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平面问题的极坐标解答 习题讲解 1 习题4 1 试导出位移分量的坐标变换式 2 习题4 2 设有内径为a而外径为b的圆筒受内压力q 试求内半径及外半径的改变 并求圆筒厚度的改变 解 轴对称问题的径向位移公式 平面应变 对于圆筒轴对称问题 有 ur不随 变化 即 又由位移单值条件 有 常数A B由应力边界条件确定 应力分量 边界条件 3 4 习题4 3 设有刚体 具有半径为b的圆柱形孔道 孔道内放置一外半径为b而内半径为a的圆筒 受内压力q 试求圆筒壁的应力 解 刚体 边界条件 代入边界条件 有 将常数A C代入 有 5 将常数A C代入 有 刚体 6 习题4 4 矩形薄板受纯剪 剪力集度为q 如图所示 如果离板边较远处有一小圆孔 试求孔边的最大和最小正应力 解 由图 a 给出的孔边应力结果 得 7 习题4 5 楔形体在两侧受有均布剪应力q 如图所示 试求其应力分量 解 1 应力函数 的确定 由因次分析法 可知 代入相容方程 得到 8 2 应力分量的确定 9 2 应力分量的确定 由对称性 应为 的偶函数 应为 的奇函数 因而有 3 由边界条件确定常数 边界条件 代入 有 代入应力分量式 有 10 代入应力分量式 有 11 习题4 6 三角形悬臂梁在自由端受集中荷载P 如图所示 试用公式 4 21 求任一铅直截面上的正应力和剪应力 并与材料力学中的结果对比 解 由密切尔 J H Michell 解答 得 密切尔 J H Michell 解答 12 习题4 6 三角形悬臂梁在自由端受集中荷载P 如图所示 试用公式 4 21 求任一铅直截面上的正应力和剪应力 并与材料力学中的结果对比 解 由密切尔 J H Michell 解答 得 由应力分量的坐标变换式 13 14 由坐标变换式 15 材料力学结果 截面弯矩 截面惯性矩 截面正应力 弹性力学结果 两者结果相差较大 16 习题4 7 曲梁在两端受相反的两个力P作用 如图所示 试求其应力分量 解 1 应力函数的确定 分析 任取一截面 截面弯矩为 将其代入相容方程 a 17 上述欧拉方程的解 b 代入应力函数为 c 2 应力分量的确定 d 18 边界条件 代入应力分量得 19 边界条件 代入应力分量得 端部条件 右端 代入剪应力分量得 f 联立求解式 e f 得 e 自然满足 20 其中 代入应力分量式 d 有 f 21 习题4 8 设有无限大的薄板 在板内的小孔中受有集中力P 如图所示 试用如下应力函数求其应力分量 解 1 应力分量 提示 须要考虑位移单值条件 2 确定常数 取一半径为r的圆板为隔离体 其上受力如图 由圆板的平衡 得 代入应力分量 有 22 代入应力分量 有 恒等式 3 由位移单值条件确定常数A 23 由物理方程与几何方程 其中 应力分量 24 由物理方程与几何方程 其中 应力分量 积分得 代入 将ur代入积分得 25 将uru 代入 r 要使上式对任意的r 成立 有 其中 L为常数 a b 求解式 a 有 c 将式 b 变为 d 26 d 求解式 b 有 e f 将代入u 有 由位移单值条件 有 27 代入应力分量 得到 28 习题4 9 半平面在其一段边界上受法向分布载荷作用q 如图所示 试证半平面体中直角坐标应力分量为 叠加法 证法1 29 叠加法 证法1 分析思路 30 求解步骤 由楔形体在一面受均布压力问题的结果 4 25 31 由应力分量的坐标变换 应力分量的直角坐标形式 32 y y a 33 34 y y a 35 36 37 积分法 证法2 利用半限平面边界上作用法向集中力P的结果 有 由图中的几何关系 有 1 将以上关系式代入式 1 有 38 2 3 39 积分上式 有 40 41 42 补充题 列写图示问题的边界条件 43 44 试证明 补充题 满足极坐标下平衡微分方程 4 1 补充题 证明极坐标系下应变协调方程可表示为 轴对称情况下 45 补充题 设弹性体受径向和环向常体力 作用 试证明下列应力分量可作为极坐标下平衡微分方程 4 1 的一个特解 证明 4 1 代入极坐标下的平衡微分方程 显然 有 1 表明式 1 为方程 4 1 的一个特解 46 在弹性体受径向和环向常体力 作用下 下列应力分量可否为某个问题的可能解 思考题 2 答案 不能成为某个问题的解 为什么 47 有一薄壁圆筒的平均半径为R 壁厚为t 两端受相等相反的扭矩M作用 现在圆筒上发现半径为a的小圆孔 如图所示 则孔边的最大应力