高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.3.2 含有一个量词的命题的否定学案 苏教版选修21.doc

1.3.2含有一个量词的命题的否定学习目标1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题知识点一全称命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个质数都是奇数；(3)xr，x22x10.答案(1)将量词“所有”换为“存在一个”，然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；(2)存在一个质数不是奇数；(3)xr，x22x10.梳理写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：xm，p(x)，它的否定綈p：xm，綈p(x)全称命题的否定是存在性命题知识点二存在性命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的存在性命题的否定，并归纳写存在性命题否定的方法(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)xr，x211，使x22x30；(2)p：有些素数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形解(1)其否定：任意x1，x22x30(假)(2)其否定：所有的素数都不是奇数(假)(3)其否定：所有的平行四边形都是矩形(假)类型三含量词的命题的应用例3已知命题“对于任意xr，x2ax10”是假命题，求实数a的取值范围考点含有一个量词的命题题点由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围解因为全称命题“对于任意xr，x2ax10”的否定形式为：“存在xr，x2ax10”由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题由于函数f(x)x2ax1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知a240，解得a2或a2.所以实数a的取值范围是(，2)(2，)引申探究把本例中“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围解由题意知a240，解得a2,2故实数a的取值范围为2,2反思与感悟含有一个量词的命题与参数范围的求解策略(1)对于全称命题“xm，af(x)(或af(x)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即af(x)max(af(x)min)(2)对于存在性命题“xm，af(x)(或af(x)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即af(x)min(或af(x)max)(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定形式存在性命题为真命题解决，同理，若存在性命题为假命题，通常转化为其否定形式全称命题为真命题解决跟踪训练3已知函数f(x)x22x5.(1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xr恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x，使不等式mf(x)0成立，求实数m的取值范围考点含有一个量词的命题题点由含有一个量词的命题的真假求参数的取值范围解(1)不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xr恒成立，只需m4即可故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xr恒成立，此时，只需m4.(2)不等式mf(x)0可化为mf(x)，若存在一个实数x，使不等式mf(x)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4.所求实数m的取值范围是(4，)1命题“xr，xsinx”的否定是_考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定答案xr，xsinx2已知a0且a1，命题“x1，logax0”的否定是_答案x1，logax0解析a0且a1，命题“x1，logax0”的否定是“x1，logax0”3对x0，a0，故x22，当且仅当x1时等号成立，又ax恒成立，故amin2，所以a100.答案解析“有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故错误1对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“”否定为“1解析所给命题为全称命题，故其否定为存在性命题，xr，sinx1.4命题“nn*，f(n)n*且f(n)n”的否定形式是_答案nn*，f(n)n*或f(n)n解析“f(n)n*且f(n)n”的否定为“f(n)n*或f(n)n”，全称命题的否定为存在性命题5已知p：xr,9x26x10，q：xr，sinxcosx，则pq是_命题(填“真”“假”)考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题真假判断答案真解析由于9x26x1(3x1)20，所以p为假命题因为sin xcosxsin，所以q为真命题，因此pq是真命题6命题“对任何xr，|x2|x4|3”的否定是_答案存在xr，|x2|x4|3解析全称命题的否定为存在性命题7命题“每个函数都有奇偶性”的否定是_答案有些函数没有奇偶性解析命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此其否定是存在性命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论8若“x，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为_答案1解析0x，0tanx1，“x，tanxm”是真命题，m1，实数m的最小值为1.9已知p(x)：x22xm0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是_考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的真假求参数的取值范围答案3,8)解析因为p(1)是假命题，所以12m0，解得m3.又因为p(2)是真命题，所以44m0，解得mlgx，命题q：xr，sinxlg10，即81，故命题p为真命题；对于命题q，取x，则sinxsin1，此时sinxx，故命题q为假命题，因此命题pq是真命题，命题pq是假命题，命题p(綈q)是真命题，命题p(綈q)是真命题二、解答题12已知命题p：xr,4x2x1m0，若綈p是假命题，求实数m的取值范围考点全称量词的否定题点含全称量词的命题的真假求参数的取值范围解綈p是假命题，p是真命题也就是xr，有m(4x2x1)，令f(x)(4x2x1)(2x1)21，对任意xr，f(x)1.m的取值范围是(，113已知命题p：“至少存在一个实数x1,2，使不等式x22ax2a0成立”为真，试求参数a的取值范围解由已知得綈p：x1,2，x22ax2a0成立设f(x)x22ax2a，则解得a3，綈p为假，a3，即a的取值范围是(3，)三、探究与拓展14已知函数f(x)x2mx1，命题p：“对任意xr，都有f(x)0”，命题q：“存在xr，使x2m20”，所以命题p的否定为“不等式f(x)0在实数集上有解”，故m240，得m2或m2.又命题q：“存在xr，使x2m29”，即不等式x20，所以3mm(x21)，q：xr，x22xm10，且pq为真，求实数m的取值范围解2xm(x21)可化为mx22x