向量代数与空间解析几何.doc

第七章 向量代数与空间解析几何本章的教学与考试基本要求：1. 理解向量的概念,掌握向量的坐标表示法,会求单位向量,方向余弦,向量在坐标轴上的投影；2. 会求两向量的数量积、向量积，掌握两向量平行、垂直的条件；3. 会求平面方程、一般方程、会判定平面的垂直、平行； 4. 会求直线的对称式方程、参数方程，会判定两直线平行、垂直，会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）；5. 了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图7.1 空间直角坐标系一、主要内容回顾坐标系过空间一定点，按右手法则作三条相互垂直的数轴：轴（横轴）、轴（纵轴）、轴（竖轴），这样的三条坐标轴称为一个空间直角坐标系，点称为坐标原点坐标面由任意两条坐标轴确定的平面称为坐标面，其中由轴与轴所确定的平面称为坐标面由轴与轴所确定的平面称为坐标面由轴和轴所确定的平面称为坐标面卦限三个坐标面将空间分成八个部分,每一部分称为一个卦限,分别称为第I至第 VIII卦限点坐标空间上任意点在三条坐标轴上的投影在各自轴上的坐标记为, 则点与有序数组建立了一一对应关系，称为点的坐标，点称为以为坐标的点距离公式设，为空间两点，则与之间的距离为. 二、基本考试题型及配套例题题型I 选择题（1）点到轴的距离= ( )A B C D （2）点在第 卦限A I B IV C V D VIII解（1）选D点在轴上的投影为,故点到轴的距离为. （2）选D.题型II 计算题(1) 求关于点的对称点(2) 在第三卦限内求一点M，已知它与三个坐标轴的距离分别为, 解 (1)设对称点,由中点公式得 解得 =-3, =7, =0，即所求点的坐标为（2）设所求点为，点在轴、轴、轴上的投影分别为A, B,C，则即有 解得 因为在第III卦限内，故所求点的坐标为（-6，-4，3）题型III 证明题试证以点、为顶点的三角形是等腰直角三角形证 因 因为 ，且，故为等腰直角三角形三、习题选解 （习题7-1）3 求点与原点及各坐标轴之间的距离解 点在轴、轴、轴上的投影分别为、，故点到各坐标轴的距离分别为 4求点关于各坐标面、坐标轴、坐标原点的对称点的坐标解 点关于面的对称点是();关于面的对称点是();关于面的对称点是() 点关于轴的对称点是(); 关于轴的对称点是(); 关于轴的对称点是() 点关于坐标原点的对称点是()6. 在平面上，求与三个点，和等距离的点解 设所求点为，其坐标为 , 按题意有 ，即 即 亦即 解得 故所求点的坐标为7.2 向量代数一、主要内容回顾向量的概念既有大小又有方向的量，称为向量（1）与起点位置无关而只与大小和方向有关的向量，称为自由向量（2）向量的大小（或长度），称为向量的模（3）模为1的向量，称为单位向量（4）模为0的向量，称为零向量，记作（5）与大小相等方向相反的向量称为的负向量，记作（6）若两向量模相等方向相同, 则与相等（7）若与方向相同或相反，则称与平行，记作/ 向量的线性运算（1）把向量的起点移到向量的终点，则以的起点为起点b的终点为终点的向量,称为与的和向量，记做.（2）向量的减法：若把两向量与移到同一起点，则从的终点向的终点引向量，即是与的差（3）向量与数的乘法: 实数与向量的乘积是一个向量，记做, 它的模为：|=|方向为如下规定：当时，与同向；当时, 与反向；当时, 为零向量性质设为实数 ()=()=()()=, ()=+设b是非零向量，则存在实数,使二、基本考试题型及配套例题题型I 判断题与非零向量同向的单位向量只有1个.与非零向量共线的单位向量只有1个.解对.错.与非零向量共线的单位向量有两个为.题型II 选择题设为非零向量，且, 则必有（ ）A BC D (2)设向量相平行，但方向相反，则当时，必有（ ）A B C D 解 (1)选C. 当为非零向量，且，则以 为两邻边的平行四边形是矩形。而矩形的两条对角线长度相等，故必有(2)选A. 以及为三条边的三角形的边长，必须满足关系式.但是，当互相平行，方向相反，且时，必有题型III 证明题如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试应用向量证明它是平行四边形证明 设四边形中与交于，如右图由条件知因为所以是平行四边形 （如图）三、习题选解（习题7-2）1 .设，试用来表示解 3 .把的边五等分，设分点依次为，再把各分点与点A连接，试以,表示向量、解 如右图所示 （如图）7.3 向量的坐标表示法一、主要内容回顾向量的坐标表示（1）向量的坐标表示式：.（2）向量按基本向量的分解式：分别称为在轴上的分向量.向量运算的坐标表示设，则（1），（2），（3），（4）当时，；（其中为的方向角），（5）当时，与同向的单位向量为=二、考试题型及配套例题题型I 判断题(1)是单位向量；(2)是单位向量；(3) 与三坐标轴的正向夹角相等的向量,其方向角为解 (1)错因为，所以不是单位向量(2)对由于，故是单位向量(3)错因为任何一个向量的三个方向角应满足关系式，而，事实上，均以作为方向角的向量是根本不存在的题型II 计算题设向量,(1)用的模及方向余弦表示；(2)求与向量反向平行,且长度为75的向量.解（1）（2）按题意所求向量为且 解得 则有向量题型III 证明题设和为两已知点，而在直线上的点分有向线段为两个有向线段与，使它们满足等式, 试证分点的坐标为：证 由题意有 即亦即 解得 即证得分点的坐标为三、习题选解（习题7-3）1已知向量其终点在，求始点的坐标解 设A的坐标为，则由已知条件得 所以 故A点坐标2. 已知求的值解 由 解得 3. 已知向量 求（）（）（，为常数）解（1） （2）4. 设已知两点和，计算向量的模，方向余弦和方向角解 所以 5. 设向量的方向余弦分别满足，问这些向量与坐标轴或坐标面的位置关系如何？解（1），则向量与轴垂直、平行于面 （2）， 则向量与y轴同向、垂直面（3），则向量既垂直轴，又垂直于轴，即向量垂直于 面，亦即与轴平行6. 已知向量试用正向与一致的单位向量来表示解 .7. 求平行于向量的单位向量解 故平行于向量的单位向量为8一向量与轴和的夹角分别为和，求它与轴的夹角解 设向量与各坐标轴间的夹角为.根据，由已知条件，得 所以 或7.4 数量积 向量积一、 主要内容回顾数量积(1)称为在上的投影，记作，即(2)称为向量与的数量积(3)数量积的坐标表达式(4)两向量夹角余弦的坐标表达式(5)数量积的性质 向量积(1)向量积定义 若由与按下列方式决定的方向垂直与所确定的平面，且、符合右手法则，则称为与的向量积，记作注：(2)向量积坐标表示 （3）向量积性质 （）一、 基本考试题型及配套例题题型I 判断题(1) ； (2) 或；(3) 若 则；(4) 若且则；(5) 分析 这是一组关于向量的各种运算的等式.判定等式是否成立，先要看等式两边是否同时是数量，或同时是向量；其次，若同时是数量，则看数值是否相等，若同时是向量，则判断模是否相等，方向是否相同；若一边是数量，另一边是向量，则显然不相等.解 (1)错由于左端是向量，右端是数量，故等式不成立(2)错因为 故结论不成立(3)错两向量与的模相等，但方向不一定相同，故结论不一定成立，如，但.(4)错由可知，且，此等式成立，当且仅当,而不一定有，如，但.实际上，将的起点移到同一点，只要的终点落在与平行的任一直线上，就有,从而，但.(5)错.因为向量不能比较大小，该等式没有意义.题型II 选择题（1）向量与的数量积=（ ）.A ； B ； C ； D （2）非零向量满足，则有（ ）A ; B (为实数)； C ； D （3）设与为非零向量，则是（ ）A 的充要条件； B 的充要条件; C 的充要条件； D 的必要但不充分的条件（4）设，则向量在轴上的分向量是（ ）A 7 B 7 C 1； D -9解 （1）选C.因为 （2）选C.因为 （3）选A.因为. （4）选B.因为.题型III 计算题设其中且,试问：（1）为何值时，？(2）为何值时，以，为邻边的平行四边形面积为6？解（1）由 可知当时，亦即（2）据题意知 即 解之得 题型 IV 证明题设，向取何值时，最小？并证明当最小时，解 令，而，所以 令得惟一驻点，而，故是的唯一小值点，因此当时，最小，此时也最小当时，因为 ，故 三、习题选解（习题7-4）1设，求（1）及；（2）夹角的余弦.解 （1） ， （2）2设在下列条件下求的值（1），（2）解 解 （1）要使 ，需 ， 解得 （2）要使 ，需 ， 解得 3设向量的模为4，与轴的夹角分别为、，求向量的坐标解 4已知四点、，求（1）；（2）与、同时垂直的单位向量.解 由题意可知 ，(1)， = （2）取 ，则设为垂直于向量和，从而与、同时垂直的单位向量为5 已知向量和计算（1）； （2）； （3）解 （1）= （2） （3）7 .设质量为100kg的物体从点沿直线移动到点，计算重力所做的功.（长度单位为m）解 8已知，求的面积解 利用向量积的几何意义知 ， 而 ， 故= 9求以与为两邻边的平行四边形的面积解 由向量积的几何意义有 =，而，故=10已知,且,的夹角为,求.解 设=.则，由题意可知 ， = ，即 ，所以 11求同时垂直于和轴的单位向量.解 设为轴上向量，则由向量积的定义可知，若，则同时垂直于和，且 显然，与平行的单位向量应是两个方向相反的向量，它们是 7.7 空间曲线及其方程一、主要内容回顾表示的空间曲线及其方程空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程其中为参数常用空间曲线螺旋线二、基本考试题型及配套例题题型I选择题（1）空间曲线的方程是（ ）.A 惟一的； B 不惟一的； C 可能不惟一； D 不能确定.（2）方程组 表示 （ ）.A 椭球面； B 平面上的椭圆；C 椭圆柱面； D 空间曲线在平面上的投影. （3）方程 在空间直角坐标系下表示 （ ）. A 坐标原点； B 坐标面的原点； C 轴； D 坐标面. 解（1）选B.因为空间曲线的一般方程是，即任何两个包含该曲线的曲面方程联立，都可以表示该曲线的曲线方程，如曲线也可以用 或等表示.（2）选B.因为该方程组表示一个椭球面与平面的交线，即平面上的椭圆.（3）选C.因为 等价于，而表示坐标面，表示坐标面，这两个坐标面的交线即为轴.题型II解答题指出下列方程组在空间解析几何中表示怎样的曲线：（1）； （2）； （3）解（1）表示平行于坐标面的平面，表示平行于坐标面的平面，方程组表示过点平行于轴的一条直线. （2）表示以原点为球心，以4为半径的球面；表示平行于 坐标面的平面，方程组表示平面上的一个圆，圆心为，半径为.（3）表示椭圆抛物面，表示过轴的平面，方程组表示平面上的一条抛物线.三、习题选解（习题7-7）2.指出下列方程组在平面解析几何与在空间解析几何中分别表示什么图形：（1）； （2）解（1）在平面解析几何中表示两条直线的交点；在空间解析中表示两平面的交线. （2）在平面解析几何中表示椭圆与其一切线的交点；在空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线.7.8 空间的直线及其方程一、主要内容回顾空间直线方程空间直线的一般方程两平面交线，L的方向向量为.空间直线的对称式方程，其中为上一点， 为L的方向向量.空间直线的参数式方程，其中是参数.空间两直线间关系两直线的方向向量的夹角（锐角）称为两直线的夹角.设两直线与的方向向量分别为；（为与的夹角）.空间直线与平面间的关系直线与它在平面上的投影直线的夹角(),称为直线与平面的夹角.设直线L的方向向量为，平面的法向量为，则；（为直线与平面的夹角）；.二、基本考试题型及配套例题题型I 填空题（1）过点且与直线垂直的平面方程是 _.（2）已知两条直线的方程分别是 ，则过L1且平行于L2的平面方程是 _.解（1）化参数方程为对称方程：，则所求平面的法向量为 ，依点法式得， 即 （2）取上的点，取 .则由点法式可得所求平面方程为 题型II 选择题（1）设空间直线的对称式方程为 则该直线必（ ）.A 过原点且垂直于轴； B 过原点且垂直于轴；C 过原点且垂直于轴； D 过原点且平行于轴.（2）设空间三直线的方程分别为,则必有（ ）.A ； B ； C ； D .解（1）选A.由题设知给定直线的方向向量为 ，轴的方向向量为 ，由，知，即直线垂直于轴.又因给定直线 就是平面与的交线，该直线显然通过原点.综上所述，知所给直线过原点且垂直于轴（2）选.设直线的方向向量分别为，则有.因为,所以 .题型III 计算题写出满足下列各条件的直线方程：（1）经过点且垂直于平面；（2）经过点且平行于轴；（3）经过点且平行于直线.解（1）因为所求直线垂直于平面 ，所以直线平行于所给平面法向量 ，故可取直线的方向向量为 ，于是所求直线方程为 .（2）因为直线平行于轴，所以直线的方向向量平行于单位向量，故可取，于是所求直线方程为 .（3）因为已知直线的方向向量, 故所求直线的方向向量可以取为，于是所求直线方程为.题型IV 解答题（1）求直线 与平面的夹角.（2）直线 在平面上，试求的值.解（1）直线的方向向量，平面的法向量由直线与平面所成角的公式得 （2）分析 要使直线在平面上，只要平行于，且有一个点在上即可.的方向向量 的法向量 ，由平行于，得，即.又为上的点，把此点的坐标代入的方程得 ,解得 .三、习题选解（习题7-8）1 求过点且平行于直线的直线方程解 因为所求的直线与平行，所以其方向向量为，故直线方程为 2 求过两点和的直线方程解 是所求直线的方向向量，故所求直线方程为 3 用对称式方程及参数方程表示直线解 令，则 得，从而得直线上的一点直线的方向向量可取为 于是对称式方程为 ，参数式方程为 4 求过点且与直线垂直的平面的方程解 取则所求平面方程为 ，即 5 求直线与直线的夹角的余弦解 即两直线垂直6 求直线与平面间的夹角解 ，所以，故直线与平面夹角为7 求过点且与两平面和平行的直线方程解 取，则所求直线方程为 8 .求过点且通过直线的平面方程解 显然点也在所求平面上.，取 ，则所求平面方程为 ，即 9 试确定下列各组中的直线和平面间的位置关系：(1)和；(2) 和；（3）和解 (1) ，显然 ，且直线上的点不在平面上，因此直线与平面平行(2) ,显然/，因此直线与平面垂直.(3) 显然又直线上的点在平面上，所以直线在平面上10 求直线与平面的交点解由 得 ，将代入，得 ，将代入 得 所以交点为11 求过点而与两直线和平行的平面方程解 ， 从而所求平面方程为 ，即 12求点在平面上的投影点的坐标解 过点而垂直于平面的直线方程为 ，解联立方程 ， 得 ，则即为所求的投影点坐标13求点到直线的距离解 直线的方向向量为 ,在已知直线上取点，于是已知直线的方程为 ,其参数方程为 （1）过点作已知直线的垂直平面 ，其方程为 ,即 （2）将（1）式代入（2）式，得，即得 ，从而得点P向已知直线所作垂线的垂足坐标为，因此点P到已知直线的距离为 14求点到平面的距离解 由点到平面 的距离公式 得所求距离 15 设一平面垂直于平面,并通过从点到直线的垂线,求平面的方程解 设所求平面的法向量为，则，从而，于是可设平面方程为 过点垂直于直线的平面方程为 直线与平面的交点（垂足）为于是点和点均在上，即 ，从而，故所求平面方程为 本章测试题一、 填空题1. 已知,则向量在轴方向上的分向量为_2. 过点和的直线方程为_3. 设，且，则4. 设空间两直线与相交于一点，则5. 已知向量与平行且方向相反，若，则6. 方程在空间直角坐标系中表示的曲面是_7. 平面与平面的夹角为_8. 平面上的双曲线绕轴旋转所得旋转曲面方程为_二、 选择题1. 设为三个任意向量,则( )A ； B ； C ； D .2. 曲面与的交线是 ( )A 抛物线；