抛物线练习题.doc

24.1抛物线的标准方程一、基础过关1 抛物线y28x的焦点坐标是_2 抛物线x212y0的准线方程是_3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线1上，则抛线方程为_4 已知抛物线y22px (p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为_5 以双曲线1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_6 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y22x上移动，M为AB的中点，则M点到y轴的最短距离为_7 设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是_二、能力提升8 与y轴相切并和圆x2y210x0外切的动圆的圆心的轨迹方程为_9 设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么PF_.10求经过A(2，4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标11设斜率为2的直线l过抛物线y2ax (a0)的焦点F，且与y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程12设P是抛物线y24x上的一个动点，F为其焦点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求PBPF的最小值三、探究与拓展13已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且AFBF8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程2.4.2抛物线的几何性质(一)一、基础过关1 设点A为抛物线y24x上一点，点B(1,0)，且AB1，则A的横坐标的值为_2 以x轴为对称轴的抛物线的通径长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为_3 经过抛物线y22px (p0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则的值是_4 过抛物线y22px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则A1FB1_.5 等腰RtABO内接于抛物线y22px (p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则RtABO的面积是_6 如图所示，过抛物线y22px (p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若BC2BF，且AF3，则此抛物线的方程为_7 过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)若x1x26，则AB_.二、能力提升8 如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m水位下降1 m后，水面宽_ m.9 已知ABC的三个顶点都在y232x上，A(2,8)，且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率是_10正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y22px (p0)上，求这个正三角形的边长11线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线求抛物线的方程12已知过抛物线y22px (p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2) (x10)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦求证：(1)y1y2p2；x1x2；(2).2.4.2抛物线的几何性质(二)一、基础过关1 已知抛物线y22px (p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为_2 设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0，2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_3 设O是坐标原点，F是抛物线y22px (p0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60，则OA的长度为_4 已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是_5 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是_ cm.6 点P到A(1,0)和直线x1的距离相等，且点P到直线l：yx的距离等于，则这样的点P的个数为_7 根据条件求抛物线的标准方程(1)抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线xy20上；(2)抛物线的顶点在原点，焦点是圆x2y24x0的圆心二、能力提升8 过抛物线y22px (p0)的焦点F作两弦AB和CD，其所在直线的倾斜角分别为与，则AB与CD的大小关系是_9 若点P在抛物线y2x上，点Q在圆M：(x3)2y21上，则PQ的最小值是_10设抛物线y22x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，BF2，则BCF与ACF的面积之比_.11已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上又知此抛物线上一点A(1，m)到焦点的距离为3.(1)求此抛物线的方程；(2)若此抛物线方程与直线ykx2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值12在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A、B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点三、探究与拓展13抛物线y22px (p0)的焦点为F，准线与x轴交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A、B两点(1)直线l的斜率为，求证：0；(2)设直线FA、FB的斜率为kFA、kFB，探究kFB与kFA之间的关系并说明理由抛物线及标准方程答案1(2,0)2y3 3y28x425y216x 617(2，) 8y220x或y0 (x0)或y22px (p0)把A(2，4)，代入x22py或y22px得p或p4.故所求的抛物线的标准方程是x2y或y28x.当抛物线方程是x2y时，焦点坐标是F，准线方程是y；当抛物线方程是y28x时，焦点坐标是F(2,0)，准线方程是x2.11解抛物线y2ax (a0)的焦点F的坐标为，则直线l的方程为y2，它与y轴的交点为A，所以OAF的面积为4，解得a8.所以抛物线方程为y28x.12解(1)抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.点P到准线x1的距离等于P到焦点F(1,0)的距离，问题转化为：求点P到A(1,1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和的最小值显然，当P是A，F的连线与抛物线的交点时，所求的距离之和最小，为AF.(2)同理(1)，PF等于点P到准线x1的距离，PBPF等于点P到点B的距离与点P到直线x1的距离之和，其最小值为点B到直线x1的距离为4，即PBPF的最小值为4.13解设抛物线的方程为y22px (p0)，则其准线为x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AFBF8，x1x28，即x1x28p.Q(6,0)在线段AB的中垂线上，QAQB，即，又y2px1，y2px2，(x1x2)(x1x2122p)0.AB与x轴不垂直，x1x2.故x1x2122p8p122p0，即p4.从而抛物线方程为y28x.抛物线的几何性质(一)答案102y28x或y28x 34490 54p2 6y23x 78 829410解如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2px1，y2px2.又OAOB，所以xyxy，即xx2px12px20.整理得(x1x2)(x1x22p)0.x10，x20,2p0，x1x2.由此可得|y1|y2|，即线段AB关于x轴对称由此得AOx30，y1x1.与y2px1联立，解得y12p，AB2y14p.11解画图可知抛物线的方程为y22px (p0)，直线AB的方程为xkym，由消去x，整理得y22pky2pm0，由根与系数的关系得y1y22pm，由已知条件知|y1|y2|2m，从而p1，故抛物线方程为y22x.12解(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2，由抛物线定义得ABx1x2p9，所以p4，抛物线方程为y28x.(2)由p4,4x25pxp20，化简得x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4)设(x3，y3)(1，2)(4,4)(14，24)，又y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.13证明(1)如图所示抛物线y22px (p0)的焦点F，准线方程：x.设直线AB的方程为xky，把它代入y22px，化简，得y22pkyp20.y1y2p2，x1x2.(2)根据抛物线定义知FAAA1x1，FBBB1x2，.抛物线的几何性质(二)答案1 223p 4x22y155.625 637 解(1)直线xy20与x，y轴的交点坐标分别为(2，0)和(0，2)，所以抛物线的标准方程可设为y22px (p0)或x22py (p0)，由2，得p4，所以所求抛物线的方程为y28x或x28y.(2)圆x2y24x0的圆心为(2,0)，故抛物线方程的形式为y22px (p0)由2得p4，所以所求抛物线方程为y28x.8ABCD 9.1 1011解(1)由题意设抛物线方程为y22px，其准线方程为x，A(1，m)到焦点的距离等于A到其准线的距离13，p4.此抛物线的方程为y28x.(2)由，消去y得k2x2(4k8)x40，直线ykx2与抛物线相交于不同的两点A、B，则有，解得k1且k0.又x1x24，解得k2或k1(舍去)所求k的值为2.12(1)解由题意知，抛物线焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线方程y24x，消去x，得y24ty40.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)证明设l：xtyb，代入抛物线方程y24x，消去x，得y24ty4b0，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt