浅谈数列极限论文.doc

学号：学士学位论文题 目 浅谈数列极限 学 生 指导教师 年 级 专 业 系 别 学 院 学士学位论文开题报告论文题目 浅谈数列极限学生姓名 指导教师 年 级 专 业 年 月课题来源： 自拟题目课题研究的目的和意义： 本研究从极限的起源谈起，让学生清楚的明白极限的概念，加深学生对极限相关定义的理解，在清晰极限概念的前提下，介绍了数列极限的相关知识点，由于极限是初等数学跨越到高等数学的重要渠道，所以学好极限更好为高等数学打下好基础。国内外同类课题研究现状及发展趋势： 数列极限是高等数学的基础，理解和掌握好数列极限的定义对高等数学的学习起着至关重要的作用，因此国内外经常研究数列极限的学习障碍、数列极限的证明和求值、数列极限上下限的研究、数列极限和函数极限之间的关系、压缩摄影原理在极限中的应用等。 课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：首先，研究极限的起源，理解极限的由来，了解极限的基本概念。其次，研究数列极限的概念和性质，在极限的基础上学习数列极限，了解判定数列极限存在的方法和数列极限的基本定理。最后，浅谈数列极限的应用。课题研究起止时间和进度安排：起止时间安排：2012年11月2013年4月进度安排：一. 研究周期 2012年11月到2013年4月二. 具体时间安排 2012年11月2012年12月 在指导老师的指导下分析课题，了解课题背景并完成开题报告。2013年1月2013年2月 在数学系资料室及校图书馆查阅相关资料积累相关数据信息并在指导教师帮助下分析资和整理资料。2013年3月 完成论文初稿。2013年4月初 在指导教师的帮助下修改论文，定稿。课题研究所需主要设备、仪器及药品： 电脑,打印机外出调研主要单位，访问学者姓名： 无指导教师审查意见： 同意开题指导教师 （签字） 年 月 教研室（研究室）评审意见 同意开题 教研室（研究室）主任 （签字） 年 月系（部）主任审查意见： 同意开题 院（系）主任 （签字） 年 月学 士 学 位 论 文题 目 浅谈数列极限学 生 指导教师 年 级 专 业 系 别 学 院 浅谈数列极限摘 要：极限是初等数学跨向高等数学的一座重要的桥梁，是数学分析中研究问题的主要方法，而数列极限时学习极限相关知识的第一个概念，很多学生在理解极限概念时存在困难，导致相关概念不清晰、理解困难，为了更好的了解极限、运用极限、那么熟练掌握极限的概念就显得尤为重要，并且对学好高等数学也有较大帮助。因此本文就集中介绍了数学分析中有关数列极限的相关概念、定理推论和应用。关键词；数学分析 极限 求法 应用 一、极限概念的由来一尺之锤，日取其半，万世不竭。为什么能用割圆术求出圆的精确面积？为什么光总是走最短的路程？为什么肥皂泡是球状的?为什么露珠不是方的?这些问题都和极限有关，本论文就将带你领略极限的精彩世界，从极限的起源说起，让大家更清楚的了解极限的先进思想和概念，认识数列极限和函数极限，并能更好的利用极限的灵活性解决数学分析中的难题。我们先来介绍极限的起源。公元前300年，也即距今2300年，中国的庄子在这学上首次提出“梦与现实孰真孰伪，“人与鱼能否否共存”，也正是这位庄子在其著作庄子中首次明确提出极限的概念，即“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。也就是说根一尺长的木棒，每天取下剩下的一半，把这一过程一直进行下去，即使无限长的时间，也不可能把这根木棒切完，即为0。在这个故事中，庄子所揭示的切棒极限是0。越切越短，越切越少，但是，“万世不竭”即永远不为零，而又无限逼近于零。庄子的故事虽然简单，但是却给出了影响极限概念的最重要实例，现在，再让我们介绍一位希腊的埃利亚学派的代表人物芝诺。他提出的“阿基里斯追龟”也是典型的极限实例。阿基里斯是希腊神话中一个善于行走的人物，可谓“日行千里，夜行八百”。然而芝诺却断言：阿基里斯永远追不上乌龟。芝诺的假设如下：假设阿基里斯的行走速度是乌龟的十倍，乌龟在阿基里斯前方100米处，十分明显阿基里斯比乌龟快很多，应该能追上，但是细细分析却不是如此，若阿基里斯走完100米时乌龟爬了10米；若阿基里斯又走了10米，乌龟又往前爬了1米；若阿基里斯又往前走了1米，乌龟则有爬行了米；因此，乌龟总是在阿基里斯之前，换句话说，阿基里斯永远追不上乌龟。二、数列极限及相关概念（一）浅谈数列极限的定义在数学中，我们把上面的两个故事归结为数列和极限。庄子认为每一次切下来棒子的长度构成一串数字，即它反映着棒子从1逐渐归于0的演变过程，我们把这种有规律的一串数字称之为数列，一般地可以写成或者用作数列的代表。现在我们把数列和极限这两个概念联系起来，假如这列数列是有限的，那么我们用从最开始的、运动到反映走向极限的一个过程，数列的各项加起来构成的和称之为级数，那么级数从有限项逐步到无限项也是走向极限的过程，由此我们可以概括出数列极限的定义。数列极限的定义为：设为数列，a为定数。若对任给的正数，总存在正整数N，是得当nN时，有1，求证=1分析1 由均值不等式有 =1+。因为a1，所以1，故得01.因而有a-1=-1=（-1）（）n（-1）00，取N=+1，于是当nN时，就有nN=+1，按定义知=1例2 设0|q|0，要求 ，它等价于。可见，只须取N是一个不小于的正整数就可以了。证对于任给的0，N时，就有 nN=+1 ， N时，有N时，有0若U（a：）之外数列中的项至多有有限个，则数列收敛于极限a。（2） 数列极限的性质 要熟练的运用数列极限就要掌握和熟练运用极限理论所必不可少的基础知识，我们接下来介绍下极限的相关性质、定理和推论。 定理1 若=a，=b，则a=b。 定理2 设=a，=b。 若ab，则存在N，使得nN时，就有 若存在N，使得nN时，就有，则ab 推论 设=a 若ab（或aN时，就有b（或N时，就有b（或b），则ab（或ab） 定理4 设=a，=b,则有 =； =； =，b0. 定理5 （收敛数列必有界）若数列收敛，则为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有，N时，总有； =a=； 则也收敛且=a 判定定理2 （单调收敛定理） 若数列递增且有上界，则=； 若数列递减且有下界，则=。 小结 掌握和熟练运用极限理论是学好数列极限必不可少的基础，其中，定理4也称为极限的四则运算，它表明极限运算可以和加、减、乘、除，需要注意的是与除法运算换序时分母的极限不能为0.这些定理也常被用作某些数列的发散性，并且有界数列的极限不一定存在，但是它的上极限、下极限却总是存在的。例如的极限不存在，但是它的上极限为1，下极限为-1都存在。 在研究比较复杂的数列极限问题时，通常先考察该数列是否有极限，若存在极限，再考虑如何计算极限，这是极限理论的两个基本问题。因此，确定某个数列是否存在极限就比较重要，但是我们不可能将每个实数按照定义逐一验证，而是直接从数列本身的特征来作判断的。因此，我们就要了解判断数列界限存在的定理和推论 定理1 （单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有界。定理2 （柯西收敛准则） 数列收敛的充要条件是：对任给的0，存在正整数N，使得当n，mN时有。小结 定理1是数列收敛的充分条件，首先讨论数列的单调性，与单调函数的定义相仿，在解题时，我们直接判断是否有上（下）界，或构造不等式来确定的数列的单调性和上（下）界只要确定数列有上界（或下界）并且是单调的就可以判定数列是收敛的，而柯西收敛是数列收敛的充分必要条件，它反映了收敛数列各项的值越是到后面，越是彼此接近的，它的好处是无需借助数列以外的数，只要根据数列本身的特征就能鉴别数列的收敛(或发散)性.（3） 数列极限的应用我们已经了解了数列极限的概念、相关定理、推理和判断极限存在的办法，接下来就介绍几种常用求数列极限的方法。1. 定义法根据数列极限的定义，作差，解方程0，只要取N=+1即可证明 证 故对于任意的0，取N=+1，于是当nN时，就有 即 按定义知=0成立。2. 利用柯西收敛准则 在遇到无法用定义求解的情况下，我们可以利用柯西收敛准则，柯西收敛把定义中的与a的关系换成的关系，其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其收敛和发散性。 例1：证明任一无限十进小数=的n位不足近似（n=1，2，）所组成的数列 满足柯西条件（从而收敛），其中为中的一个数， 证明 记，不妨设，则有 = = 对任给的，取，则对一切，有，存在正整数，当n，mN时， 有 |而 则由柯西收敛准则知数列收敛。3. 利用单调有界定理 有的时候遇到的数列极限比较复杂，需要先判断一下数列是否收敛，再求其极限，此时利用单调性有界定理就比较简便。 例1.证明数列，收敛性存在，并求其极限。 证 改写 ，易见数列是递增的用数学归纳法证明数列有上界当n=1时， 2，假设n=k时， 2 ，则=2综上所述，有， 2故数列是递增的有界数列。由单调有界定理，数列有极限，记为a 由于对上式两边取极限a+2，即有（a+1）（a+2）=0，解得a=-1或a=2由数列极限的不等式性，a=-1是不可能的，故得此数列的极限为2. 例2 设，n=1，2，其中实数，证明数列收敛。 证 显然数列是递增的，下证有上界，事实上， =2- 于是由单调有界定理知收敛。 例3 求证 . 证 改写令.当时， . 因此从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界0. 因此，由单调 有界原理知极限存在， 在等式的等号两边令，得到, 所以为无穷小. 从而 . 例4 求证是否存在证 设=，利用二项式定理展开= = 比较、两式得右端，发现式右端多出个k=n+1的一个项，并且括号中的因子都大于式中的相应因子，所以，及数列严格递增。将式右端中所有括号里的因子都放大为1，当n2时，便有1+1+=2+1-+-+-0（，则有 由上式的0 2n+1= 所以 . 因 ，再由迫敛性知 . 例3 设及，求. 解：.先令，把写作，其中.我们有 .由于，可见是无穷小。据等式 ，注意到，由方才所述的结果是无穷小.最后的等式表明，可表为有限个（个）无穷小的乘积，所以也是无穷小，即 .5. 利用定积分定义 若在通项中含有的数列极限，由于的特殊性，直接求相对困难，可转化成定积分来求这样就相对容易多了.在解题时与放缩法、迫敛性连用会使解题更简便. 例1 求. 解：令，则.而,也即，所以. 例2 求极限. 解：因为 ， ， 类似地 ， 由夹逼准则知 . 总结 我们知道极限是数学分析的基石，是微积分学的基础，可见数列极限是一种重要的极限类型.掌握数列极限的概念、性质和计算是学好函数极限和微积分的前提和基础，灵活巧妙的应用它，也可以使一些较为困难的实际问题迎刃而解.通过前面的例子我们知道求数列极限的方法灵活多样，给一些数学问题的讨论和计算带来极大的方便.对它的研究也使数学分析在经济领域和数学领域中发挥更大的作用.这在数学分析关于函数极限和微积分学的研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值.文献资料：1华东师范大学数学系.数学分析（上册，第三版）M.北京：高等教育出版社.20012孙涛数学分析经典习题解析M. 北京：高等教育出版社.2004.3裴礼文数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社.19934陈文灯数学复习指南M.北京：世界图书出版社.2005.5钱吉林主编.数学分析题解精粹武汉：崇文书局.2003.The limit of a sequence Abstract:the limit is the elementary mathematics across to an important bridge of higher mathematics,is the main method to study problems in mathematical analysis,and the limit of a sequence is the first concept learning limit knowledge ,many students have difficulties in understanding the concept of limit , leads to the concept is not clear ,problem solving ,in order to better understand the limit ,the limit the concept of limit ,so master is particularl