高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积2课后习题 新人教A版必修4.doc

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课后篇巩固探究a组基础巩固1.向量a=(-1,2),b=(1,3),下列结论正确的是()a.abb.abc.a(a-b)d.a(a-b)解析由a-b=(-2,-1),易得a(a-b)=0,故a(a-b),选d.答案d2.若a=(3,4),则与a共线的单位向量是()a.(3,4)b.35,45c.35,45或-35,-45d.(1,1)解析与a共线的单位向量是a|a|=15(3,4),即与a共线的单位向量是35,45或-35,-45.答案c3.若平面向量a=(3,x),b=(1,2),向量a在b方向上的射影等于5,则x的值等于()a.2b.6c.1d.-2解析依题意有ab|b|=3+2x5=5,解得x=1.答案c4.在平行四边形abcd中,ab=(1,0),ac=(2,2),则adbd等于()a.4b.-4c.2d.-2解析如图,由向量的加减,可得ad=bc=ac-ab=(1,2),bd=ad-ab=ac-ab-ab=ac-2ab=(0,2).故adbd=(1,2)(0,2)=0+4=4.答案a5.导学号68254087在矩形abcd中,ab=23,ad=2,点e为线段bc的中点,点f为线段cd上的动点,则aeaf的取值范围是()a.2,14b.0,12c.0,6d.2,8解析如图,a(0,0),e(23,1),设f(x,2)(0x23),所以ae=(23,1),af=(x,2),因此aeaf=23x+2,设f(x)=23x+2(0x23),f(x)为增函数,则f(0)=2,f(23)=14,故2f(x)14,aeaf的取值范围是2,14.答案a6.设x,yr,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,则|a+b|=()a.5b.10c.25d.10解析向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,则有2x-4=0,-4-2y=0,解得x=2,y=-2,故a+b=(3,-1),故有|a+b|=32+(-1)2=10,故选b.答案b7.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45,则y=.解析ab=-1+3y,|a|=10,|b|=1+y2,a与b的夹角为45,cos 45=ab|a|b|=-1+3y101+y2=22.解得y=2或y=-12(舍去).答案28.已知单位向量a与向量b=(1,-1)的夹角为45,则|a-b|=.解析由已知得|a|=1,|b|=2,ab=|a|b|cos 45=1,于是|a-b|=(a-b)2=|a|2-2ab+|b|2=1.答案19.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(xr).(1)若ab,求|a-b|;(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.解(1)因为ab,所以-x-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),所以a-b=(2,-4),则|a-b|=25.综上,|a-b|=2或25.(2)因为a与b的夹角为锐角,所以ab0,即2x+3-x20,解得-1x3.又当x=0时ab,故x的取值范围是(-1,0)(0,3).10.已知向量a=(1,2),b=(cos ,sin ),设m=a+tb(tr).(1)若=4,求当|m|取最小值时实数t的值;(2)若ab,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为4?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.解(1)当=4时,b=22,22,ab=322,|m|=(a+tb)2=5+t2+2tab=t2+32t+5=t+3222+12,当t=-322时,|m|取得最小值.(2)假设存在满足条件的实数t.由条件得cos4=(a-b)(a+tb)|a-b|a+tb|,ab,|a-b|=(a-b)2=6,|a+tb|=(a+tb)2=5+t2,(a-b)(a+tb)=5-t,5-t65+t2=22.t2+5t-5=0,且t5,得t=-5352.存在t=-5352满足条件.11.已知a(1,2),b(4,0),c(8,6),d(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状.解因为ab=(4,0)-(1,2)=(3,-2),dc=(8,6)-(5,8)=(3,-2),所以ab=dc,所以四边形abcd是平行四边形.因为ad=(5,8)-(1,2)=(4,6),所以abad=34+(-2)6=0,所以abad,所以四边形abcd是矩形.因为|ab|=13,|ad|=213,|ab|ad|,所以四边形abcd不是正方形.综上,四边形abcd是矩形.b组能力提升1.已知o为坐标原点,向量oa=(3sin ,cos ),ob=(2sin ,5sin -4cos ),32,2,且oaob,则tan 的值为()a.-43b.-45c.45d.34解析由题意知6sin2+cos (5sin -4cos )=0,即6sin2+5sin cos -4cos2=0,等式两边同时除以cos2,得6tan2+5tan -4=0,由于32,2,所以tan 0,解得tan =-43,故选a.答案a2.已知在直角梯形abcd中,adbc,abc=90,ab=bc=2,ad=1,梯形所在平面内一点p满足ba+bc=2bp,则pcpd=()a.-2b.-1c.-2d.-22解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为adbc,abc=90,ab=bc=2,ad=1,所以b(0,0),a(0,2),c(2,0),d(1,2),所以ba=(0,2),bc=(2,0),因为ba+bc=2bp,所以2bp=(0,2)+(2,0)=(2,2),故bp=(1,1),故p(1,1),pd=(0,1),pc=(1,-1),所以pcpd=01+1(-1)=-1.答案b3.已知向量a=(3,1),b是不平行于x轴的单位向量,且ab=3,则b=.解析设b=(x,y).|b|=x2+y2=1,x2+y2=1.ab=3x+y=3,x2+3(1-x)2=1.4x2-6x+2=0.2x2-3x+1=0.x1=1,x2=12,y1=0,y2=32.(1,0)是与x轴平行的向量,b=12,32.答案12,324.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)c的取值范围是()a.0,1b.-1,1c.-3,3d.0,3解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b|=3,设a-b与c的夹角为,则(a-b)c=|a-b|c|cos =3cos ,cos -1,1,(a-b)c的取值范围为-3,3.答案c5.导学号68254088已知三个点a(2,1),b(3,2),d(-1,4).(1)求证:abad;(2)若四边形abcd为矩形,求点c的坐标及矩形abcd两对角线所夹的锐角的余弦值.(1)证明a(2,1),b(3,2),d(-1,4),ab=(1,1),ad=(-3,3).又abad=1(-3)+13=0,abad,abad.(2)解abad,四边形abcd为矩形,ab=dc.设点c的坐标为(x,y),则dc=(x+1,y-4).又ab=(1,1),x+1=1,y-4=1,解得x=0,y=5.点c的坐标为(0,5).ac=(-2,4),bd=(-4,2),|ac|=25,|bd|=25,acbd=8+8=16.设ac与bd的夹角为,则cos =acbd|ac|bd|=162525=45.故矩形abcd的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.6.如图,在abc中,abac=0,|ab|=8,|ac|=6,l为线段bc的垂直平分线,l与bc交于点d,e为l上异于d的任意一点.(1)求adcb的值;(2)判断aecb的值是否为一个常数,并说明理由.解(1)以点d为坐标原点,bc所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系,由题意易知|bc|=