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1 积分变换 第一章付里叶变换 第二章拉普拉斯变换 1 1付氏积分 1 2付氏变换 1 3付氏变换的公式和性质 1 4卷积与相关函数 2 1拉普拉斯变换的概念 2 2拉氏变换的基本公式和性质 2 3拉氏逆变换 2 4拉氏变换的应用 2 一 付氏级数 称实系数R上的实值函数f t 在闭区间 a b 上满足狄利克莱 DirichLet 条件 如果它满足条件 在 a b 上或者连续 或者只有有限个第一类间断点 f t 在 a b 上只有有限个极值点 1 1付氏积分 第一章付里叶变换 3 从T为周期的周期函数fT t 如果在上满足狄利克雷条件 那么在上fT t 可以展成付氏级数 在fT t 的连续点处 级数的三角形成为 其中称为频率 频率 对应的周期T与fT t 的周期相同 因而称为基波频率 n 称为fT t 的n次谐波频率 4 二 付氏级数的复指数形式 在fT t 的间断点t0处 式 1 1 1 的左端代之为 5 付氏积分定理若f t 在 上满足下列条件 注非周期函数满足付氏积分定理的条件1 才能保证函数在任意有限区间上能展为付氏级数 满足付氏积分定理的第2 条 才能保证存在 6 1 2付氏变换 7 例1求矩形脉冲函数的付氏变换及其积分表达式 8 9 t 10 11 二 尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式 12 2 2单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中 常常会碰到单位脉冲函数 因为有许多物理现象具有脉冲性质 如在电学中 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流 在力学中 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数 13 在原来电流为零的电路中 某一瞬时 设为t 0 进入一单位电量的脉冲 现在要确定电路上的电流i t 以q t 表示上述电路中的电荷函数 则 当t 0时 i t 0 由于q t 是不连续的 从而在普通导数意义下 q t 在这一点是不能求导数的 14 如果我们形式地计算这个导数 则得 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度 为了确定这样的电流强度 引进一称为狄拉克 Dirac 的函数 简单记成d 函数 有了这种函数 对于许多集中于一点或一瞬时的量 例如点电荷 点热源 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等 就能够象处理连续分布的量那样 以统一的方式加以解决 15 在极限与积分可交换意义下 工程上将d 函数称为单位脉冲函数 16 可将d 函数用一个长度等于1的有向线段表示 这个线段的长度表示d 函数的积分值 称为d 函数的强度 d 函数有性质 可见d 函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义 17 三 函数及其付氏变换 1 函数的定义 1 狄拉克 满足一列两个条件的函数称为 函数 18 d 函数的傅氏变换为 于是d t 与常数1构成了一傅氏变换对 证法2 若F w 2pd w 由傅氏逆变换可得 例1证明 1和2pd w 构成傅氏变换对 证法1 19 3 函数在积分变换中的作用 1 有了 函数 对于点源和脉冲量的研究就能够象处理连续分布的量那样 以统一的方式来对待 2 尽管 函数本身没有普通意义下的函数值 但它与任何一个无穷次可做的函数的乘积在 上的积分都有确定的值 3 函数的付氏变换是广义付氏变换 许多重要的函数 如常函数 符号函数 单位阶跃函数 正弦函数 余弦函数等是不满足付氏积分定理中的绝对可积条件的 即不存在 这些函数的广义付氏变换都可以利用 函数而得到 20 由上面两个函数的变换可得 21 这种频谱图称为离散频谱 也称为线状频谱 四 付氏变换的物理意义 频谱 1 非正弦的周期函数的频谱 22 例4求正弦函数f t sinw0t的傅氏变换 23 一 常用函数付里叶变换公式 1 3付氏变换的公式和性质 24 例5证明 证 25 26 三 付氏变换的性质 1 线性性质 2 位移性质 该性质在无线电技术中也称为时移性质 27 3 对称性质 4 相似性质 28 5 象函数的位移性质 象函数的位移性质在无线电技术中也称为频移性质 6 翻转性质 29 7 微分性质 若f在上连续或只有有限个可去间断点 且当时 则 推论若 k 1 2 n 在上连续或只有有限个可去间断点 且 0 k 0 1 2 n 1 则有 30 8 象函数的微分性质 若 则 一般地 有 若当时 则 如果 则 9 积分性质 其中 31 10 象函数的积分性质 若 则 11 乘积定理 若 则 其中 均为t的实函数 分别为 的共轭函数 32 12 能量积分 若 则 该等式又称为巴塞瓦等式 13 卷积定理 设 满足付氏积分定理中的条件 且 则 33 1 4卷积与相关函数 二 卷积的性质 34 35 二 积分变换的运用 例求微分积分方程 36 运用微分性质及积分性质 37 求解方程 38 由微分性质 有 39 40 求下面方程的解 其中 t a b c均为常数 41 根据傅氏变换的微分性质和积分性质 且记F x t X w F h t H w 在方程两边取傅氏变换 可得 42 43 第二章拉普拉斯变换 2 1拉普拉斯变换的概念 一 拉氏变换和拉氏逆变换的定义 称为的拉普拉斯变换 简称拉氏变换 或象函数 记为 即 又称为的拉普拉斯逆变换 简称为拉氏逆变换 或象原函数 记即 44 二 拉氏变换的存在定理 拉氏变换存在定理设函数f t 满足下列条件 45 关于拉氏变换存在定理 做如下的几点说明 1 从物理应用观点来看 条件2 3 都是容易满足的 实用上所考察的物理过程 往往是用时间函数来描述的 并且是从某一时刻开始 因此可以选这时刻为t 0 在此以前情况则不加考虑 例如sint 若要对它进行拉氏变换则应把它理解为sintu t 2 工程技术中所遇到的函数大部分是存在拉氏变换的 3 如果f t 为指数级函数 则其增长指数不唯一 46 三 关于拉氏变换的积分下限问题 47 2 2拉氏变换的基本公式和性质 一 常用函数的拉氏变换公式 当m为正整数时 有 注 函数具有如下的递推公式 48 当m是正整数时 9 设是 0 上的周期为T的函数 即 则的拉氏变换为 49 二 拉氏变换的性质 设则有 1 线性性质 设 为常数 2 位移性质 设a为常数 3 延迟性质 若t 0时 则对任一非负实数有 亦可写为 50 注 中的意味着 当时 只有此式成立时才能使用延迟性质 这一点容易被忽略 因而造成错误 为了避免出现这种错误 故将延迟性质写为 2 2 16 式的形式 4 微分性质 特别地 当初值时 有 51 5 积分性质 推论 6 象函数微分性质 一般地 有 7 象函数积分性质 若积分收敛 则 一般地 有 52 注 由象函数的积分性质得即 8 卷积定理 注 付氏变换中的卷积定理包含两个公式 而拉氏变换中卷积定理只含一个公式 53 9 初值定理 若存在 则 10 终值定理 若的所有奇点全在s平面的左半部 则 11 相似性质 设a为正实数 54 2 3拉氏逆变换 定理2 3