高中数学 第一章 三角函数 6 余弦函数的图像与性质学案 北师大版必修4.doc

6余弦函数的图像与性质学习目标1.会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数的图像.2.理解余弦函数的性质，会求yacos xb的单调区间及最值.3.会利用余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，能根据图像解简单的三角不等式.知识点一余弦函数的图像思考1根据ysin x和ycos x的关系，你能利用ysin x，xr的图像得到ycos x，xr的图像吗？答案能，根据cos xsin，只需把ysin x，xr的图像向左平移个单位长度，即可得到ycos x，xr的图像.思考2类比“五点法”作正弦函数图像，那么余弦函数图像能否用“五点法”作图？若能，ycos x，x0，2五个关键点分别是什么？答案能，五个关键点分别是(0，1)，(，1)，.梳理余弦函数ycos x(xr)的图像叫作余弦曲线.知识点二余弦函数的性质思考1余弦函数的最值是多少？取得最值时的x值是多少？答案对于余弦函数ycos x，xr有：当且仅当x2k，kz时，取得最大值1；当且仅当x(2k1)，kz时，取得最小值1；观察余弦函数ycos x，x，的图像：函数ycos x，x，的图像如图所示.思考2余弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案观察图像可知：当x，0时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由1增大到1；当x0，时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到1.推广到整个定义域可得当x2k，2k，kz时，余弦函数ycos x是增函数，函数值由1增大到1；当x2k，(2k1)，kz时，余弦函数ycos x是减函数，函数值由1减小到1.梳理函数ycos x定义域r值域1，1奇偶性偶函数周期性以2k为周期(kz，k0)，2为最小正周期单调性当x2k，2k2(kz)时，函数是增加的；当x2k，2k(kz)时，函数是减少的最大值与最小值当x2k(kz)时，最大值为1；当x2k(kz)时，最小值为11.余弦函数ycos x的图像与x轴有无数个交点.()2.余弦函数ycos x的图像与ysin x的图像形状和位置都不一样.()提示函数ycos x的图像与ysin x的图像形状一样，只是位置不同.3.存在实数x，使得cos x.()提示余弦函数最大值为1.4.余弦函数ycos x在区间0，上是减函数.()提示由余弦函数的单调性可知正确.类型一用“五点法”作余弦函数的图像例1用“五点法”作函数y1cos x(0x2)的简图.考点“五点法”作图的应用题点用“五点法”作余弦函数的图像解列表：x02cos x101011cos x01210描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示.反思与感悟作形如yacos xb，x0，2的图像时，可由“五点法”作出，其步骤：列表，取x0，2；描点；用光滑曲线连线成图.跟踪训练1用“五点法”作函数y2cos x1，x0，2的简图.考点“五点法”作图的应用题点用“五点法”作余弦函数的图像解x0，2，令x0，2，列表得：x02cos x10101y31113描点，连线得：类型二余弦函数单调性的应用例2(1)函数y32cos x的递增区间为 .考点余弦函数的单调性题点求余弦函数的单调区间答案2k，2k(kz)解析y32cos x与y32cos x的单调性相反，由y32cos x的递减区间为2k，2k(kz)，y32cos x的递增区间为2k，2k(kz).(2)比较cos与cos的大小.考点余弦函数的单调性题点利用单调性比较大小解coscoscos ，coscoscos ，2，cos cos ，即cos”连接)考点正弦函数、余弦函数的单调性题点正弦函数、余弦函数单调性的应用答案cos 1cos 2cos 3解析由于0123cos 2cos 3.类型三余弦函数的定义域和值域例3(1)求f(x)的定义域.考点余弦函数的定义域题点余弦函数的定义域解要使函数有意义，则2cos x10，cos x，2kx2k，定义域为(2)求下列函数的值域.ycos2xcos x；y.考点余弦函数的值域题点余弦函数的值域解y2.1cos x1，当cos x时，ymax.当cos x1时，ymin2.函数ycos2xcos x的值域是.y1.1cos x1，12cos x3，1，4，13，即y3.函数y的值域为.反思与感悟求值域或最大值、最小值问题的依据(1)sin x，cos x的有界性.(2)sin x，cos x的单调性.(3)化为sin xf(y)或cos xf(y)，利用|f(y)|1来确定.(4)通过换元转化为二次函数.跟踪训练3函数ycos2xcos x1的值域是 .考点余弦函数的值域题点余弦函数的值域答案解析设cos xt，x，则t，ycos2xcos x12，t，当t，即x时，ymax，当t1，即x0时，ymin1，函数的值域为.1.(2017全国)函数f(x)sincos的最大值为()a. b.1 c. d.考点正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点正弦函数的最大值与最小值答案a解析，f(x)sincossincossinsinsin.f(x)max.故选a.2.下列函数中，周期为，且在上为增函数的是()a.ysin b.ycosc.ysin d.ycos考点余弦函数的周期性与单调性的综合应用题点余弦函数的周期性与单调性的综合应用答案b3.函数f(x)lg cos x的定义域为 .考点余弦函数的定义域题点余弦函数的定义域答案解析由题意，得x满足不等式组即作出ycos x的图像，如图所示.由图可得5x或x或(2)解析(1)01535cos 35.(2)0，且ycos x在上是增加的，cos0)的相邻两个零点之间的距离为，则的值为()a.3 b.6 c.12 d.24考点正弦函数、余弦函数的周期性题点正弦函数、余弦函数的周期性答案b解析函数f(x)cos(0)的相邻两个零点之间的距离为，所以t2，又，解得6.二、填空题7.函数y的定义域为 .考点余弦函数的定义域题点余弦函数的定义域答案解析要使函数有意义，则2cos x0，即cos x，余弦函数的图像如图所示：2kx2k，kz，函数的定义域是.8.已知cos x有实根，则m的取值范围为 .考点余弦函数的值域题点余弦函数的值域答案(，4解析1cos x1，11，且2m30，解得m或m4.9.函数ycos2x3cos x2的最小值是 .考点余弦函数的最值题点余弦函数的最值答案0解析令tcos x，则t1，1，yt23t22，当t1，即cos x1时，ymin0.10.对于函数f(x)给出下列四个命题：该函数是以为最小正周期的周期函数；当且仅当xk(kz)时，该函数取得最小值1；该函数的图像关于直线x2k(kz)对称；当且仅当2kx2k(kz)时，0f(x).其中正确命题的序号是 .(请将所有正确命题的序号都填上)考点正、余弦函数的图像与性质综合题点正、余弦函数的图像与性质综合答案解析画出f(x)在0，2上的图像如图所示.由图像知，函数f(x)的最小正周期为2，当x2k(kz)和x2k(kz)时，该函数都取得最小值1，故错误.由图像知，函数图像关于直线x2k(kz)对称，当2kx2k(kz)时，00，则2.正整数的最大值为6.15.已知定义在r上的奇函数f(x)在区间(0，)上是增加的，且f0，abc的内角a满足f(cos a)0，求角a的取值范围.考点余弦函数的性质综合题点余弦函数的性质综合解当0a0.由f(cos a