第四讲 第4课时 操作探究型问题.ppt

第4课时操作探究型问题 2017 临沂 数学课上 张老师出示了问题 如图4 4 1 AC BD是四边形ABCD的对角线 若 ACB ACD ABD ADB 60 则线段BC CD AC三者之间有何等量关系 经过思考 小明展示了一种正确的思路 如图 延长CB到E 使BE CD 连结AE 证得 ABE ADC 从而容易证明 ACE是等边三角形 故AC CE 所以AC BC CD 图4 4 1小亮展示了另一种正确的思路 如图 将 ABC绕着点A逆时针旋转60 使AB与AD重合 从而容易证明 ACF是等边三角形 故AC CF 所以AC BC CD 在此基础上 同学们作了进一步的研究 1 小颖提出 如图 如果把 ACB ACD ABD ADB 60 改为 ACB ACD ABD ADB 45 其他条件不变 那么线段BC CD AC三者之间有何等量关系 针对小颖提出的问题 请你写出结论 并给出证明 图4 4 1 2 小华提出 如图 如果把 ACB ACD ABD ADB 60 改为 ACB ACD ABD ADB 其他条件不变 那么线段BC CD AC三者之间有何等量关系 针对小华提出的问题 请你写出结论 不用证明 解析 1 如答图 延长CB到E 使BE CD 连结AE 构造 ADC ABE 从而得到AE AC 进而得出结论 2 延长CD到E 使DE BC 连结AE 构造 ABC ADE 从而得到AE AC E 作AF EC 则CF AC cos 从而得到结论 证明 方法一 如答图 延长CB到E 使BE CD 连结AE ACB ACD ABD ADB 45 BAD 90 BCD 90 AD AB ABC ADC 180 又 ABE ABC 180 ADC ABE ADC ABE AC AE CAD EAB EAC BAD 90 例1答图方法二 如答图 将 ABC绕着点A逆时针旋转90 至 ADF的位置 使AB与AD重合 易得C D F三点共线 之后与方法一相同 证明略 2 BC CD 2ACcos 理由 如答图 延长CD至E 使DE BC 连结AE ABD ADB AB AD BAD 180 ABD ADB 180 2 ACB ACD ACB ACD 2 BAD BCD 180 ABC ADC 180 ADC ADE 180 ABC ADE ABC ADE SAS ACB AED AC AE AEC 过点A作AF CE于F CE 2CF 在Rt ACF中 ACD CF AC cos ACD AC cos CE 2CF 2AC cos CE CD DE CD BC BC CD 2ACcos 1 2017 岳阳 问题背景 已知 EDF的顶点D在 ABC的边AB上 不与A B重合 DE交AC所在直线于点M DF交BC所在直线于点N 记 ADM的面积为S1 BND的面积为S2 图4 4 2 1 初步尝试 如图4 4 2 当 ABC是等边三角形 AB 6 EDF A 且DE BC AD 2时 则S1 S2 2 类比探究 在 1 的条件下 先将点D沿AB平移 使AD 4 再将 EDF绕点D旋转至如图 所示位置 求S1 S2的值 12 3 延伸拓展 当 ABC为等腰三角形时 设 B A EDF 如图 当点D在线段AB上运动时 设AD a BD b 求S1 S2的表达式 用a b和 的三角函数表示 如图 当点D在BA的延长线上运动时 设AD a BD b 直接写出S1 S2的表达式 不必写出解答过程 解 2 如答图 过M N分别作MG AB NH AB 垂足为G H ADM MDN NDB 180 ADM A DMA 180 EDF A NDB DMA 又 A B 变式跟进1答图 变式跟进1答图 2 2016 成都 如图4 4 3 在 ABC中 ABC 45 AH BC于点H 点D在AH上 且DH CH 连结BD 1 求证 BD AC 2 将 BHD绕点H旋转 得到 EHF 点B D分别与点E F对应 连结AE 图4 4 3 如图 当点F落在AC上时 F不与C重合 若BC 4 tanC 3 求AE的长 如图 当 EHF是由 BHD绕点H逆时针旋转30 得到时 设射线CF与AE相交于点G 连结GH 试探究线段GH与EF之间满足的等量关系 并说明理由 解析 1 先判断AH BH 再判断出 BHD AHC即可 2 如答图 先根据tanC 3 求出AH 3 CH 1 然后根据 EHA FHC 得到HP 3AP AE 2AP 最后用勾股定理求出即可 3x x 4 x 1 AH 3 CH 1 由旋转知 EHF BHD AHC 90 EH AH 3 CH DH FH 1 EHA AHF FHC A