有限元法对悬臂梁分析MATLAB.doc

用有限元法对悬臂梁分析的算例算例：如下图所示的悬臂梁，受均布载荷q1Nmm2作用。E21105Nmm2, 0.3厚度h10mm。现用有限元法分析其位移及应力。梁可视为平面应力状态，先按图示尺寸划分为均匀的三角形网格，共有81080个单元，5ll55个节点，坐标轴以及单元与节点的编号如图。将均布载荷分配到各相应节点上，把有约束的节点5l、52、53、54、55视作固定铰链，建立如图所示的离散化计算模型。程序计算框图：将各单元刚阵按整体编号集成到整体刚阵K=0计算具有代表性的单元刚阵输入材料参数开 始（续左）处理根部约束，修改【K】【Q】求解KQ整理 并画图计算单元应力，并输出结束（接右）程序中的函数功能介绍及源代码1. LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym)该函数用于计算平面应力情况下弹性模量为E、泊松比为NU、厚度为t、第一个节点坐标为(xi,yi)、第二个节点坐标为(xj,yj)、第三个节点坐标为(xm，ym)时的线性三角形元的单元刚度矩阵.该函数返回66的单位刚度矩阵k.2. LinearTriangleAssemble(K,k,i,j,m)该函数将连接节点i,j,m的线性三角形元的单元刚度矩阵k集成到整体刚度矩阵K。每集成一个单元，该函数都将返回2N2N的整体刚度矩阵K.3. LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,u)- 该函数计算在平面应力情况下弹性模量为E、泊松比为NU、厚度为t、第一个节点坐标为(xi,yi)第二个节点坐标为(xj,yj)、第三个节点坐标为(xm，ym)以及单元位移矢量为u时的单元应力。该函数返回单元应力矢量。函数源代码：function y = LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym)A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj)/2;%三角形单元面积，单元节点应该按逆时针排序，保证每个三角形单元的面积都为正值（也可作为一个小函数：LinearTriangleElementArea）betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj;gammaj = xi-xm;gammam = xj-xi;B = betai 0 betaj 0 betam 0 ; 0 gammai 0 gammaj 0 gammam ; gammai betai gammaj betaj gammam betam/(2*A);%B为应变矩阵，其中betai=yi-ym,betaj=ym-yi,betam=yi-yj.gammai=xm-xj, gammaj=xi-xm, gammam=xj-xi. D = (E/(1-NU*NU)*1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2;%D为弹性矩阵，分为平面应力问题和平面应变问题对于平面应力问题D = (E/(1-NU*NU)*1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2;对于平面应变问题E1=E/（1-NU*NU），NU1=NU/（1-NU）y = t*A*B*D*B;%单元刚度矩阵function y = LinearTriangleAssemble(K,k,i,j,m)K(2*i-1,2*i-1) = K(2*i-1,2*i-1) + k(1,1); K(2*i-1,2*i) = K(2*i-1,2*i) + k(1,2);K(2*i-1,2*j-1) = K(2*i-1,2*j-1) + k(1,3); K(2*i-1,2*j) = K(2*i-1,2*j) + k(1,4);K(2*i-1,2*m-1) = K(2*i-1,2*m-1) + k(1,5); K(2*i-1,2*m) = K(2*i-1,2*m) + k(1,6);K(2*i,2*i-1) = K(2*i,2*i-1) + k(2,1); K(2*i,2*i) = K(2*i,2*i) + k(2,2);K(2*i,2*j-1) = K(2*i,2*j-1) + k(2,3); K(2*i,2*j) = K(2*i,2*j) + k(2,4);K(2*i,2*m-1) = K(2*i,2*m-1) + k(2,5); K(2*i,2*m) = K(2*i,2*m) + k(2,6);K(2*j-1,2*i-1) = K(2*j-1,2*i-1) + k(3,1); K(2*j-1,2*i) = K(2*j-1,2*i) + k(3,2);K(2*j-1,2*j-1) = K(2*j-1,2*j-1) + k(3,3); K(2*j-1,2*j) = K(2*j-1,2*j) + k(3,4);K(2*j-1,2*m-1) = K(2*j-1,2*m-1) + k(3,5); K(2*j-1,2*m) = K(2*j-1,2*m) + k(3,6);K(2*j,2*i-1) = K(2*j,2*i-1) + k(4,1); K(2*j,2*i) = K(2*j,2*i) + k(4,2);K(2*j,2*j-1) = K(2*j,2*j-1) + k(4,3); K(2*j,2*j) = K(2*j,2*j) + k(4,4);K(2*j,2*m-1) = K(2*j,2*m-1) + k(4,5); K(2*j,2*m) = K(2*j,2*m) + k(4,6);K(2*m-1,2*i-1) = K(2*m-1,2*i-1) + k(5,1); K(2*m-1,2*i) = K(2*m-1,2*i) + k(5,2);K(2*m-1,2*j-1) = K(2*m-1,2*j-1) + k(5,3); K(2*m-1,2*j) = K(2*m-1,2*j) + k(5,4);K(2*m-1,2*m-1) = K(2*m-1,2*m-1) + k(5,5); K(2*m-1,2*m) = K(2*m-1,2*m) + k(5,6);K(2*m,2*i-1) = K(2*m,2*i-1) + k(6,1); K(2*m,2*i) = K(2*m,2*i) + k(6,2);K(2*m,2*j-1) = K(2*m,2*j-1) + k(6,3); K(2*m,2*j) = K(2*m,2*j) + k(6,4);K(2*m,2*m-1) = K(2*m,2*m-1) + k(6,5); K(2*m,2*m) = K(2*m,2*m) + k(6,6);y = K;%对号入座，如前所述，每集成一次都将返回2N2N的整体刚度矩阵K.此题为110110function y = LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,u)A = (xi*(yj-ym) + xj*(ym-yi) + xm*(yi-yj)/2;betai = yj-ym;betaj = ym-yi;betam = yi-yj;gammai = xm-xj;gammaj = xi-xm;gammam = xj-xi;B = betai 0 betaj 0 betam 0 ; 0 gammai 0 gammaj 0 gammam ; gammai betai gammaj betaj gammam betam/(2*A);D = (E/(1-NU*NU)*1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2;%平面应力和平面应变问题两种情况y = D*B*u;%单元应力计算主程序源代码E=21e7;NU=0.3;t=0.01;stifflike5=LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0.4,0.08,0.36,0.08,0.36,0.06,1)%选取2个基本单元，调用M文件stifflike1=LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0.4,0.08,0.36,0.06,0.4,0.06,1) K=sparse(110,110); %creat a xishu matrix for total stiff创建一个稀疏矩阵for i=1:49 if rem(i,5)%模取余， bool型变量，非零即为真 j=i; K=LinearTriangleAssemble(K,stifflike5,j,j+5,j+6);%节点编号 K=LinearTriangleAssemble(K,stifflike1,j,j+6,j+1); endend%将每个单元刚度矩阵集成到总刚中K=full(K);%转化稀疏矩阵 k=K(1:100,1:100);k=K,zeros(100,10);zeros(10,100),eye(10);k=sparse(k);%利用边界条件简化基本方程Q=sparse(2:10:92,1,-200,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,-400,110,1);%外部荷载，此处不包括约束条件，通过形函数确定，是不是可以理解为梁的两端为中间的一半呢？d=kQ;%高斯消元法，比克莱姆法则在计算速度上有绝对的优势！x=0:0.04:0.4;plot(x,d(106:-10:6)%基本绘图命令grid%带网格y=zeros(80,3);q=0;for i=1:49 switch rem(i,5)case 1j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2);u=u;xl=0.4;yl=0.08;xm=0.36;ym=0.06;xn=0.4;yn=0.06;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u);xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 2j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2);u=u;xl=0.4;yl=0.06;xm=0.36;ym=0.04;xn=0.4;yn=0.04;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u);xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 3 j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2);u=u;xl=0.4;yl=0.04;xm=0.36;ym=0.02;xn=0.4;yn=0.02;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u);xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 4j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+11) d(j+12) d(j+1) d(j+2);u=u;xl=0.4;yl=0.02;xm=0.36;ym=0;xn=0.4;yn=0;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u);xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04; otherwise q=q+3;endendq=4;for i=1:49switch rem(i,5)case 1j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12);u=u;xl=0.4;yl=0.08;xm=0.36;ym=0.08;xn=0.36;yn=0.06;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u);xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 2j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12);u=u;xl=0.4;yl=0.06;xm=0.36;ym=0.06;xn=0.36;yn=0.04;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u);xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 3 j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12);u=u;xl=0.4;yl=0.04;xm=0.36;ym=0.04;xn=0.36;yn=0.02;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u);xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04;case 4j=2*i;u=d(j-1) d(j) d(j+9) d(j+10) d(j+11) d(j+12);u=u;xl=0.4;yl=0.02;xm=0.36;ym=0.02;xn=0.36;yn=0;y(i+q,:)=LinearTriangleElementStresses(E,NU,t,xl,yl,xm,ym,xn,yn,u);xl=xl-0.04;xm=xm-0.04;xn=xn-0.04; otherwise q=q+3;endend% y(i+q,:)这是实现什么的？没见过这种用法，算法上应该就是通过节