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第十章张量分析 第一节问题的提出 第二节矢量的基本运算 第三节坐标变换及张量的定义 问题的提出 自然法则与坐标无关 坐标系的引入方便分析 但也掩盖了物理本质 坐标系引入后的相关表达式冗长 如何解决 引入张量方法 A 1指标符号 下标符号i称为指标 n为维数指标i可以是下标 如xi也可以是上标 如xi 记作 指标的取值范围如不作说明 均表示从1 3 定义这类符号系统为指标符号 一般采用下标 xi i 1 2 3 x1 x2 x3 x y zui i 1 2 3 u1 u2 u3 u v w 一 若干约定哑标和自由标 1 Einstein求和约定 凡在某一项内 重复一次且仅重复一次的指标 表示对该指标在它的取值范围内求和 并称这样的指标为哑指标 如 又如 重复不止一次的指标 求和约定失败 求和约定仅对字母指标有效 如 同一项内二对哑标应使用不同指标 如 注意 1 2 3 4 哑标可以换用不同的字母指标 2 求导记号的缩写约定 k 3 自由标 定义 凡在同一项内不重复出现的指标 如 j为自由标 j 1 注意 同一个方程中各项自由标必须相同 不能改变某一项的自由标 但所有项的自由标可以改变 1 2 wrong right 如 二 克罗内克 Kronecker 符号 定义 由定义 性质 三 Ricci符号 定义 即 共27个分量 亦称为排列符号 置换符号 恒等式 由此得 A 2矢量的基本运算 说明 任意矢量可以表示为基矢量的线性组合 1 2 基矢量不是唯一的 1 点积 基矢量点积 任意两矢量的点积 1 2 1 2 叉积 基矢量的叉积 由于 特别地 比较 两个任意矢量的叉积 2 3 混合积 基矢量混合积 故也有定义 1 矢量混合积 表示的是以为边长的平行六面体的体积 2 4 并矢 并乘 定义 展开共9项 可视为并矢的基 为并矢的分解系数或分量 A 3坐标变换与张量的定义 1 平面笛卡儿坐标系旋转变换 为正交矩阵 引用指标符号 由 又 讨论 上式的几何意义 说明 1 基矢量具有与坐标分量相同的变换规律 2 矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换规律 2 三维情况 考虑一位置矢量 同理 同二维问题 可得 正交性 可试证 3 张量定义 定义 在坐标变换时 满足如下变换关系的量称为张量 自由标数目n 张量的阶数 对于三维空间 张量分量的个数为3n个 变换式也有3n个 采用并矢记号 不变性记法或抽象记法 可写成上式的量也称为张量 第二种定义 讨论 1 2 上述表达式具有不变性特征 张量分量与坐标系有关 3 在坐标变换时遵循相同的变换规律 符合 为一新张量 A 4张量代数 以二阶张量为例说明 加减法只有同阶张量才能加减 仍为同阶张量 如 张量A B 另证 符合 为一新张量 交换律 结合律 2 矢量与张量的点积 1 2 左点乘 右点乘 点乘得到的新张量比原张量低一阶 3 矢量与张量的叉积 左叉乘 1 2 右叉乘 叉乘得到的新张量与原张量同阶 4 张量与张量的点积 两个张量点积的结果仍为张量 新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减2 5 张量的双点积 两个张量双点积的结果仍为张量 新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减4 6 张量的双叉乘 两个张量双叉乘的结果仍为张量 新张量的阶数为原两个张量的阶数之和减2 7 张量缩并 对A进行缩并 将其中的二个基矢量点乘 得到比原张量低二阶的新张量 二阶张量相当于将对角元素求和 高阶张量相当于分量的某两个指标相同 8 指标置换 若对该张量的分量中任意两个指标交换次序 得到一个与原张量同阶的新张量 如 指标置换也可以通过交换相应的基矢量位置来得到 9 对称化和反称化 对于二阶张量 对称 有6个独立分量 反对称 有3个独立分量 高阶 对称形式多样 关于j k对称的四阶张量 关于j i反对称的三阶张量 对称化 反对称化 10 商法则 证明 next 证明 举例 A 5二阶张量 二阶张量也称仿射量 它相当于一个方矩阵 在向量空间 类似线性变换算子的作用 如 B的作用如同一个算子 将空间内一个向量变换成另一个向量 或者说B能把一个向量空间映射为另一向量空间 B是一个线性算子 1 转置 定义 对于 性质 2 仿射量的逆 性质 定义 3 对称仿射量的主向和主值 对于仿射量B 若存在三个相互垂直的方向i 其映象B i B B 也相互垂直 则称该三个方向为B的主向 定义 对称仿射量T必存在三个主向和三个相应的主值 主值S满足如下特征方程 其中 称为仿射量T的第一 第二 第三不变量 由特征方程可求解出三个主值为 其中 4 各向同性张量 定义 在坐标任意变换时 各分量保持不变的张量 称为各向同性张量 性质 零阶张量 即标量 总是各向同性的 一阶张量 即矢量 总不是各向同性的 对于对称二阶张量 必存在三个主向和主值 如果其三个主值相等 即 3 则是各向同性的 1 2 3 因为 因此 4 可以证明 四阶各向同性张量有 T是各向同性的 A 6张量分析 一 梯度 散度 旋度 力学中 几何方程与位移场的梯度有关 转动量与位移场的旋度有关 平衡方程与应力场的散度有关 1 哈密顿 Hamilton 算子 梯度算子 梯度 散度 旋度均涉及到Hamilton算子 可以表示为 可以证明 Hamilton算子具有张量的属性 相当于一阶张量 2 梯度 1 标量场 为一阶张量 矢量 2 张量场 1 左梯度 2 右梯度 3 散度 1 矢量场 为一标量 2 张量场 1 左散度 2 右散度 4 旋度 1 矢量场 2 张量场 1 左旋度 2 右旋度 二 高斯Gauss公式 式中 S是空间体积 的封闭边界面 ni为边界面S的外法向方向余弦 讨论 1 标量场 2 矢量场 推广到任意阶张量的情形 其不变性记法为 称为广义高斯公式 或称散度定理 3 A 7曲线坐标中的张量分析 1 曲线坐标 坐标变换 逆变换 上述变换一一对应的充要条件是 fi gi为单值连续可微函数 在域内任意点处 可以调整的次序 使J 0 称为正常容许变换 满足以上二个条件 称为容许变换 因为 2 局部基矢量 在笛卡儿坐标系 空间任意向量 张量 都可以在基上分解 这种做法可进行两种不同的解释 1 固定在原点 2 在每个考察点上 此处仅表明方向的作用 在曲线坐标系 我们采用第二种做法 定义 切向量 作为该点的局部基 也称自然基 为书写方便 曲线坐标也不带撇 一般 不是单位矢量 大小和方向随考察点而变 定义 对于正交曲线坐标系 称为度量张量 例1求圆柱坐标系的自然基和度量张量 解 例2球坐标系 笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等 可以推广到曲线坐标系 如 这时的基矢量及变换系数是空间点位置的函数 自然基矢量量纲为1的单位矢量 对于正交曲线坐标 这样定义的局部标架与笛卡儿直角标架相当 称这种正交单位标架为物理标架 或称物理基 例1圆柱坐标系的物理基为 例2球坐标系的物理基为 3 张量对曲线坐标的导数 1 曲线坐标系的Hamilton算子 以标量场为对象 在曲线坐标中 类似直角坐标 该表达式具有不变性 另 称为形式导数 2 克里斯多弗 Christoffel 符号 物理基随位置点而变化 涉及对它的导数 定义 为在物理基上的分解系数 称为克里斯多弗符号 注意到 涉及 代回后 可得 若干性质 证明 共有9个 在正交曲线坐标系