数学毕业论文-常见二次曲面上的特殊曲线-圆截线.doc

毕业论文（设计）评语及成绩论文类型：理论研究型评语：该论文对常见二次曲面上的特殊曲线圆截线展开了深入地研究，并且在前人的基础上用新方法讨论了一般二次曲面上的圆截线。论文选题新颖，论点正确，论据充分，论证严谨，条理清晰，结构完整，系统逻辑性强，表现出有较强的专业理论基础，并在一些问题的阐述中有一定的拓展和延伸，有自己的见解、有创新，有一定的理论及应用价值。作者在文中查阅了大量的资料，论文书写规范。同意提交答辩。指导教师（签字）年 月 日评语及评分成绩： 答辩委员会主席（签字）年 月 日院（系）学位评定委员会意见：签字：年 月 日学校学位评定委员会意见：签字：年 月 日22目录摘要1Abstract2前言3第一章二次曲面的一般理论41.1二次曲面的概念41.2二次曲面的分类4第二章二次曲面的圆截线62.1特殊二次曲面的圆截线62.1.1椭球面的圆截线62.1.2双曲面的圆截线62.1.3抛物面的圆截线72.1.4椭圆柱面的圆截线72.1.5二次锥面的圆截线82.2一般二次曲面的圆截线82.2.1圆截线存在的条件82.2.2一般二次曲面的圆截线11第三章二次曲面圆截线公式的应用153.1二次曲面圆截线所在平面153.1.1二次锥面的圆截线平面153.1.2椭圆球面的圆截线平面163.1.3椭圆柱面的圆截线平面163.1.4双曲面的圆截线平面173.1.5椭圆抛物面的圆截线平面173.2二次曲面圆截线的应用18注释21后记22摘要在解析几何和画法几何中，对二次曲面的圆截线问题都有过研究，这是因为研究二次曲面的圆截线无论对丰富解析几何和画法几何理论，还是对生产实际应用都具有一定的价值。前人采用从平面与曲面的截口问题入手，用平行截割法进行研究，讨论二次曲面圆截线及其性质。本课题将进一步研究二次曲面的圆截线问题。首先，将二次曲面方程化简，进行分类，划为十七种标准方程。其次，对这十七种二次曲面中的常见二次曲面进行研究，讨论常见二次曲面上的特殊曲线-圆截线问题，给出圆截线方程。最后，在前人的理论基础上深入研究，利用特征根方法探讨常见二次曲面上的特殊曲线-圆截线问题，给出一般的二次曲面圆截线存在的条件。并且通过二次曲面与二次曲面的圆截线平面的交线的方法研究特征根在一定的条件下二次曲面的圆截线平面方程并加以证明，举例说明其应用，从而加深对二次曲面的理解，提高实践意义，指出二次曲面上的圆截线的理论价值和应用价值。关键词：二次曲面；圆截线；特征根AbstractThe circle go to in the analytic geometry high school cuts the line, its research and discover the start in the ancient Greece, can be treated as a reach the peak of ancient Greece geometry to make, from the standpoint of the geometry, search and a closely-related this kind of curve, their several is round several natural expansion of.Cut the lines to all once had the research to the sketch of the curved face in analytic geometry and several of technique of painting, this is because study the sketch of the curved face to cut the line regardless to abundant analytic geometry and several theories of technique of painting, still all have the certain value towards producing actual applications, however just studied from the angle that cast shadow to a few familiar curves faces in severs of technique of painting, in the analytic geometry though studied from the analytical angle, but the method was tedious not to keep the view, generally also not easy ideal, this literary grace studies the sketch of the curved face to cut the line with the method of method and the characteristic root that the form number combine, since keep the view and understand. The curves face cut oscular really settle for resolve to produce actual medium some problems to have the certain leading meaning and apply the value, that method cuts the property of the line problem and research curved face to have the widespread meaning to the circle of the curved face. Key words: curved face two times; the circle cuts the line; characteristic root前言圆截线的研究和发现起始于古希腊，可以说是古希腊几何学的一个登峰造极之作，从几何学的观点，研究和圆密切相关的这种曲线，它们的几何乃是圆的几何的自然推广。在解析几何中二次曲面的研究往往是从平面与曲面的截口入手，用平行截割法进行探讨，而其中的圆截线也是了解、把握曲面性质的重要曲线。前人在解析几何和画法几何中对二次曲面的圆截线都曾有过研究，这是因为研究二次曲面的圆截线无论对丰富解析几何和画法几何理论，还是对生产实际应用都具有一定的价值，然而在画法几何中只是对几种常见曲面从投影的角度来研究，在解析几何中虽是从解析的角度去研究，但方法繁琐不直观，一般也不易理解。下面将从二次曲面方程入手对其化简、分类，采用特征根的方法研究二次曲面上的圆截线问题。第一章 二次曲面的一般理论1.1二次曲面的概念定义1 在空间，由三元二次方程：所表示的曲面叫做二次曲面。为了今后讨论的方便，我们引进一些记号如下：，1.2二次曲面的分类定理1 通过适当的选取坐标系，二次曲面的方程总可以写成下面十七种标准方程的一种形式： 1 （椭球面）；2 （虚椭球面）；3 （点或称虚母线二次锥面）；4 （单叶双曲面）；5 （双叶双曲面）；6 （二次锥面）； 7 （椭圆抛物面）； 8 （双曲抛物面）；9 （椭圆柱面）；10 （虚椭圆柱面）； 11 （交于一条实直线的一对共轭虚平面）；12 （双曲柱面）；13 （一对相交平面）；14 （抛物柱面）；15 （一对平行平面）；16 （一对平行的共轭虚平面）；17 （一对重合平面）第二章二次曲面的圆截线2.1特殊二次曲面的圆截线本节将研究十七种二次曲面中特殊二次曲面上的圆截线。下面直接给出常见二次曲面上圆截线的一些重要结论。2.1.1 抛物面的圆截线定理1 椭圆抛物面（）的圆截线为：与 其中和均为任意实数。特别地，旋转抛物面的圆截线为：其中h为任意实数，（当h0时，截线为互相重合的两点即原点，此时视为点圆；而当h0时，截线为虚圆）。定理2 双曲抛物面上没有椭圆，更不会有圆，所以双曲抛物面没有圆截线。2.1.2 双曲面的圆截线定理3 单叶双曲面（）有两族圆截线，其方程为：与 其中和为任意实数。特别地，单叶旋转双曲面的圆截线为 ： 其中h为任意实数。定理4 双叶双曲面（）的两族圆截线方程为：与 其中和为任意实数。特别地，双叶旋转双曲面的圆截线为 ： 其中k为任意实数，（当时截线分别为互相重合的两点，此时视为点圆，而当时截线为虚圆）。2.1.3 椭球面的圆截线 定理5 椭球面 （）有两族圆截线平面，它的圆截线方程是： 与 其中和都是任意实数。2.1.4 椭圆柱面的圆截线定理6 双椭圆柱面（）的圆截线为：与 其中和为任意实数。特别地，对于圆柱面来说，本结论也成立，即圆柱面 的圆截线为：其中k为任意实数。2.1.5 二次锥面的圆截线定理7 二次锥面（）的圆截线为： 与 其中和为任意实数。特别地，圆锥面的圆截线为 ： 其中h为任意实数，（当h0时，截线为互相重合的两点即原点，此时视为点圆）。2.2一般二次曲面的圆截线上节研究了特殊二次曲面上的圆截线问题，要想研究一般的二次曲线上圆截线，往往先把它转化成特殊的二次曲面上的圆截线再去研究，但转化过程一般比较复杂。本节将利用特征根的方法直接研究一般二次曲面上的圆截线问题，给出一般二次曲面的圆截线的求法。2.2.1圆截线存在的条件定义1 方程叫做二次曲面的特征方程，特征方程的根叫做二次曲面的特征根。定理8 若二次曲面的特征根满足，则二次曲面为球面，此时它有无穷多组圆截线。证明：因为，而且二次曲面至少有一个非零特征根，所以二次曲面的规范方程为是球面，所以任一平面截它时都得到圆，即此时它有无穷多组圆截线。定理9 若二次曲面的特征根满足，要用平面在二次曲面上截出圆，则必须。证明：（反证法）设，则，当时，其规范方程为： 若时，则为：（）若时，则为：（）当时，其规范方程为： 即 。首先证明不能被平面（）截出圆，作旋转：则截线为： 要想使上式为圆，须且仅须 因为，所以，若，则（若，则矛盾），所以，所以矛盾，若，则矛盾，所以用截得不到圆。因为 与 相似，所以用任何平面，截，也得不到圆，同理上无圆截线。 其次，是两相交平面，他们被第三平面相截，也得不到圆。 最后，证明截也得不到圆，作旋转，则得截线方程：要想使上式表示圆，须且仅须 由前一部分证明知，用截不出圆 , 产生矛盾，所以假设不成立。定理10 若二次曲面的特征根满足，则要用平面截得到圆，必须。证明：（反证法）设，则，二次曲面的规范方程为： 或 （）首先证不能被截出圆，作旋转，则截线为：要想使上式表示圆，须且仅须这是一个矛盾问题，因若，由，而与 相矛盾。若，由也矛盾，是两平面，它们不可能被第三平面截出圆。定理11 双若二次曲面的特征根，要想用平面截得圆，必须。综上可知，三个特征根按大小排序一定满足，可知是二次曲面存在圆截线的条件。2.2.2一般二次曲面的圆截线研究一般二次曲面的圆截线，先用特征根的方法探讨二次曲面的圆截线平面问题，再与二次曲面相交，交线即为所求的圆截线。下面将介绍二次曲面在特定条件下的圆截线平面。定理12 二次曲面的过原点的圆截线平面为非零特征根决定的平面：证明：二次曲面由二次锥面：和球面： 决定的二次曲面： 中的一个曲面，考虑上式，其中I40，k10，k20，因是特征根，所以，故锥面为一对平面，所以这一对平面可能截二次曲面于一对实圆，或虚圆，或点圆。定理13 二次曲面的过任意点（）的圆截线平面为非零特征根决定的平面：证明：作平移，由于平移时二次项系数不变，特征根及I2不变，所以作平移：，后，二次曲面在新坐标系内过原点的圆截线平面为：将，代入上式，即为所求。定理14 若二次曲面的三个特征根满足，且，则二次曲面的过原点的圆截线平面为：证明： 设决定的主方向的方向余弦为，决定的主方向的方向余弦为。因为互不相同，所以它们决定的三个方向两两互相垂直，故决定的主方向可取为：，且 （），以为轴方向，为轴方向，为轴方向，作旋转： 因为上式 且在旋转时不变，所以将旋转公式代入上式，得： 整理得： 即这是过原点的平面。推论：若二次曲面取三个特征根满足，且，则二次曲面的过点的圆截线平面为：定理15 若二次曲面的三个特征根满足，则二次曲面过原点有唯一的圆截线平面：证明：设决定的主方向的方向余弦为，决定的主方向的方向余弦为，以为轴方向，以为轴方向，以为轴方向，作旋转得：因为（），将旋转公式代入上式得：整理得：即，亦即是过原点的唯一的圆截线平面。推论：若二次曲面的特征根满足，则二次曲面过点（）有唯一圆截线平面：第三章二次曲面圆截线公式的应用 本节继续用特征根的方法研究二次曲面的圆截线问题，对二次曲面圆截线公式的应用，先研究二次曲面的圆截线平面公式的应用，再与二次曲面相交得到二次曲面的圆截线。下面将介绍二次曲面圆截线的平面公式及其应用。3.1二次曲面圆截线所在平面 二次曲面的圆截线平面公式：式中，此以式从理论上概括了前人在这方面的研究成果，应用如下3.1.1 二次锥面的圆截线平面定理1 二次锥面（）的圆截线平面，其特征根为： ，代入圆截线平面公式得：即 所以 即 （） （）3.1.2 椭圆球面的圆截线平面定理2 椭圆球面（）的圆截线平面，其特征根为，代入圆截线平面公式得：即 所以其圆截线平面为： （） （）3.1.3 椭圆柱面的圆截线平面定理3 椭圆柱面（）的圆截线平面，其特征根为，代入圆截线平面公式得：即 所以 所以其圆截线平面为： （） （）3.1.4 双的圆截线平面曲面定理4 双曲面（）的圆截线平面，其特征根为，代入圆截线平面公式得：即 所以 所以其圆截线平面为： （） （）3.1.5 椭圆抛物面的圆截线平面定理5 椭圆抛物面（）的圆截线平面，其特征根为，由圆截线平面公式得：即 所以 所以其圆截线平面为： （） （）3.2实际应用例1 求单叶双曲面，过点（3，、4）的圆截线。解：由可知，于是 和 。由结论知，单叶双曲面有两族圆截线平面，它们是： 和 其中和都是任意实数。所以所求的圆截线为： 和 例2 求过y轴的平面，使它与椭球面（）的交线是一个圆。解：法1：利用坐标变换椭球面（）的圆截线平面是： 和 其中和都是任意实数，所以所求圆截线为： 和 显然截线是一个圆。法2：设所求平面方程为，则截线为：由得，把它代入椭球面方程得：亦即 要使交线是圆，则上述方程必能表示球面，此时从而可得： 于是所求截线为： 和 故交线为一个圆。法3：由对称性可知，截线圆的圆心在原点，半径为b，从而截线在球面，上，即截线方程为：（2）式减去（1）式乘以得：即 和 。注释A.图书著作文献：1 郭卫中.空间解析