高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例1课后习题 新人教A版必修4.doc

2.5.1平面几何中的向量方法课后篇巩固探究1.已知a,b,c,d四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形abcd为()a.梯形b.菱形c.矩形d.正方形解析由题意知,ab=(3,3),dc=(2,2),所以abdc.又因为|ab|dc|,所以四边形abcd为梯形.答案a2.在rtabc中,abc=90,ab=8,bc=6,d为ac中点,则cosbdc=()a.-725b.725c.0d.12解析如图建立平面直角坐标系,则b(0,0),a(0,8),c(6,0),d(3,4),db=(-3,-4),dc=(3,-4).又bdc为db,dc的夹角,cosbdc=dbdc|db|dc|=-9+1655=725.答案b3.在abc中,设o是abc的外心,且ao=13ab+13ac,则bac=()a.30b.45c.60d.90解析因为ao=13ab+13ac,所以o也是abc的重心.又因为o是abc的外心,所以abc是等边三角形,故bac=60.答案c4.已知o是四边形abcd内一点,若oa+ob+oc+od=0,则下列结论正确的是()a.四边形abcd为正方形,点o是正方形abcd的中心b.四边形abcd为一般四边形,点o是四边形abcd的对角线交点c.四边形abcd为一般四边形,点o是四边形abcd的外接圆的圆心d.四边形abcd为一般四边形,点o是四边形abcd对边中点连线的交点解析由oa+ob+oc+od=0知,oa+ob=-(oc+od).设ab,cd的中点分别为e,f,由向量加法的平行四边形法则,知oe+of=0,o是ef的中点;同理,设ad,bc的中点分别为m,n,则o是mn的中点,所以o是ef,mn的交点,故选d.答案d5.已知abc的外接圆半径为1,圆心为o,且3oa+4ob+5oc=0,则ocab的值为()a.-15b.15c.-65d.65解析因为3oa+4ob+5oc=0,所以3oa+4ob=-5oc,所以9oa2+24oaob+16ob2=25oc2.因为a,b,c在圆上,所以|oa|=|ob|=|oc|=1.代入原式得oaob=0,所以ocab=-15(3oa+4ob)(ob-oa)=-15(3oaob+4ob2-3oa2-4oaob)=-15.答案a6.在abc中,设bc=a,ca=b,ab=c,若ab=bc=ca,则abc的形状为()a.等腰三角形b.等边三角形c.直角三角形d.等腰直角三角形解析因为ab=bc,所以(a-c)b=0,而由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)(-a-c)=0,即(a-c)(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故abc是等边三角形.答案b7.已知a,b,c是单位圆上的三点,且oa+ob=oc,其中o为坐标原点,则aob=.解析如图所示,由|oa|=|ob|=|oc|=1,oa+ob=oc,得四边形oacb为边长为1的菱形,且aob=120.答案1208.已知a(3,2),b(-1,-1),若点px,-12在线段ab的中垂线上,则x=.解析设ab的中点为m,则m1,12,mp=(x-1,-1),由题意可知ab=(-4,-3),mpab,则mpab=0,所以-4(x-1)+(-1)(-3)=0,解得x=74.答案749.如图所示,在等腰直角三角形acb中,acb=90,ca=cb,d为bc的中点,e是ab上的一点,且ae=2eb.求证:adce.证明adce=(ac+cd)(ca+ae)=ac+12cbca+23ab=ac+12cbca+23cb-23ca=ac+12cb13ca+23cb=-13|ca|2+13|cb|2.因为ca=cb,所以-13|ca|2+13|cb|2=0,故adce.10.导学号68254091已知abc是等腰直角三角形,b=90,d是bc边的中点,bead,垂足为e,延长be交ac于f,连接df,求证:adb=fdc.证明如图,以b为原点,bc所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设a(0,2),c(2,0),则d(1,0),ac=(2,-2).设af=ac,则bf=ba+af=(0,2)+(2,-2)=(2,2-2).又da=(-1,2),由题设bfda,所以bfda=0,所以-2+2(2-2)=0,所以=23.所以bf=43,23.所