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微积分疑难问题解析与自测提高 第三章中值定理与导数的应用自测题C参考答案一 选择题：1. D 2. B 3. B 4. C 5. C 6. B 7. C 8. C二 填空题：1. 2. 3. 4. 5 616 72 81，三 计算题与证明题：1讨论曲线与的交点个数。解:设则有不难看出，是的驻点。当时，即单调减少；当时，即单调增加，故为函数的最小值。当即时，无实根，即两条曲线无交点。当即时，有唯一实根，即两条曲线只有一个交点。当即时，由于；，故有两个实根，分别位于与即两条曲线有两个交点。2已知函数在连续，在内可导，且。证明：（1）存在，使得；（2）存在两个不同的点，使得。证明：（1）令则在连续，且所以存在，使得即。（2）根据拉格朗日中值定理，存在使得从而。3设函数在区间上具有二阶导数，且证明存在和，使及。证明：不妨设即故由函数极限的局部保号性知，存在使由闭区间上连续函数的零点定理可得存在使得。再由及罗尔定理，知存在和使，又在区间上对应用罗尔定理，知存在使。4.设且，证明。证明：因为连续且具有一阶导数，所以由知又令则由于所以。又由知单调增加，故是的极小值，且只有一个驻点，从而是的最小值。因此即。5试证：当时，。证明：令则，所以时，；当时，。于是，当时，即。6就k的不同取值情况，确定方程在开区间内根的个数，并证明你的结论。解：设，则在上连续。由解得在内的唯一驻点.由于当时,当时, ,所以在上单调减少,在上单调增加,因此是在内的唯一极小值点,极小值为，故最小值为.又因故在在内的取值范围为因此当即或时,原方程在内没有根;当时, ,原方程在内有唯一根;当时,原方程在和内各恰有一个根,即原方程在内恰有两个不同的根.7. 设函数在区间上连续,其导数在区间内存在且单调减少; 试用拉格朗日中值定理证明不等式:,其中常数a,b满足条件证明:根据待证结论构造辅助函数,令,则在上连续,在内可导,且由于在区间内存在且单调减少,故根据拉格朗日中值定理证明,存在,使得即.8.设函数在区间上具有二阶导数,且满足条件其中a,b都是非负常数,c是内任意一点,证明: .证明: ,其中在中令,则有;在中令,则有;上述两式相减,得于是.又
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