定积分及其应用概要PPT课件.ppt

1 第六章定积分及其应用 6 1定积分的概念 6 2定积分的性质 6 3微积分学基本定理 6 4定积分的计算方法 6 5广义积分 6 6定积分的应用 2 第六章定积分及其应用 4 如何计算定积分和应用定积分 前一章讨论了已知一个函数的导数 如何求原来的函数 这样一个积分学的基本问题 不定积分 这一章将讨论积分学的另一个基本问题 定积分 1 什么是定积分 2 定积分有哪些性质 3 定积分与不定积分有何关系 本章的主要问题有 3 一 引例 曲边梯形的面积 定义1 在直角坐标系中 由一条连续曲线y x 和三条直线x a x b和y 0 x轴 所围成的图形 称为曲边梯形 如右图AabBA 与直边梯形AabB的区别 o x y y 0 y x x a x b a b B A 6 1定积分的概念 当y x 0时 曲边梯形AabB的面积怎么求呢 中学里会求直边多边形 特别是矩形 的面积 下面利用矩形的面积来求曲边梯形AabB的面积 问题 4 从而此区间对应的小窄曲边梯形CEFH的面积近似等于小窄矩形DEFH的面积 o x y y x a b B A x x x H C D E F y 因而 如果把区间 a b 任意地划分为n个小区间 并在每一个区间上任取一点 再以该点的高来近似代替该小区间上窄曲边梯形的高 从而每个窄曲边梯形就可近似地 分析 问题的难度在于曲边梯形AabB的高对整个区间 a b 来说是一个变量 其最大值与最小值之差较大 但从区间 a b 的一个局部 小区间 来看 它也是一个变量 但因 x 连续 从而当 x 0时 y 0 故可将此区间的高近似看为一个常量 5 视为一个小窄矩形 而且全部窄矩形的面积之和也可作为曲边梯形面积的近似值 要想得精确值 只需区间 a b 的分法无限细密 即每个小区间的长度 x 0 时 全部窄矩形的面积之和的极限一定是曲边梯形面积的精确值 从而可用下述方法和步骤来求曲边梯形的面积 I 化整为零 或分割 任意划分 如右图 用分点 o x y y x 将区间 a b 任意地划分为n个小区间 6 o x y y x 记第i个小区间的长度为 过每个分点作垂直于x轴的直线 将曲边梯形分成n个窄曲边梯形 如上图 若用S表示曲边梯形的面积 表示第i个窄曲边梯形 阴影部分 的面积 则有 II 近似代替 或以直代曲 任意取点 在每个小区间 上任取一点 以为高 以小区间的长度为底 7 则该窄矩形的面积 为了从近似过度到精确 将所有的窄矩形的面积相加 就得曲边梯形的面积的近似值 即 III 求和 取极限 作窄矩形 如右图 近似等于 即 记各小区间的最大长度为 当分点数n无限增大且各小区间的最大长度 对上述和式取极限就得曲边梯形的面积 即 8 二 定积分的定义 由引例知 把一个求曲边梯形的面积的问题可以归结为一个特殊和式的极限 这种和式的极限应用极广 可解决数学 物理 工程及经济等众多领域中的不少实际问题 将上述获得这类极限的思想方法加以概括和抽象 定义1 设 x 在 a b 上有定义 点 在每个小区间 上任取一点 就有定积分的定义 将区间 a b 任意地划分为n个小区间 每个小区间 的长度为 作和式 9 若当时 有确定的极限值I 且I与区间 a b 的 分法和的取法无关 则称函数 x 在区间 a b 上可积 并称此极限值I为 x 在区间 a b 上的定积分 记为 称为积分和 其中 x 为被积函数 x dx称为被积表达式 x称为积分变量 a称为积分下限 b称为积分上限 a b 称为积分区 即 注1 若 x 在区间 a b 上可积 则定积分 的字母无关 即 它仅与被积函数 x 和积分区间 a b 有关 而与积分变量 C常数 10 注2 极限过程 既保证了分点个数无限增多 又保证了区间分割无限细密 即所有小区间的长度都趋于0 因此 对于可积函数 x 若要用定义来计算 若只有则不能保证区间分割无限细密 注3 x 在区间 a b 上可积的充要条件是极限 且此极限值与 a b 的分法和的取法无关 则可选择较为方便的区间分法和的取法 使得计算简便 2019 12 28 11 12 三 函数可积的条件 由注3知 每个函数的可积性与积分和的极限的存在性等价 但求积分和的极限 却非常困难 定理1 若 x 在区间 a b 上无界 则 x 在 a b 上必不可积 问题 下面给出函数可积的几个定理 其等价命题为 可积函数必有界 函数可积的必要条件 以下三个定理是函数可积的充分条件 定理2 若 x 在区间 a b 上连续 则 x 在 a b 上可积 定理3 若 x 在区间 a b 上有界且只有有限个间断点 则 x 在 a b 上可积 13 注4 有了函数可积的充分条件 就可借助定义1来 例1利用定积分定义计算定积分 可将区间 0 4 特殊划分并特殊取点 定理4 若 x 在区间 a b 上单调有界 则 x 在 a b 上可积 解因 x 2x 3在 0 4 上连续 将某些极限问题转换为一个定积分 计算给定的定积分的值 故它在 a b 上可积 从而 不妨在区间 0 4 内插入n个等分点 分成n个小区间 取右端点为 14 例2将 表示成定积分 在区间 0 1 上可积 15 用等分分点法所得的积分和为 16 习题提示 P213 4 2 17 注5 前面的讨论中已默认区间 a b 中的ab呢 为方便作如下规定 且a b时 定积分 从而可消除对定积分上下限的大小限制 若a b 则 若a b 则 四 定积分的几何意义 表示一个在x轴上方的曲边梯形的面积 由定义1知 当连续函数 18 且a b时 定积分 当 x 在 a b 上有正有负时 定积分 形的面积与x轴下方的曲边梯形的面积之差 即面积的代数和 表示一个在x轴下方的曲边梯形的面积的相反数 的值就是x轴上方的曲边梯 当 19 例3利用定积