高中数学 第三章 柯西不等式与排序不等式测评 新人教A版选修45.doc

第三讲 柯西不等式与排序不等式测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列不等式中一定成立的是()a.(ax+by)2(a2+b2)(x2+y2)b.|ax+by|a2+b2x2+y2c.(a2+b2)(x2+y2)(ay+bx)2d.(a2+b2)(x2+y2)(ab+xy)2解析由柯西不等式可知,只有c项正确.答案c2.设xy0,则x2+4y2y2+1x2的最小值为()a.-9b.9c.10d.0解析x2+2y21x2+y2x1x+2yy2=9当且仅当xy=2xy时,等号成立.答案b3.设a1a2an,b1b2bn为两组实数,c1,c2,cn是b1,b2,bn的任一排列,则和s=a1bn+a2bn-1+anb1,t=a1c1+a2c2+ancn,k=a1b1+a2b2+anbn的关系是()a.stkb.ktsc.tksd.kst解析根据排序不等式知反序和乱序和顺序和,则stk.答案a4.若3x+2y+z=7,则x2+y2+z2的最小值是()a.12b.714c.76d.2解析由柯西不等式可得(32+22+12)(x2+y2+z2)(3x+2y+z)2,即14(x2+y2+z2)(7)2=7,于是x2+y2+z212,当且仅当x3=y2=z,即x=3714,y=77,z=714时,等号成立,故x2+y2+z2的最小值是12.答案a5.用柯西不等式求函数y=2x-3+2x+7-3x的最大值为()a.22b.3c.4d.5解析由柯西不等式,得函数y=2x-3+2x+7-3x12+(2)2+12(2x-3)+x+(7-3x)=4,当且仅当2x-31=x2=7-3x1时,等号成立,故函数y的最大值为4.故选c.答案c6.已知x2a2+y2b2=1(ab0),设a=a2+b2,b=(x+y)2,则a,b间的大小关系为()a.abc.abd.ab解析a=a2+b2=1(a2+b2)=x2a2+y2b2(a2+b2)xaa+ybb2=(x+y)2=b,即ab,当且仅当bxa=ayb时,等号成立.答案d7.已知a0,且m=a3+(a+1)3+(a+2)3,n=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则m与n的大小关系是()a.mnb.mnc.mnd.mn.答案b8.已知x,y,z是正实数,且1x+2y+3z=1,则x+y2+z3的最小值是()a.5b.6c.8d.9解析由柯西不等式可得x+y2+z3=x+y2+z31x+2y+3zx1x+y22y+z33z2=9,当且仅当x=3,y=6,z=9时,等号成立,故x+y2+z3的最小值是9.答案d9.已知a,b是给定的正数,则4a2sin2+b2cos2的最小值为()a.2a2+b2b.2abc.(2a+b)2d.4ab解析4a2sin2+b2cos2=(sin2+cos2)4a2sin2+b2cos2sin2asin+cosbcos2=(2a+b)2,当且仅当sin bcos=cos 2asin时,等号成立.故4a2sin2+b2cos2的最小值为(2a+b)2.答案c10.已知正数x,y,z满足x+2y+3z=1,则1x+2y+42y+3z+93z+x的最小值为()a.1b.9c.36d.18解析由柯西不等式可得(x+2y+2y+3z+3z+x)1x+2y+42y+3z+93z+x(1+2+3)2,x+2y+3z=1,21x+2y+42y+3z+93z+x36,1x+2y+42y+3z+93z+x18,当且仅当x+2y=2y+3z2=3z+x3,即x=13,y=0,z=29时,1x+2y+42y+3z+93z+x的最小值为18.答案d11.在锐角三角形abc中,设p=a+b+c2,q=acos c+bcos b+ccos a,则p,q的大小关系是()a.pqb.p=qc.pqd.无法确定解析不妨设abc,则abc,cos acos bcos c.则由排序不等式可得q=acos c+bcos b+ccos aacos b+bcos c+ccos a,acos c+bcos b+ccos aacos c+bcos a+ccos b,由+得2(acos c+bcos b+ccos a)acos b+bcos a+bcos c+ccos b+ccos a+acos c,即2(acos c+bcos b+ccos a)2r(sin acos b+cos asin b)+2r(sin bcos c+cos bsin c)+2r(sin ccos a+cos csin a),整理,得acos c+bcos b+ccos arsin(a+b)+sin(b+c)+sin(c+a)=r(sin a+sin b+sin c)=2rsina+2rsinb+2rsinc2=a+b+c2=p.答案c12.导学号26394060设p为abc内一点,d,e,f分别为p到bc,ca,ab所引垂线的垂足,如图.若abc的周长为l,面积为s,则bcpd+cape+abpf的最小值为()a.l22sb.l2sc.l24sd.2l2s解析设ab=a1,ac=a2,bc=a3,pf=b1,pe=b2,pd=b3,则a1b1+a2b2+a3b3=2s.a3b3+a2b2+a1b1(a3b3+a2b2+a1b1)a3b3a3b3+a2b2a2b2+a1b1a1b12=(a3+a2+a1)2=l2,a3b3+a2b2+a1b1l22s,当且仅当b1=b2=b3,即pe=pf=pd时,等号成立.答案a二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x12+x22+x32=2,y12+y22+y32=3,则x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.解析由柯西不等式可得(x12+x22+x32)(y12+y22+y32)(x1y1+x2y2+x3y3)2,即(x1y1+x2y2+x3y3)26,所以x1y1+x2y2+x3y36,故x1y1+x2y2+x3y3的最大值为6.答案614.若a,b,c0,则bca+acb+abca+b+c.解析不妨设abc0,则abacbc0,1c1b1a0,则由排序不等式可得bca+acb+abcab1a+ac1c+bc1b=a+b+c(当且仅当a=b=c时,等号成立).答案15.设正实数a1,a2,a100的任意一个排列为b1,b2,b100,则a1b1+a2b2+a100b100的最小值为.解析不妨设0a1a2a100,则00,所以st.答案st三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知a0,b0,a+b=1,求证2a+1+2b+122.证明由柯西不等式可得(2a+1+2b+1)2=(2a+11+2b+11)2(2a+1)2+(2b+1)2(12+12),因此(2a+1+2b+1)22(2a+2b+2)=8,故2a+1+2b+122当且仅当a=b=12时,等号成立.18.(本小题满分12分)已知a,b,c都是非零实数,求证a4b2+b4c2+c4a2a2+b2+c2.证明由柯西不等式可得a4b2+b4c2+c4a2(b2+c2+a2)=a2b2+b2c2+c2a2(b2+c2+a2)a2bb+b2cc+c2aa2=(a2+b2+c2)2,又因为a2+b2+c20,所以a4b2+b4c2+c4a2a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时,等号成立).19.(本小题满分12分)设x2+4y2=1,求u=2x+y的最值以及取得最值时,实数x,y的值.解u=2x+y=2x+122y.由柯西不等式可得22+122x2+(2y)22x+122y2,即(2x+y)21741,所以u2174,故-172u172,当且仅当4y=12x,且x2+4y2=1时,等号成立,解得x=41717,y=1734.所以u的最大值是172,此时x=41717,y=1734;u的最小值是-172,此时x=-41717,y=-1734.20.(本小题满分12分)设a,b,c(0,+),利用排序不等式证明a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.证明不妨设abc0,则lg alg blg c,由排序不等式可得alg a+blg b+clg cblg a+clg b+alg c,alg a+blg b+clg cclg a+alg b+blg c,以上两式相加可得2alg a+2blg b+2clg c(b+c)lg a+(a+c)lg b+(a+b)lg c,即lg a2a+lg b2b+lg c2clg ab+c+lg ba+c+lg ca+b,lg(a2ab2bc2c)lg(ab+cba+cca+b),故a2ab2bc2cab+cbc+aca+b(当且仅当a=b=c时,等号成立).21.导学号26394061(本小题满分12分)已知a0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;(2)求14a2+19b2+c2的最小值.解(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-axb时,等号成立.又a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c.又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式,得14a2+19b2+c2(4+9+1)a22+b33+c12=(a+b+c)2=16,即14a2+19b2+c287.当且仅当12a2=13b3=c1,即a=87,b=187,c=27时等号成立.故14a2+19b2+c2的最小值为87.22.导学号26394062(本小题满分12分)如图,等腰直角三角形aob的直角边长为1,在此三角形中任取点p,过p分别引三边的平行线,与各边围成以p为顶点的三个三角形(图中阴影部分),求这三个三角形的面积和的最小值,以及达到最小值时p的位置.解分别取oa,ob所在的直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.则ab的方程为x+y=1,记点p坐标为p