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第五节隐函数的求导公式 一 一个方程的情形 二 方程组的情形 1 显函数 隐函数 显化 问题 1 满足什么条件 方程能够确定函数 2 对于不能或难以显化的隐函数如何求偏导 2 一 一个方程的情形 隐函数存在定理1 能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 它满足条件 并有 隐函数的求导公式 3 定理证明略 推导求导公式 两边对x求导 则 复合函数 4 例1验证方程在点的某 解 令 则 连续 邻域内能唯一确定一个可导 且时 的隐函数 并求这函数的一阶和二 的值 阶导数在 5 注 在点 1 0 的邻域内方程 不能唯一确定一个可导函数 依定理知方程 的某邻域内能唯一确定一个可导的函数 在点 6 一阶导数 7 例2设方程 确定一个隐函数 解令 由隐函数求导公式 得 则 求 方程两边对x求导 另解 解出 注意到 8 隐函数存在定理2 的某一邻域内有连续的偏导数 设函数 在点 邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续 则方程 在点 的某 偏导数的函数 它满足条件 并有 且 9 两边对x求偏导 同样可得 则 推导求偏导公式 隐函数的求导公式 10 解 令 则 例3 11 具有连续偏导数 求偏导数 例4 解 则 12 解 例5 两边全微分 13 二 方程组的情形 隐函数存在定理3设 在点 的某一邻域内有对各个变量的 偏导数所组成的函数行列式 或称雅可比式 连续偏导数 且 在点 不为零 14 则方程组 在点 唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的 它们满足条件 并有 的某一邻域内恒能 函数 15 16 解1 直接代入公式 解2 运用公式推导的方法 将所给方程的两边对x求导并移项 得 例6 17 将所给方程的两边对求导 用同样方法得 解方程组 得 18 分以下几种情况 隐函数的求导法则 小结 19 20 思考题 已知 其中 为可微函数 求 21 思考题解
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