高数例题总.doc

第一讲 函数、极限、连续A、基本内容B、重点C、典型例题分析例1：，求例2：例3：求例4：例5：求 例6：求 例7：若，则为 A. 0 B. 6 C. 36 D. 例8：设 试证数列极限存在，并求此极限。例9：求例10：设 则 ？例11：求 例12： 例13: 设a为非零常数，则 例14: 求?例15: 当时，函数的极限为( ) (A)等于2 (B)等于0 (C)为 (D)不存在，但不为例16： 求例17: 已知当时，与是等价无穷小，则常数a=?例18：求例19: 求正常数a、b，使例20: 求例21: 设函数=在+（）内连续，且则常数a,b满足(A) a0,b0, b0(C) a0,b0 (D) a0,b0例22: 高阶的无穷小，则正整数等于（A）1（B）2（C）3（D）4第二讲 导数与微分A、基本内容B、重点C、典型例题分析例1设可导， =(1+) ，则是在处可导的(A) 充要条件 （B）充分非必要条件(C) 必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件例2. 已知 ，则 例3：设其中是有界函数，则在 处(A) 极限不存在 （B）极限存在，但不连续 （C）连续但不可导 （D）可导例4： 设 则例5：例6：设 连续， 则（A） （B）（C） （D）例7： 例8 设 ，则 在点 可导的充要条件为（A）存在 （B）存在 （C）存在 （D）存在例9：设，则使存在的最高阶数n为： (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3例10 函数，不可导的点个数为（A）3 （B）2 （C）1 （D）0例11 例12：设函数，由方程确定，求例13：已知，求例14： 已知函数具有任意阶导数，且，则当n为大于2的正整数时，例15： 若函数y= 有，则当时，该函数在处的微分是 （A）与等价无穷小 （B）与同阶无穷小（C）比低阶无穷小 （D）比高阶无穷小例16： 设，则当x = 0 时，f (x) 是 g (x) 的（A）等价无穷小 （B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小例17： 设 f（x）有连续导数，f (0) = 0, ，且当时，与是同阶无穷小，则k ?(A)1 (B)2 (C)3 (D)4例18： (A) 一个极小值点和两个极大值点。(B) 两个极小值点和一个极大值点。(C) 两个极小值点和两个极大值点。(D) 三个极小值点和一个极大值点。例19： 证明方程在区间有且仅有两个不同实根。例20： 设，则在点x = a处，（A）的导数存在，且 (B) 取得极大值（C）取得极小值 （D）的导数不存在例21： 已知f (x) 在 x = 0的某个邻域内连续，且f (0) = 0, 则在点x0处(A) 不可导 (B)可导，且 （C）取得极大值 （D）取得极小值例22： 设是方程的一个解。若，且，则函数在点处( ) 例23： 设有二阶导数，且则：（）是极大值 （B）是极小值 （）点( 0, )是曲线y=的拐点( D) 不是极值, 点( 0, )也不是曲线y=的拐点例24： 已知在a,b上满足微分方程,且=0,证明0例25： 设在上函数有连续导函数证明: 在内有且仅有一个零点.例26：设,是恒大于零的可导函数,且则当ax ( B ) (C) (D) 例27： 设函数 满足关系式,且。则（A）是的极大值 （B）是的极小值（C）点（0, ）是曲线y = 的拐点。（D）不是的极值，点（0, ）不是曲线y = 的拐点。第三讲 中值定理与导数应用A、基本内容B、重点C、典型例题分析例1 设在上则或的大小顺序是： （A） （B）（C） （D）例2设。证明对任何，有例3设函数在上连续，在（0，1）内可导，且。证明：在（0，1）内至少存在一点C，使。例4设在上连续，（a,b）内可导试证至少存在一点，使得。例5假设函数 和 在上存在二阶导数，并且 试证：(1)在开区间（a,b）内，(2) 在开区间（a,b）内至少存在一点，使例6 设0证明：存在在之间，使例7 设在上连续可导，且 = =1。试证：在（a,b）内存在点，使得。例8 设函数在区间（1，0）内可导，在区间上连续，且 = e f (1)证明：在（1，0）内存在一点，使例9 设不恒为常数的函数 在闭区间上连续，在开区间（a,b）内可导，且= . 证明：在（a,b ）内至少存在一点，使得例10 设函数在且试证：在内至少存在两个不同点，使例11 设函数 在闭区间可微，对上每一个x , 函数 的值都在开区间（0，1）内，且。证明：在（0，1）内有且仅有一个x,使 = x.例12 设 在的邻域内有四阶导数，且证明：对此邻域内异于的任何x，均有其中，与x关于对称。例13 设 在上有二阶导数，且满足条件其中，都是非负常数，c使（0，1）内任一点。证明：例14第四讲 不定积分与定积分A、 基本内容B、 重点C、 典型例题分析例1 设是连续函数，F(x)是的原函数，则(A) 当是奇函数时，F(x)必是偶函数(B) 当是偶函数时，F(x)必是奇函数(C) 当是周期函数时,F(x)必是周期函数(D) 当是单调递增函数时，F(x)必是单调递增函数例2 例3 例4 =_例5 例6 例7 例8 例9 例10 如果 求x例11 =_例12 =_例13 设 求 例14 求 例15例16 求 其中为已知连续函数例17 例18 设 为已知连续函数 其中 则 I的值 (A) 依赖于s和t (B) 依赖于 s ，t 和x(C) 依赖于 t 和 x (D) 依赖于 s ，不依赖于t例19 0 则有（A）NPM (B)MPN (C)NMP (D) PM0).试建立y与v所满足的微分方程。求函数关系式y = y (v).第六讲 空间解析几何与多元微分学A、基本内容B、重点C、典型例题分析例1 设，则例2 与两直线 及 都平行且过原点的平面方程为_例3过点M (1 , 2 ,1)且与直线垂直的平面方程为：_例4 设有直线及平面 则直线A平行于 B在上 C垂直于 D与斜交例5 已知两条直线的方程是，求过且平行于的平面方程。例6 设有直线 与 则与的夹角为：A B C D例7 求直线在平面上的投影的方程，并求绕Y轴旋转一周所成曲面方程。-例1设其中函数二阶可导,g(u,v)具有连叙二阶偏导数，求例2 二元函数在点（）处两个偏导数存在是在该点连续的（ ）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充要条件 （D）既非充分又非必要条件 例3 考虑二元函数的下面4条性质：(1) 在点（）处连续 (2) 在点处的两个偏导数连续(3) 在可微 (4) 在点处的两个偏导数存在若用“PQ”表示可有性质P推出性质Q,则有（ ）（A） (B) （C） (D)例4 二元函数 在该点(0,0)处（ ）(A)连续，偏导数存在 （B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在 （D）不连续，偏导数不存在例5设具有二阶连续导数，则？例6 设=则例7 设其中函数具有二阶连续导数，求例8 设具有连续二阶偏导数，求例9 设函数在点(0,0)附近有定义，且, （A） (B) 曲面在点的法向量为 （C）曲线在点（0，0，f（0，0）的切向量为 （D）曲线在点（0，0，f(0,0)）的切向量为例10 设，其中具有连续二阶偏导数，求例11 设变换可把方程 简化为,求常数例 12 设其中都有一阶连续偏导数，且，求例13 设,而t是由方程=0确定的的函数，求例14 由方程所确定的函数在点(1,0,-1)的全微分dz。例15 设函数具有二阶连续导数，而满足方程。求.例16 已知为某函数的全微分。则a等于（ ）A1 B0 C1 D2例17 已知曲面上点P处的切平面平行于平面。则点P的坐标是：A（1，1，2） B（1，1，2）C（1，1，2） D（1，1，2）例18 已知点A与B的直角坐标分别为（1，0，0）与（0，1，1）。线段AB绕Z轴旋转一周所成的旋转曲面为S。求面S及两平面Z0，Z1所围成的立体体积。例19 由曲线绕Y轴旋转一周所成的旋转面在点处指向外侧的单位法向量为?例20 在曲线的所有切线中，与平面x + 2y + z = 4平行的切线 A只有一条 B. 只有两条C至少有三条 D. 不存在例21 在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短。例22 设y=y（x）,z=z(x)是由方程z=和=0 所确定的函数，其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数。 求第七讲 重积分A、基本内容B、重点C、典型例题分析例1 例2 计算例3 计算，D是双曲线及直线所围成的平面区域。例4 设函数在区间上连续，并设。求例5 设D为，则例6 设D是xoy平面上的以（1，1），（-1，1）和（-1，-1）为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则等于（A） (B) (C)4 (D) 0例7 设有空间区域 则 (A) (B) (c) (D)例8 计算三重积分围成的区域。例9 求线绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体。例10 计算其中为平面曲线绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围区域。例11 求由（a0）所围成区域的体积。例12 设有一半径为R的球体，是此球的表面上的一个定点。球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正比（比例常数为k0）。求球体的重心位置。例13 第八讲 线、面积分A、基本内容B、重点C、典型例题分析例1 设平面曲线L为下半个圆周求例2 设为椭圆，其周长记为a, 则_例3 设L为取正向的圆周，则例4 计算曲线积分，其中C是曲线从Z轴正向往Z轴负向看C的方向是顺时针的圆周与平面的截口。例5设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且=0。计算例6在过点O(0,0)和A(的曲线族y=asinx (a0)中求一曲线L, 使沿该曲线从O到A的积分的值最小例7在变力，质点由原点沿直线运动到椭圆球面上第一卦限的点M(,)问取何值时力所作的功W最大？并求出此W.例8设位于点（0，1）的质点A对质点M的引力大小为(k0为常量，r为质点A与M的距离)，质点M沿曲线y=自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动中质点A对质点M的引力所作的功。例9质点P沿着以AB为直径的半圆周，从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力作用（见图）的大小等于P点与原点O之间的距离，其方向垂直于线段OP与y轴正向的夹角小于，求变力对质点P所作的功。例10设函数在XOY平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关,并且对任意T恒有.求。例11计算曲面积分其中为锥面z=在柱体内的部分图9 例12，其中S是由曲面 （绕y轴旋转一周所成的曲面，它的法向量是与Y轴正向的夹角恒大于例13 设S为曲面的外侧 计算例14求s是球面外侧，在的部分。例15计算是曲面所围立体表面的外侧。例16 计算所围外侧(R0)例17 计算其中为下半球面的上侧，a0常数。例18其中L是以点（1，0）为中心，R为半径的圆周（R1）取逆时针方向。例19 函数点M(1,2,-2)处的梯度grad u=_例20 确定常数，使在右半平面x0上的向量为某二元函数的梯度，并求例21 向量场在P（1，1，0）处的散度=_例22 设数量场则div(gradu)=_例23 设有是曲面2在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数u=在P点处沿方向的方向导数。例24设有一小山，取它的底面所在的平面为第九讲 级数A、基本内容B、重点C、典型例题分析例1已知级数则 ） (A) 3 (B)7 (C)8 (D)9例2 级数 ( 常数) ( )（A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）收敛性与有关例3 设常数k0则级数 ( )(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性与k 有关例4： 设（n=1,2 ,.）且收敛。常数，则级数 ( )（A） 绝对收敛 （B）条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与 有关例5设常数收敛，则 ( )(A) 发散 (B) 条件收敛 (c) 绝对收敛 (D) 收敛性与 有关例6 设则级数 ( )(A) 都收敛 （B）都发散（C）收敛而发散 （D）发散而收敛例7设为常数，则级数 ( )（A） 绝对收敛 （B）条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与有关例8 设（n=1,2,3,.）证明：（1）（2）级数收敛例9设正项数列单调减少，且发散。试问级数是否收敛？并说明理由。例10设(1) 求(2) 试证：对任意的常数例11设级数收敛，则必收敛的级数为 例12 若在x=-1处收敛，则此级数在x=