高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末综合检测 苏教版选修11.doc

第二章 圆锥曲线与方程(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分把答案填在题中横线上)1椭圆1的焦距为6，则k的值为_解析：由已知2c6，c3，而c29，20k9或k209，k11或k29.答案：11或292双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m_.解析：由题意知，mb0)，则有，即得e.答案：4与x24y21有相同的渐近线，且过m(4，)的双曲线方程为_解析：设方程为x24y2(0)，将m(4，)代入方程得4，所以方程为y21.答案：y215已知双曲线3x2y29，则双曲线右支上的点p到右焦点的距离与点p到右准线的距离之比等于_解析：即求离心率，双曲线化为标准方程1，可知a，c2，e2.答案：26若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为_解析：椭圆1的右焦点为(2,0)，而抛物线y22px的焦点为(，0)，则2，故p4.答案：47设o为坐标原点，f为抛物线y24x的焦点，a是抛物线上一点，若4，则点a的坐标是_解析：由题意得f(1,0)，设a(，y0)，则(，y0)，(1，y0)，由4，解得y02，此时点a的横坐标为1，故点a的坐标是(1，2)答案：(1，2)8设p是椭圆1上的任意一点，又点q的坐标为(0，4)，则pq的最大值为_解析：设p的坐标(x，y)，则pq2x2(y4)225(1)(y4)2(y)2(4y4)，当y4时，pq2最大，此时pq最大，且pq的最大值为8.答案：89以双曲线1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是_解析：由题意知圆心坐标应为(5,0)又因为点(5,0)到渐近线yx的距离为4，所以圆的方程为x2y210x90.答案：x2y210x9010椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆方程为_解析：由题意知，解得，椭圆方程为1或1.答案：1或111已知两点m(2,0)，n(2,0)，点p为坐标平面内的动点，满足|0，则动点p(x，y)的轨迹方程为_解析：设p(x，y)，m(2,0)，n(2,0)，则(4,0)，|4，(x2，y)，(x2，y)；由|0，得44(x2)0，化简整理得y28x.答案：y28x12设过点p(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于a，b两点，点q与点p关于y轴对称，o为坐标原点，若2且1，则点p的轨迹方程是_解析：设p(x，y)，则q(x，y)，又设a(a,0)，b(0，b)，则a0，b0.于是(x，yb)，(ax，y)，由2可得ax，b3y，所以x0，y0.又(a，b)(x,3y)，由1可得x23y21(x0，y0)答案：x23y21(x0，y0)13抛物线y2x上存在两点关于直线ym(x3)对称，则m的取值范围是_解析：法一：设两对称点的坐标为a(x1，y1)，b(x2，y2)且ab所在直线的方程可设为：yxb，代入y2x，得y2mymb0，y1y2m，且m24mb0.设a、b的中点为(x0，y0)，则y0，又a、b的中点在直线ym(x3)上，所以x0，又(x0，y0)在直线yxb上by0x0，代入并整理得：m210，m，m的取值范围是(，)法二：设两对称点的坐标为a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a、b的中点为(x0，y0)，依题意，则有：得：(y1y2)(y1y2)x1x2，将代入上式得：y0，将代入得：x0，将代入得2，m210，m.m的范围是(，)答案：(，)14已知f1，f2为双曲线1(a0，b0且ab)的两个焦点，p为双曲线右支上异于顶点的任意一点，o为坐标原点下面四个命题：pf1f2的内切圆的圆心必在直线xa上；pf1f2的内切圆的圆心必在直线xb上；pf1f2的内切圆的圆心必在直线op上；pf1f2的内切圆必通过点(a,0)其中真命题有_(写出所有真命题的代号)解析：设pf1f2的内切圆分别与pf1，pf2切于点a、b，与f1f2切于点m，则papb，f1af1m，f2bf2m，又点p在双曲线右支上，所以pf1pf22a，故f1mf2m2a，而f1mf2m2c，设m点坐标为(x,0)，则由f1mf2m2a可得(xc)(cx)2a解得xa，显然内切圆的圆心与点m的连线垂直于x轴，故正确答案：二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶4 m 时，水面宽8 m.(1)试建立坐标系，求抛物线的标准方程；(2)若水面上升1 m，求水面宽度解：(1)如图，以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，设抛物线的标准方程为x22py(p0)由已知条件可知，点b的坐标是(4，4)，代入方程，得422p(4)，即p2.所以，所求抛物线标准方程是x24y.(2)若水面上升1 m，则y3，代入x24y，得x24(3)12，x2，所以这时水面宽为4 m.16(本小题满分14分)已知双曲线过点(3，2)，且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程解：(1)把椭圆方程化为标准形式为1，焦点坐标为f1(，0)，f2(，0)故设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则，解得，故所求双曲线的标准方程为1.(2)由(1)知双曲线的右准线方程为x，即为抛物线的准线方程故设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则有，故p.所以抛物线的标准方程为y2x.17(本小题满分14分)已知双曲线1与点m(5,3)，f为右焦点，试在双曲线上求一点p，使pmpf最小，并求出这个最小值解：双曲线的右焦点f(6,0)，离心率e2，右准线为l：x.作mnl于n，交双曲线右支于p，连结fp，则pfepn2pnpnpf.此时pmpfpmpnmn5为最小值在1中，令y3，x212x2；又x0，取x2.即当所求p点的坐标为(2，3)时，pmpf取最小值.18(本小题满分16分)已知f1，f2是椭圆c：1(ab0)的左、右焦点，点n(，1)在椭圆上，线段nf2与y轴的交点m满足0.(1)求椭圆c的方程；(2)设p为椭圆c上一点，且f1pf2，求f1pf2的面积解：(1)由已知，点n(，1)在椭圆上，有1，又0，m在y轴上，m为nf2的中点，c0，c.有a2b22，由，解得b22(b21舍去)，a24，故所求椭圆c的方程为1.(2)设pf1m，pf2n，则sf1pf2mnsin mn.由椭圆的定义知pf1pf22a，即mn4.又由余弦定理得pfpf2pf1pf2cosf1f，即m2n2mn(2)2.由2，得mn，sf1pf2.19(本小题满分16分)已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，a是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，a到抛物线准线的距离等于5.过a作ab垂直于y轴，垂足为b，ob的中点为m.(1)求抛物线方程；(2)过m作mnfa，垂足为n，求点n的坐标；(3)以m为圆心，mb为半径作圆m，当k(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线ak与圆m的位置关系解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，p2.抛物线方程为y24x.(2)点a的坐标是(4,4)，由题意得b(0,4)，m(0,2)，又f(1,0)，kfa；mnfa，kmn，则fa的方程为y(x1)，mn的方程为y2x.解方程组，得，点n的坐标为(，)(3)由题意得，圆m的圆心是点(0,2)，半径为2.当m4时，直线ak的方程为x4，此时，直线ak与圆m相离，当m4时，直线ak的方程为y(xm)，即为4x(4m)y4m0，圆心m(0,2)到直线ak的距离d，令d2，解得m1.当m1时，直线ak与圆m相离；当m1时，直线ak与圆m相切；当m1时，直线ak与圆m相交20. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆1的左、右顶点为a、b，右焦点为f.设过点t(t，m)的直线ta、tb与此椭圆分别交于点m(x1，y1)、n(x2，y2)，其中m0，y10，y20.(1)设动点p满足pf2pb24，求点p的轨迹；(2)设x12，x2，求点t的坐标；(3)设t9，求证：直线mn必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)解：由题设得a(3,0)，b(3,0)，f(2,0)(1)如图，设点p(x，y)，则pf2(x2)2y2，pb2(x3)2y2.由pf2pb24，得(x2)2y2(x3)2y24，化简得x.故所求点p的轨迹为直线x.(2)如图，由x12，1及y10，得y1，则点m，从而直线am的方程为yx1；由x2，1及y20，得y2，则点n，从而直线bn的方程为yx.由解得所以点t的坐标为.(3)证明：如图，由