2019_2020学年高中数学第2章空间向量与立体几何章末复习课学案北师大版.docx

第2章 空间向量与立体几何1空间向量的概念与运算(1)空间向量有关概念与平面向量的有关概念类似(2)空间向量的运算包括加、减、数乘及数量积运算，加法、减法、数乘运算称为线性运算，结果仍为向量，加减算法可运用平行四边形法则与三角形法则进行运算；数量积运算结果为实数2空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)(R)；aba1b1a2b2a3b3；aba1b1a2b2a3b30；aba1b1，a2b2，a3b3(R)；|a|2aa|a|(向量模与向量之间的转化)；cosa，b；设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)，|3空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lmabakb，kR线面平行laa0面面平行vkv，kR线线垂直lmabab0线面垂直laak，kR面面垂直vv0线线夹角l，m的夹角为，cos 线面夹角l，的夹角为，sin 面面夹角，的夹角为，cos 4.空间距离的计算(1)点到直线的距离若直线l的方向向量为s，s0，点P是直线l上的点，点A是直线外任一点，则点A到直线l的距离d(2)点到平面的距离若n0为平面的单位法向量，点P是平面内一点，点A是平面外一点，则点A到该平面的距离d|空间向量及其运算【例1】(1)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：0；0；0；0，其中正确结论的序号是_(2)如图，在平行六面体A1B1C1D1ABCD中，M分成的比为，N分成的比为2，设a，b，c，试用a、b、c表示.(1)容易推出：0，所以正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SASBSCSD2，所以22cosASB，22cosCSD，而ASBCSD，于是，因此正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是.(2)连接AN，则.由已知ABCD是平行四边形，故ab，又M分成的比为，故(ab)由已知，N分成的比为2，故(c2b)，于是(ab)(c2b)(abc)向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义1(1)已知a(2，1，3)，b(0，1，2)，则2a3b_；(ab)(ab)_(2)如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PMMC21，N为PD中点，则满足xyz的实数x_，y_，z_(1)(4，1，0)9(2)(1)2a3b(4，2，6)(0，3，6)(4，1，0)(ab)(ab)a2b24190149.(2)在PD上取一点F，使PFFD21，连接MF，则，()，x，y，z.利用空间向量解决位置关系问题【例2】正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3，若PQAE，求的值思路探究建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用0求解的值解以D为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，则A(1，0，0)，E，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，因为3，所以3(a1，a1，0)(a，a，0)，所以3a3a，解得a，所以点P的坐标为.由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，因为PQAE，所以0，所以0，即0，解得b，所以点Q的坐标为，因为，所以(1，1，0)，所以1，故4.1.(变条件)若本例中的PQAE改为B1QEQ，其它条件不变，结果如何？解以D为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点Q的坐标为(c，c，0)，因为B1QEQ，所以0，所以(c1，c1，1)0，即c(c1)c(c1)0，4c24c10，解得c，所以点Q的坐标为，所以点Q是线段BD的中点，所以2，故2.2.(变条件)本例中若G是A1D的中点，点H在平面xOy上，且GHBD1，试判断点H的位置解以D为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为，因为点H在平面xOy上，设点H的坐标为(m，n，0)，因为(m，n，0)，(0，0，1)(1，1，0)(1，1，1)，且GH，所以，解得m1，n.所以点H的坐标为，所以H为线段AB的中点用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法1线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量2线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则abab0.3线面平行用向量证明线面平行的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量线性表示直线的方向向量4线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题5面面平行证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题6面面垂直证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题利用空间向量求空间角【例3】如图所示四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PAAD2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC平面AMN.(1)求AM与PD的夹角；(2)求二面角PAMN的余弦值；(3)求直线CD与平面AMN夹角的余弦值思路探究易观察知PA、AB、AD两两垂直，以A为原点建立直角坐标系，用向量法求解解建立如图所示的空间直角坐标系A(0，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)，B(2，0，0)，(2，2，2) (0，2，2)设M(x1，y1，z1)，(x1，y1，z12)(0，2，2)，x10，y12，z122，M(0，2，22)PC平面AMN，0，(2，2，2)(0，2，22)042(22)0，M(0，1，1)设N(x2，y2，z2)，t，(x2，y2，z22)t(2，2，2)，x22t，y22t，z22t2，N(2t，2t，22t)，0，(2t，2t，22t)(2，2，2)0，4t4t2(22t)0，t，N.(1)cos ，0，AM与PD夹角为90.(2)AB平面PAD，PC平面AMN，分别是平面PAD，平面AMN的法向量，二面角PAMN的余弦值，cos .(3)直线CD的方向向量(2，0，0)，平面AMN的法向量(2，2，2)，直线CD与平面AMN夹角的正弦值sin .直线CD与平面AMN夹角的余弦值为.1求异面直线的夹角设两异面直线的方向向量分别为n1、n2，那么这两条异面直线的夹角为n1，n2或n1，n2，cos |cosn1，n2|.2求面面的夹角如图，设平面、的法向量分别为n1、n2.因为两平面的法向量的夹角(或其补角)就等于平面、的夹角，所以cos |cosn1，n2|.3求斜线与平面的夹角如图，设平面的法向量为n1，斜线OA的方向向量为n2，斜线OA与平面的夹角为，则sin |cosn1，n2|.2如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，ACBC，且ACBC.(1)求证：AM平面EBC；(2)求直线AB与平面EBC的夹角；(3)求平面EAB与平面EBC的夹角解(1)证明：四边形ACDE是正方形，EAAC，平面ACDE平面ABC，EA平面ABC.可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系Axyz.设EAACBC2，则A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)M是正方形ACDE的对角线的交点，M(0，1，1)(0，1，1)，(0，2，2)，(2，0，0)，0，0.AMEC，AMCB.又ECCBC，AM平面EBC，AM平面EBC.(2)AM平面EBC，为平面EBC的一个法向量(0，1，1)，(2，2，0)，cos，.，60.直线AB与平面EBC的夹角为30.(3)设平面EAB的法向量为n(x，y，z)，则n，且n，n0且n0.即取y1，x1.n(1，1，0)又为平面EBC的一个法向量，且(0，1，1)，cosn，.设平面EAB与平面EBC的夹角为，则cos |cosn，|，60.平面EAB与平面EBC的夹角60.利用空间向量求空间距离【例4】如图所示，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点，求：(1)与所成的角；(2)P点到平面EFB的距离；(3)异面直线PM与FQ的距离解如图，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，M(0，0，a)，E(a，0，a)，F(0，a，a)，则由中点坐标公式得P，Q.(1)，所以0(a)a2，且|a，|a，所以cos，.所以与所成的角为150.(2)设n(x，y，z)是平面EFB的单位法向量，即|n|1，n平面EFB，所以n，且n.又(a，a，0)，(0，a，a)，所以得其中的一个解是所以n.又.设所求距离为d，则d|n|a.(3)设e(x1，y1，z1)是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由，得求得其中的一个解e.而(0，a，0)，设所求距离为m，则m|e|a|a.1空间距离有两点距、点线距、点面距、线线距、线面距和面面距六种情况，高考中以两点距与点面距为重点考查，而线面距、面面距通常可转化为点面距求解2点面距主要利用平面法向量求解，有时也利用等体积转化法求解4如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，CD的中点，求点B到截面AEC1F的距离解以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，F， E，B(1，1，0)，.设平面AEC1F的一个法向量为n(1，)，则n0，n0.，n(1，2，1)又(0，1，0)，点B到截面AEC1F的距离d.转化与化归思想的应用【例5】如图，在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M为AB的中点(1)证明：ACBS；(2)求二面角SCMA的余弦值；(3)求点B到平面SCM的距离解(1)证明：取AC的中点O，连接SO、BO，由题意易知OS、OA、OB两两垂直如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则A(2，0，0)，C(2，0，0)，S(0，0，2)，B(0，2，0)(4，0，0)，(0，2，2)(4，0，0)(0，2，2)0，ACBS.(2)由(1)得M(1，0)，(3，0)，(2，0，2)设n(x，y，z)为平面SCM的一个法向量，则取z1，则x1，y，n(1，1)又(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，cosn，.二面角SCMA的余弦值为.(3)由(1)(2)得(2，2，0)，又n(1，1)为平面SCM的一个法向量点B到平面SCM的距离为d.转化化归的思想方法是本章最主要的思想方法，一方面把空间中的平行、垂直、夹角、距离等问题转化为有关的向量计算；另一方面，将异面直线间的距离、平行的直线与平面间的距离、平行平面间的距离转化成点到面的距离，这些都是这一思想方法的具体