毕业论文-行列式的若干计算方法.doc

JIU JIANG UNIVERSITY毕 业 论 文 题 目 行列式的计算方法 英文题目 The Calculation Method of Determinant院 系 理学院 专 业 信息与计算科学 姓 名 熊绪沅 班级学号 A1021 指导教师 石定琴 二零一四年五月摘 要高等代数是大学数学系的一门专业基础课，而行列式又是高等代数课程里最基本的内容之一。行列式最早是由解线性方程而引进的，时至今日，行列式已不仅如此，在许多方面都有着广泛的应用，如解析几何、数值计算和工程计算等。因此懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文阐述了行列式计算的12种方法，这些方法不但可以提高我们对行列式的认识，而且也有利于我们把行列式的研究推向深入。关键词：行列式；拉普拉斯定理；三角形法；特征值；分块矩阵法 AbstractHigher Algebra is a basic professional course in the Department of Mathematics, and determinant is one of the most basic content of higher algebra courses. The determinant is firstly developed by the solution of linear equations and the development of the determinant, today, has more than that, it is widely used in many aspects, such as analytic geometry, numerical calculation, engineering calculation and so on. Therefore, how to calculate the determinant is particularly important. This paper describes 12 kinds of methods to calculate determinant, these methods can not only improve our understanding of the determinant but also help us push the determinant research to deeper.Key words: Determinant; Laplace theorem; Triangle method；Block matrix method 目 录一、n阶行列式定义与基本性质11 行列式的定义12 行列式的性质2二、 n阶行列式的计算方法31. 行列式性质法32. 化三角形法43. 展开法54. 范德蒙行列式法55. 升阶法76. 数学归纳法97. 特征方程法108. 拆项法109. 逐行（列）相加减法1110. 特征值法1311. 分块矩阵法13三、总结概述16参考文献17致谢184引 言 行列式是高等数学中一个十分重要的课题，在数学理论的研究中起到了相当重要的作用。早在十七世纪末和十八世纪初，日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德莱布尼茨在解线性方程组的过程中，就分别提出了行列式的概念；到了1772年的时候，法国数学家范德蒙(Vandermonde)最早把行列式独立于线性方程之外，将其作为专门的理论来进行研究；而十九世纪又是行列式理论的形成和发展的重要时期，尤其在十九世纪中叶出现了行列式的大量定理。因此，在十九世纪末的时候，数学家们已经清楚的描述出了行列式的基本形式。 行列式最早产生于解线性方程组的过程中，而其初步的应用也是服务于解线性方程组，不过它现在的应用范围不仅仅局限于解线性方程组的过程中，而且已经成为许多学科十分重要的计算工具。所以，对于我们来说掌握行列式的计算方法是非常重要的。行列式的计算是数学研究中的一个十分重要的问题，也是一个复杂的问题。当行列式的阶数相对比较低（不超过3阶）时，通常可以按照行列式的定义和性质直接计算得出结果，而当行列式出现很多的零元素时（如某些三角形行列式）也可以按行列式的定义直接进行求值。但是对于阶数比较大的阶行列式，按照其定义和性质直接去计算行列式，这几乎是不可能的事，因此，对于研究一般的阶行列式的计算方法，是高等代数中十分必要的。为此，我们首先要给出行列式的定义并讨论它的性质，从而引出行列式的各种计算方法。一、n阶行列式定义与基本性质1 行列式的定义（1）逆序数在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2513中，21，51，53是逆序，逆序数是3，即为奇排列。（2）n阶行列式记为 有时也简单记为或或，其中）为排列的逆序数，就是对所有n级排列求和。行列式也可以表示为：.2 行列式的性质1) 行与列相互对换，行列式不变，即行列式与其转置行列式相等；2) 如果某一行是两组数的和，则这个行列式就等于两个行列式的和，而这个行列式除这一行外全与原来行列式的对应的行相等；3) 一个数乘以行列式的某一行（或列），等于这个数乘以此行列式；4) 如果行列式满足下列条件之一，则该行列式等于零；行列式两行（或列）成比例；行列式两行（或列）元素相同；行列式一行（或列）元素全为0。5) 把一行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变；6) 对换行列式中两行（或列）的位置，行列式反号；7) 设，那么可以按某一行（或列）展开，即有其中是中的元素的代数余子式。二、 n阶行列式的计算方法1. 行列式性质法行列式的性质是计算行列式的最基本的方法，其它的一切计算行列式方法都是以此为根据。通过初等行变换或列变换，或者两种变换交替使用，可以把复杂的行列式简单化，从而快速计算出来。例：一个级行列式的元素满足 那么称为反对称行列式,证明：奇数阶反对称行列式等于零。 证：因为所以，得故行列式可表示为如下形式：，再由行列式的性质，得到 ，故当为奇数时，有，因而得.2. 化三角形法即把已知行列式利用行列式性质变换为上（或下）三角行列式，因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式。在许多情况下，我们先利用行列式的定义与性质将其作某种初等变换后，再将其化为三角形行列式,即把已知行列式通过变换化为下列三角形行列式中的某一种，则其值就可快速计算出来。一般箭形行列式，可化为箭形的行列式与各行（列）和相等的行列式均可化为三角形行列式加以计算。例：计算解：如果直接化为三角形行列式，计算相当繁琐。注意到从第1列开始；每一列与它的下一列中有n-1个数是相差1的，所以先从第n-1列开始乘以（1）倍加到第n列，第n-2列乘以（1）倍加到第n-1列，一直到第一列乘以（1）倍加到第2列，最后将其化为三角形行列式，计算就简单多了。3. 展开法由拉普拉斯定理可知，或，其中为中的元素的代数余子式，通常可以按某一行（列）展开，可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式。一般情况下，按某一行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素，展开后又是三角行列式，可采用展开法。 例：计算行列式解：观察发现可以直接按第一行展开：4. 范德蒙行列式法逐行（或列）元素方幂递增或递减的行列式，可以考虑将其转化为范德蒙列式并利用相应的结果求值，首先给出它的定义与性质。形如行列式 称为n阶的范德蒙（Vandermonde）行列式，其结果可以表示为利用行列式的性质我们可以得到范德蒙行列式的三个变形，形状相似，结果却又有差异，在碰到类似范德蒙行列式时我们需要特别注意。如果范德蒙行列式逆时针旋转可以得到： 如果范德蒙行列式顺时针旋转可以得到：如果范德蒙行列式顺时针旋转可以得到： 例：计算行列式 解：作如下行列式,使之成为范德蒙行列式： 中的代数余子式等于原行列式，故等于中 的系数的相反数,而中 的系数为，求得原行列式为：. 5. 升阶法升阶法（又称加边法）就是在原行列式的基础上增加一行一列，使所得的高一阶行列式方便计算且保持原行列式不变的方法。要根据原行列式的特点适当选取需要加的行和列，才能简化计算。一般加边法适用于除对角线（或次对角线）外，其余元素相同或成比例的行列式，增加一行一列后变成n+1阶行列式。但是也有特殊情况，即可能出现增加一行一列后行列式的值不一样，如在计算某些类似范德蒙行列式时，增加一行一列使之成为范德蒙行列式，利用代数余子式求出原行列式。升阶法一般采取的方法如下：特殊情况时选取或 .例：计算阶行列， .解：先在上添加一行一列，使之变成下面的阶行列式：显然，增加一行一列后行列式与原行列式相等，将的第一行乘以（）倍后加到其余各行，得到因，将上面这个行列式的第列的倍加到第一列有 6. 数学归纳法数学归纳法是数学中常用的一种方法，计算行列式时一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的可能猜想值，再利用数学归纳法给出猜想的证明。如当 与是相同类型的行列式时，可考虑采用数学归纳法求之。一般碰到行列式等式证明时，采用数学归纳法证明比较方便。例：证明：证：当时，；当时，；即当时结论显然成立；现假定对成立，对于按第一列展开有 综上所述，上述行列式等式成立。7. 特征方程法如果阶行列式满足关系式：，则作特征方程为1) 若，则方程有两个不相等复根，那么其中A，B为待定系数，可以令n=1和n=2时求出；2) 若，则方程有重根，那么，其中A，B为未知数，可以令n=1，2时算出即可。 在计算行列式时如出现了含有，的等式，可以采用此种方法。例：求阶三对角行列式的值解：此行列式为三对角行列式，按第一列展开可以得到，当n=1时，当n=2时，事实上无实际意义。因此由递推关系得出对应的特征方程为，解得，则，令n=1，2算出，因此.8. 拆项法拆项法是将某行列式的某一行或一列元素写成两数和的形式，再把原行列式拆为两行列式之和的形式。新得到的行列式中其中一个行列式计算相对简单，另外一个行列式与原行列式之间有某种关系，比如或，两次使用拆项法，解方程组即可算得结果。例：计算行列式解：将第n列写成两项和的形式有，那么可以拆成两个行列式的和，即=.同理由的对称性，类似可以得到等式，若，由上述两式所组成的方程组解得，若，利用上述式子递推得到：.9. 逐行（列）相加减法1) 用逐行（或列）相加减法计算行列式：此法适合每相邻两行（或列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上，巧用逐行（列）相加减可化出许多零元素来。例：计算行列式解：从第2行起，每一行的（-1）倍都加到上一行上，有可再用相邻两列逐列相减的方法：从第列起，每一列的(-1)倍加到后一列上有 .2) 对于一些箭型行列式，可以利用逐行（或列）的某倍数加到某条边，即利用对角元素或次对角元素逐步将某一条边化为零来计算。如对于有如下特征的行列式可以使用此种方法来计算：.例：计算行列式 解：.10. 特征值法如果行列式所对应矩阵的特征根易求，利用，其中为矩正的特征根，就可以方便求得行列式的值。例：计算行列式解：，显然的n个特征根为，的n个特征根为，故的个特征根为，由关系知：.11. 分块矩阵法在行列式的计算中，对于级数较高的行列式，可采用分块的方法，将行列式分成若干子块，再进行计算，可以使行列式的结构清晰，计算简化。定义1 设是矩阵，将的行分割为段，每段分别包含行，将的列分割为段，每段包含列，则就称为分块矩阵，其中是矩阵（）。定理1 设是阶方阵，是阶矩阵，是阶矩阵，则定理2 设、都是阶方阵，则定理3 是分块阶矩阵，其中为阶方阵，为阶矩阵，为阶矩阵，为阶方阵，若为可逆方阵，则，若为可逆方阵，则定理4设、都是阶方阵，则(1) 若且，则； (2) 若且时，则；(3) 若且时，则；(4) 若且时，则定理5 设、都是阶方阵，那么定理6 设为阶可逆方阵，与均为维列向量，那么.例:计算阶行列式，其中.解：方法1（运用定理3）首先对行列式分块，令，其中，、均为阶方阵，由可知，为可逆矩阵，又，所以根据定理3有方法2（展开法）首先我们可以按第一列展开得到 方法3（化三角形法）利用行列式的性质，经初等变换后可以将化为上三角行列式，即三、总结概述不同类型的行列式在计算过程中可能需要用到不同的计算方法，要视其具体的结构形式而定，而且同样的题目有的时候也可以用不同的方法来计算。n阶行列式的计算虽说并不是非常的简单，但是其计算方法和技巧却也不是想象中的那么复杂，只要我们多观察行列式的特点，就能够找到合适的计算方法。在实际应用中，阶数较高的行列式并不方便手动计算，可以用数学软件Matlab等来计算。参 考 文 献1 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)M.北京:高等教育出版社,2003，21672 樊正华. 徐新萍. 浅谈行列式的计算方法J. 江苏教育学院学报(自然科学版), 2011, 27(1): 6164.3 倪淑琪. 论行列式的计算方法J. 安庆师范学院学报(自然科学版), 2001, 7(4): 3134.4 史昱. 关于行列式计算方法的探讨J. 山东电力高等专科学校学报, 2006, 9(2): 2534.5 刘国良. 分块矩阵行列式的一些结果J. 石家庄职业技术学院学报,2003(08):5253 6 胡景明. 分块矩阵在求高阶行列式中的应用J.河北工程技术高等专科学校学报,2004(12):51537 高振兴. 矩阵分块与应用J.辽宁师范大学学报,2011(06):1