，解得0m，故k.(2)解由题意得F(1，0).设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0).由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练4】 (2018天津卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b，0)，且|FB|AB|6.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若sinAOQ(O为原点)，求k的值.解(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得，|FB|a，|AB|b，由|FB|AB|6，可得ab6，从而a3，b2.所以，椭圆的方程为1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2).由已知有y1y20，故|PQ|sinAOQy1y2.又因为|AQ|，而OAB，故|AQ|y2.由sinAOQ，可得5y19y2.由方程组消去x，可得y1.易知直线AB的方程为xy20，由方程组消去x，可得y2.代入5y19y2，可得5(k1)3，将等式两边平方，整理得56k250k110，解得k或k.所以，k的值为或.1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2By21，其中A，B是不等的常数，AB0时，表示焦点在y轴上的椭圆；BA0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB0时表示双曲线.2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a，c，计算e；法二：根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求.4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x1x2，y1y2，三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题1.(2018合肥调研)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线与直线2xy10垂直，则双曲线C的离心率为()A.2 B.C. D.解析依题意，21，b2a.则e215，e.答案D2.(2018南昌质检)已知抛物线C：x24y，过抛物线C上两点A，B分别作抛物线的两条切线PA，PB，P为两切线的交点，O为坐标原点，若0，则直线OA与OB的斜率之积为()A. B.3 C. D.4解析设A，B，由x24y，得y.所以kAP，kBP，由0，得PAPB.1，则xAxB4，又kOAkOB.答案A3.(2017全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF的面积为()A. B. C. D.解析由c2a2b24得c2，所以F(2，0)，将x2代入x21，得y3，所以|PF|3.又A的坐标是(1，3)，故APF的面积为3(21).答案D4.已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为椭圆上一点，F1AF2，连接AF2交y轴于M点，若3|OM|OF2|，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析设|AF1|m，|AF2|n.如图所示，由题意可得RtF1AF2RtMOF2.，则n3m.又|AF1|AF2|mn2a，m，na.在RtF1AF2中，m2n24c2，即a24c2，e2，故e.答案D5.(2018石家庄调研)已知F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，PF1F230，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.x21解析如图，不妨设点P(x0，y0)在第一象限，则PF2x轴，在RtPF1F2中，PF1F230，|F1F2|2c，则|PF2|，|PF1|，又因为|PF1|PF2|2a，即ca.又2b2，知b，且c2a22，从而得a21，c23.故双曲线的标准方程为x21.答案D二、填空题6.(2018北京卷)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴.若l被抛物线y24ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_.解析由题意知，a0，对于y24ax，当x1时，y2，由于l被抛物线y24ax截得的线段长为4，所以44，所以a1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0).答案(1，0)7.(2018江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是_.解析不妨设双曲线的一条渐近线方程为yx，所以bc，所以b2c2a2c2，得c2a，所以双曲线的离心率e2.答案28.设抛物线x24y的焦点为F，A为抛物线上第一象限内一点，满足|AF|2；已知P为抛物线准线上任一点，当|PA|PF|取得最小值时，PAF的外接圆半径为_.解析由x24y，知p2，焦点F(0，1)，准线y1.依题意，设A(x0，y0)(x00)，由定义，得|AF|y0，则y0211，AFy轴.易知当P(1，1)时，|PA|PF|最小，|PF|.由正弦定理，2R，因此PAF的外接圆半径R.答案三、解答题9.(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.解(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0).设A(x1，y1)，B(x2，y2).由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.10.(2017北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)点D为