高中数学 2.1.2第2课时 指数函数及其性质的应用课件 新人教A版必修1.ppt

易误警示 规范指导 合作探究 重难疑点 课时作业 第2课时指数函数及其性质的应用 学习目标 1 掌握指数函数的性质并会应用 能利用指数函数的单调性比较幂的大小 解不等式 重点 2 通过本节内容的学习 进一步体会函数图象是研究函数的重要工具 并能运用指数函数研究一些实际问题 难点 2 比较下列各组数的大小 1 52 5和1 53 2 0 6 1 2和0 6 1 5 1 50 3和0 81 2 答案 b 2 函数y 1 5x在r上是增函数 2 5 3 2 1 52 5 1 53 2 函数y 0 6x在r上是减函数 1 2 1 5 0 6 1 2 0 6 1 5 由指数函数的性质知1 50 3 1 50 1 而0 81 2 0 80 1 1 50 3 0 81 2 1 比较幂大小的方法 1 对于底数相同但指数不同的幂的大小的比较 可以利用指数函数的单调性来判断 2 对于底数不同 指数相同的幂的大小的比较 可利用指数函数的图象的变化规律来判断 3 对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较 则应通过中间值来判断 2 指数型不等式af x ag x a 0 且a 1 的解法 当a 1时 f x g x 当0 a 1时 f x g x 求a b的值 用定义证明f x 在 上为减函数 若对于任意t r 不等式f t2 2t f 2t2 k 恒成立 求k的取值范围 思路点拨 1 分a 1 0 a 1两种情况求解 2 可利用f x 为r上的奇函数 则有f 0 0 f 1 f 1 求出a b再进行检验 可结合 由于该函数在定义域上是减函数 故可得t2 2t k 2t2 转化为恒成立问题 因为x1 x2 所以2x2 2x1 0 又 2x2 1 2x1 1 0 故f x1 f x2 0 所以f x 为r上的减函数 1 指数函数y ax a 1 为单调递增函数 在闭区间 m n 上存在最大值和最小值 并且当x m时有最小值am 当x n时有最大值an 2 指数函数y ax 0 a 1 为单调递减函数 在闭区间 m n 上存在最大值和最小值 并且当x n时有最小值an 当x m时有最大值am 3 对于函数y af x x d 其最值由底数a和f x 的值域确定 求指数函数的最值时要注意函数定义域 题 2 中的 若对于任意t r 改为 若对于t 1 2 其他条件不变 又如何求解 某市现在人口总数为100万人 如果年平均增长率为1 2 试解答下列问题 1 试写出该市人口总数y 万人 与经过时间x 年 的函数关系式 2 计算10年以后该市人口总数 精确到1万人 3 计算多少年以后该市人口将达到120万人 精确到1年 参考数据 1 01210 1 127 1 01211 1 140 1 01212 1 154 1 01213 1 168 1 01214 1 182 1 01215 1 196 1 01216 1 210 思路探究 本题考查有关增长问题 即设原有人口为n 年平均增长率为p 则对于经过x年后的总人口y 可以用y n 1 p x表示 解 1 1年后该市人口总数为y 100 100 1 2 100 1 1 2 2年后该市人口总数为y 100 1 1 2 100 1 1 2 1 2 100 1 1 2 2 3年后该市人口总数为y 100 1 1 2 2 100 1 1 2 2 1 2 100 1 1 2 3 x年后该市人口总数为y 100 1 1 2 x 2 10年后该市人口总数为y 100 1 1 2 10 100 1 01210 100 1 127 112 7 113 万人 10年后该市人口总数约为113万人 3 依题意 得100 1 1 2 x 120 即1 012x 1 2 解得x 15 约15年以后 该市人口将达到120万人 此类增长率问题 在实际问题中常可以用指数函数模型y n 1 p x 其中n是基础数 p为增长率 x为时间 和幂函数模型y a 1 x n 其中a为基础数 x为增长率 n为时间 的形式 解题时 往往用到对数运算 春天来了 某池塘中的荷花枝繁叶茂 已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍 若荷叶20天可以完全长满池塘水面 当荷叶刚好覆盖水面面积一半时 荷叶已生长了 天 解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1 则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y 2x 1 当x 20时 长满水面 所以生长19天时 荷叶布满水面一半 答案 19 1 比较两个指数式值的大小的主要方法 1 比较形如am与an的大小 可运用指数函数y ax的单调性 2 比较形如am与bn的大小 一般找一个 中间值c 若am c且c bn 则am bn 若am c且c bn 则am bn 2 解简单指数不等式问题的注意点 1 形如ax ay的不等式 可借助y ax的单调性求解 如果a的值不确定 需分0 a 1和a 1两种情况进行讨论 2 形如ax b的不等式 注意将b化为以a为底的指数幂的形式 再借助y ax的单调性求解 3 形如ax bx的不等式 可借助图象求解 换元时忽视中间变量的范围致误 易错分析 用换元法解答本题 易忽视中间变量的范围致误 防范措施 用换元法解题时 一定要利用原变量的范围确定