江苏2017届高三数学第九章圆锥曲线的综合问题第二课时最值范围证明问题课时跟踪检测理.docx

课时跟踪检测（五十三） 最值、范围、证明问题一保高考，全练题型做到高考达标1如图所示，椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，ABF2的周长为8，且AF1F2面积最大时，AF1F2为正三角形(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q，证明：点M(1,0)在以PQ为直径的圆上解：(1)因为点A，B都在椭圆上，所以根据椭圆的定义有|AF1|AF2|2a且|BF1|BF2|2a，又因为ABF2的周长为8，所以|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a8，所以a2.因为椭圆是关于x，y轴，原点对称的，所以AF1F2为正三角形，当且仅当A为椭圆的短轴端点，则a2cc1，b2a2c23，故椭圆E的方程为1.(2)证明：由题意得，动直线l为椭圆的切线，故不妨设切点P(x0，y0)，因为直线l的斜率存在且为k，所以y00，则直线l：yk(xx0)y0，联立方程组消去y，得3x24k(xx0)y02120，由0k.则直线l的方程为1，联立直线l与直线x4得到点Q，则(1x0)(14)(y0)3(1x0)3(1x0)0，所以，即点M在以PQ为直径的圆上2设椭圆M：1(a)的右焦点为F1，直线l：x与x轴交于点A，若2 (其中O为坐标原点)(1)求椭圆M的方程；(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2(y2)21的任意一条直径(E，F为直径的两个端点)，求的最大值解：由题意知，点A，F1，由12，得2，解得a26.所以椭圆M的方程为1.(2)设圆N：x2(y2)21的圆心为点N，则点N的坐标为(0,2)，则(NE)()()()N1，从而求最大值转化为求的最大值因为P是椭圆M上的任意一点，设P(x0，y0)，所以1，即x63y.因为点N的坐标为(0,2)，所以|2x(y02)22(y01)212.因为点P(x0，y0)在椭圆M上，则y0，所以当y01时，取得最大值12，所以的最大值为11.3(2016无锡期末)已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e，且过点P(1,1)(1)求椭圆的方程；(2)若点A(x0，y0)为圆x2y21上任一点，过点A作圆的切线交椭圆于B，C两点，求证：COOB(O为坐标原点)解：(1)由题意可设椭圆方程为1(ab0)由题意得，则.又a2b2c2，所以a23b2.因为P(1,1)在椭圆上，所以1，解得a24，b2.所以椭圆的方程为1.(2)证明：由题意得切线方程为xx0yy01.若y00，则切线方程为x1或x1，所以B(1,1)，C(1，1)或B(1,1)，C(1，1)，所以COOB；当y00时，切线方程为xx0yy01，与椭圆方程联立并化简得(3xy)x26x0x34y0.设B(x1，y1)，C(x2，y2)则x1x2，x1x2，x1x2y1y2x1x2(x1x2)0，所以COOB.综上所述，COOB.4(2016合肥模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab1)的离心率e，且椭圆C上一点N到Q(0,3)距离的最大值为4，过点M(3,0)的直线交椭圆C于点A，B.(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆上一点，且满足t (O为坐标原点)，当|AB|时，求实数t的取值范围解：(1)e2，a24b2，则椭圆方程为1，即x24y24b2.设N(x，y)，则|NQ|.当y1时，|NQ|有最大值，则4，解得b21，a24，故椭圆C的方程是y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，直线AB的方程为yk(x3)，由整理得(14k2)x224k2x36k240.则x1x2，x1x2，(24k2)216(9k21)(14k2)0，解得k2.由题意得(x1x2，y1y2)t(x，y)，则x(x1x2)，y(y1y2)k(x1x2)6k.由点P在椭圆上，得4，化简得36k2t2(14k2)由|AB|x1x2|，得(1k2)(x1x2)24x1x23，将x1x2，x1x2代入得(1k2)3，化简得(8k21)(16k213)0，则8k210，即k2，k2.由得t29，由得3t24，2t或t2.故实数t的取值范围为(2，)(，2)二上台阶，自主选做志在冲刺名校如图所示，设F(c,0)是椭圆1(ab0)的左焦点，直线l：x与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|8，且|PM|2|MF|.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A，B.证明：AFMBFN；求ABF面积的最大值解：(1)|MN|8，a4，又|PM|2|MF|，e.c2，b2a2c212.椭圆的标准方程为1.(2)证明：当AB的斜率为0时，显然AFMBFN0，满足题意；当AB的斜率不为0时，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，AB的方程为xmy8，代入椭圆方程整理得(3m24)y248my1440.576(m24)0，得m24，yAyB，yAyB.则kAFkBF，而2