数学与应用数学毕业论文-函数项级数收敛区间.doc

分类号 O173 单位代码 11395 密 级 公 开 学 号 0804230118 学生毕业论文题 目一类函数项级数收敛区间的求法 作 者Liubei院 (系)数学系专 业数学与应用数学指导教师答辩日期 2012 年05月30日榆 林 学 院毕业论文诚信责任书本人郑重声明：所呈交的毕业论文，是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人毕业论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 论文作者签名: 年 月 日榆林学院本科毕业论文摘 要对形如的幂级数，当其不缺项时,直接用公式达朗贝尔（比值）判别法1求其收敛半径与收敛区间；但当其缺项时，不能直接采用达朗贝尔（比值）判别法来求其收敛半径与收敛区间.对这种幂级数，本文采用变量代换法，将其转化成可以采用公式法求解的类型.本文先用引理引出其结论，然后给出了这种变量代换法的理论证明，最后将其结论进行了推广.这样，利用变量代换之后，再用公式法同样可求形如形式的函数项级数的收敛半径与收敛区间. 关键词：函数项级数，幂函数，收敛半径，收敛区间，达朗贝尔(比值)判别法I榆林学院本科毕业论文ABSTRACT For series like ,it is usual to find the interval and radius of convergence by the dAlembert determination method,not to do those by the formula of ,when the series lacks terms.In fact,to find the interval and radius of convergence of those series by the formula of ,it is just sufficient to make a transformation.The proof of the method is shown in this paper.Besides,the method has been generalized to find the convergent intervals of functional term series like by the formula of with a transformation.Keywords： functional term series，power series，radius of convergence，convergenc- e;convergent interval，dAlembert determination method目 录摘 要ABSTRACT1 引言12 相关定理23 幂级数的求法63.1 规则缺项幂级数的求法63.1.1 缺少奇数幂级数项的求法73.1.2 缺少偶数幂级数项的求法73.2 缺少两项幂级数的求法73.3 成等差数列幂级数的求法84 小结10参考文献11致 谢12III榆林学院本科毕业论文1 引 言本文对形如的幂级数进行了研究.这类幂级数在函数方面非常重要，尤其是求他们的收敛半径和收敛区间，我们直接用公式法只能求出不缺项和规则缺项的幂级数的收敛半径和收敛区间，因此如何来求不规则缺项的幂级数的收敛半径和收敛区间，是值得进一步探讨。本文采用公式代换法，把不能用公式法求解的幂级数转换为可以用公式法来求解的幂级数的收敛半径与收敛区间.这样，对于这类幂级数，无论是缺项的还是不缺项的，规则的还是不规则的，我们都可以很容易地求出它的收敛半径和收敛区间了.给出了形如的幂级数的收敛半径和收敛区间的求法，这种方法在很大程度上帮助我们解决了很多繁冗的求法，使得很多这类幂级数收敛半径和收敛区间的求法变得尤为简单.2 相关定理引理12 设有幂级数，令，则，将代入系数，得，记，以为系数作一新幂级数.若，都存在，设，则有下述结论 当时， ，且.定理13 幂级数与 有相同的收敛半径与收敛区间.证明 先考虑的收敛半径与收敛区间.因为（1）当时，由比值判别法，当，即时，幂级数收敛； 当时，即时，幂级数发散， 所以收敛半径，收敛区间为. 又对幂级数，由公式法可知，由引理1知，即，所以其收敛半径，收敛区间为.（2）当时，显然两级数由相同的收敛区间，收敛半径；（3） 当时，显然两级数仅在处收敛，.定理1得证.由定理1的证明过程易得如下推论：推论14 设有幂级数，令，则它的收敛半径为，可用如下公式求得下面考虑形如级数的收敛区间问题.引理 先给出一个引理.设有级数,令，将代入，得，并令，以为系数作幂级数.若，都存在，并设，,则有下述结论 当时，或，且.定理25 设有级数与幂级数，为的收敛半径，则（1）当为奇数时，两级数有相同的收敛区间；（2）当为偶数时，的收敛区间为.证明 对级数，令，将代入系数，得，记，作一级数，并设，作变量代换就可得到相应幂级数.当时，由引理2有，即.所以幂级数的收敛半径为,收敛半径为.又由定理1知幂级数 与幂级数 有相同的收敛区间.又由引理1可知有.所以，的收敛区间为.对级数，设（1）当为奇数时,由上述结论可知当 ，即时，级数收敛，时发散.所以收敛区间为，即；（2）当为偶数时，因为必有，所以收敛区间为，即.当时，或时，容易得，结论也成立. 3 幂级数的求法3.1 规则缺项幂级数的求法定义 形如的幂级数叫做规则缺项幂级数，其中, ,为整数.3.1.1 缺少奇数幂级数项的求法考虑幂级数的收敛半径,该幂级数缺少奇数幂级数的项,下面介这幂级数的收敛半径的四种方法.方法一 将原幂级数看成常数项级数,采用达朗贝尔比值审敛法来求半径.解 令计算= = 当, 即时原幂级数收敛;当, 即时原幂级数发散.所以,原幂级数的收敛半径.方法二 作变量代换将原幂级数化成标准型幂级数. 解 作变换,原幂级数化为,这已是一个完整项幂级数,可以按照定理所述的比值方法来求收敛半径了. ,所以,，即收敛半径. 方法三 采用根值法，利用公式来收敛半径，但需注意根指数与项数要相同。这就相当于对级数添加了一些值为零的项（不会影响级数的敛散性）.令则级数化为。再考虑幂级数的收敛半径.解 因为，所以收敛半径.方法四 有些级数可直接求和，利用和函数的奇点来确定幂级数的收敛半径.解 .和函数的奇点是，而展开点（即收敛圆心）为，因此与最近奇点（或）得距离为，这就是说幂级数的收敛半径.这些求收敛半径的方法避开了直接使用定理中的公式而达到了既定目标.3.1.2 缺少偶数幂级数项的求法考虑幂级数缺少偶数幂级数的项,下面通过一道例题来说明.例1 计算幂级数的收敛半径与收敛区间.解 可将看作一个变量,记,不论取何值都有所以级数的收敛半径R=,收敛区间为.32 缺少两项幂级数的求法下面通过例题来说明. 例2 求幂级数的收敛半径与收敛区间.解法1 用变量代换法令，则考虑幂级数的收敛半径，因为所以的收敛半径.由定理1可知，的收敛半径，收敛区间为.解法2 用推论1中的公式因为所以的收敛半径，收敛区间为.3.3 成等差数列幂级数的求法下面通过例题来说明.例3 求函数项级数的收敛区间.解 因为，为偶数.令 ，可得，则所以的收敛半径为.因为偶数，故函数项级数的收敛区间为.5 小 结通过定理以及推论求得幂级数,并在此基础上推出规则缺项幂级数的求法.级数在科学研究等方面有着很重要的作用，尤其是函数项级数.收敛半径和收敛区间作为函数项级数最重要的性质，因此研究它的收敛半径和收敛区间尤为重要.参考文献1 华中师范大学数学系.数学分析(下册)C.武昌: 华中师范大学出版社,2001,2.2 华东师范大学数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社,2001.7-20.3 钱吉林.数学分析题解精粹M从文书籍出版社，2003,96-98. 4 苏化明.大学数学M合肥: 高等教育出版社,2008-06.5 费定晖,周学圣.数学分析习题集题解（四）.北京:北京师范大学出版社,2002.6 朱有清,贺才华. 高等数学复习十五讲（A）.上海:上海