高中数学 第一章 立体几何初步 1.6.1 垂直关系的判定训练案 北师大版必修2.doc

1.6.1 垂直关系的判定a.基础达标1垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()a垂直b斜交c平行 d不能确定解析：选a.梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知选项a正确2下列结论正确的是()a若直线a平面，直线ba，b平面，则b若直线a直线b，a平面，b平面，则c过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直d过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选b.a选项中满足条件的平面与平面可能垂直，也可能平行或斜交，故a错；c选项中当平面外的直线与平面垂直时，过该直线有无数个平面与已知平面垂直，故c错；过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直，故d错3.如图，已知正方形abcd所在平面外有一点m，如果mc平面abcd所在的平面，那么ma与bd的位置关系是()a平行b垂直相交c垂直异面 d相交但不垂直解析：选c.因为mc平面abcd，bd平面abcd，所以mcbd.又bdac，acmcc且ac，mc在平面acm内，所以bd平面acm.又am平面acm，所以bdma，但bd与ma不相交4长方体abcda1b1c1d1中，abad2，cc1，则二面角c1bdc的大小为()a30 b45c60 d90解析：选a.如图，连接ac交bd于o，连接c1o.因为abad，所以底面为正方形，所以acbd.又因为bccd，所以c1dc1b，o为bd的中点，所以c1obd.所以c1oc就是二面角c1bdc的平面角则在c1oc中，cc1，co ，tanc1oc，所以c1oc30.5.如图，bc是rtabc的斜边，过a作abc所在平面的垂线ap，连接pb，pc，过a作adbc于点d，连接pd，那么图中直角三角形的个数是()a4 b6c7 d8解析：选d.容易证得pabc，又adbc，paada，所以bc平面pad，从而图中：abc，pab，pac，pad，abd，acd，pbd，pcd均为直角三角形共有8个6已知pa垂直于abcd所在平面，若pcbd，则abcd的形状是_解析：因为pa平面abcd，bd平面abcd，所以pabd.又因为pcbd，papcp，所以bd平面pac，所以bdac，所以abcd一定是菱形答案：菱形7如图，已知ab平面bcd，bccd，则图中互相垂直的平面共有_对解析：因为ab平面bcd，所以平面abd平面bcd，平面abc平面bcd，又因为bccd，abcd，abbcb，所以dc平面abc，所以平面adc平面abc.故共有3对答案：38如图，在正方形abcd中，e，f分别是bc，cd的中点，g是ef的中点，现在沿ae，af及ef把这个正方形折成一个空间图形，使b，c，d三点重合，重合后的点记为h，那么给出下面四个结论：ah平面efh；ag平面efh；hf平面aef；hg平面aef.其中正确命题的序号是_解析：在这个空间图形中，ahhf，ahhe，hfheh，所以ah平面efh.答案：9如图，在直三棱柱abca1b1c1中，e，f分别是a1b，a1c的中点，点d在b1c1上，a1db1c1.求证：(1)ef平面abc.(2)平面a1fd平面bb1c1c.证明：(1)由e，f分别是a1b，a1c的中点知efbc.因为ef 平面abc，bc平面abc.所以ef平面abc.(2)由三棱柱abca1b1c1为直三棱柱知cc1平面a1b1c1.又a1d平面a1b1c1，故cc1a1d.又因为a1db1c1，cc1b1c1c1，故a1d平面bb1c1c，又a1d平面a1fd，所以平面a1fd平面bb1c1c.10在abc中，bac60，p是abc所在平面外一点，papbpc，apbapc90.(1)求证：pb平面pac.(2)若h是abc的重心，求证：ph平面abc.证明：(1)如图，由题设易得abac，因为bac60，所以abc为等边三角形，所以abbc.因为papbpc，所以pabpbc，所以bpcapb90，即pbpc.又pbpa，papcp，所以pb平面pac.(2)取bc的中点d，因为pbpc，所以pdbc.同理可得adbc，pdadd，所以bc平面pad.因为ad是abc的边bc上的中线，所以abc的重心h在ad上，所以bcph，同理可得abph.又abbcb，所以ph平面abc.b.能力提升1.如图，已知四边形abcd是正方形，pa平面abcd，则图中所有互相垂直的平面共有()a8对 b7对c6对 d5对解析：选b.由pa平面abcd可得平面pab平面abcd，平面pad平面abcd，平面pac平面abcd.又abcd为正方形，cdad，因为pacd，paada，所以cd平面pad，所以平面pcd平面pad，平面pab平面pad.同理可得，平面pbc平面pab，平面pac平面pbd.共7对2.如图，在三棱锥pabc中，已知pcbc，pcac，点e，f，g分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()a平面efg平面pbcb平面efg平面abccbpc是直线ef与直线pc所成的角dfeg是平面pab与平面abc所成二面角的平面角解析：选d.由已知pcbc，pcac，又acbcc，所以pc平面abc.又fgpc，所以fg平面abc.又fg平面efg，所以平面efg平面abc，故b正确因为fgpc，gebc，所以平面efg平面pbc.故a正确由异面直线所成角的定义知c正确故选d.3已知点o为三棱锥pabc的顶点p在平面abc内的投影，若papbpc，则o为abc的_心；若pabc，pbac，则o为abc的_心；若p到三边ab，bc，ca的距离都相等且点o在abc的内部，则o为abc的_心解析：连接oa，ob，oc，由papbpc，所以oaoboc，o是abc的外心若pabc，又po平面abc，所以bcpo.所以bc平面pao.所以bcao.同理acob.所以o是abc的垂心若p到ab，bc边的距离相等，则易知o到ab，bc边的距离也相等，从而可判定o是abc的内心答案：外垂内4.如图正方体abcda1b1c1d1，点p在面对角线bc1上运动，则下列四个命题：三棱锥ad1pc的体积不变；a1p面acd1；dpbc1；面pdb1面acd1.其中正确的命题的序号是_(写出所有你认为正确结论的序号)解析：对于，容易证明ad1bc1，从而bc1平面ad1c，故bc1上任意一点到平面ad1c的距离均相等，所以以p为顶点，平面ad1c为底面，则三棱锥ad1pc的体积不变，正确；对于，连接a1b，a1c1，容易证明a1c1ac且相等，由知，ad1bc1，所以ba1c1平面acd1，从而由线面平行的定义可得，正确；对于，由于dc平面bcc1b1，所以dcbc1，若dpbc1，则dc与dp重合，与条件矛盾，错误；对于，连接db1，容易证明db1平面acd1，从而由面面垂直的判定定理知，正确答案：5已知rtabc，斜边bc，点a，ao，o为垂足，abo30，aco45，求二面角abco的大小解：如图，在平面内，过o作odbc，垂足为d，连接ad.因为ao，bc，所以aobc.又因为aoodo，所以bc平面aod.而ad平面aod，所以adbc.所以ado是二面角abco的平面角由ao，ob，oc，知aoob，aooc.又abo30，aco45，所以设aoa，则aca，ab2a.在rtabc中，bac90，所以bca，所以ada.在rtaod中，sinado.所以ado60，即二面角abco的大小是60.6(选做题)如图，在直角梯形abcd中，badadc90，abcd，pd平面abcd，abada，pda.(1)求证：平面pab平面pad；(2)设m为pb的中点，当cd2ab时，求证：dmmc.证明：(1)因为bad90，所以abad.又pd平面abcd，ab平面abcd，所以pdab.因为pdadd，所以ab平面pad.又ab平面pab，所以平面pab平面pad.(2)连接bd，因为bad90，abada，所以bda，所以pdbd，bda45.又m为p