高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质（二）学案 苏教版选修21.doc

2.2.2椭圆的几何性质(二)学习目标1.巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的问题知识点一点与椭圆的位置关系已知点p(x0，y0)与椭圆1(ab0)(1)当p在椭圆外时，1；(2)当p在椭圆上时，1；(3)当p在椭圆内时，b0)的位置关系？答案联立消去y得关于x的一元二次方程，则位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解0，则直线和椭圆相交；若0，则直线和椭圆相切；若b0)相交，两个交点为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则线段ab叫做直线l截椭圆所得的弦，线段ab的长度叫做弦长ab，其中x1x2与x1x2均可由根与系数的关系得到1直线与椭圆有且只有一个公共点时，直线与椭圆相切()2直线y1被椭圆y21截得的弦长为.()3已知椭圆1(ab0)与点p(b,0)，过点p可作出该椭圆的一条切线()4直线yk(xa)与椭圆1的位置关系是相交()类型一点、直线与椭圆位置关系的判断例1已知点p(k,1)，椭圆1，点p在椭圆外，则实数k的取值范围为_答案解析依题意得，1，解得k.引申探究若将本例中p点坐标改为“p(1，k)”呢？答案解析依题意得，1，解得k2，即k.反思与感悟处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性跟踪训练1已知点(1,2)在椭圆1(nm0)上，则mn的最小值为_答案9解析依题意得，1，而mn(mn)145529，(当且仅当n2m时等号成立)故mn的最小值为9.例2对不同的实数m，讨论直线yxm与椭圆y21的位置关系考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题解由消去y，得5x28mx4m240，64m245(4m24)16(5m2)当m时，0，直线与椭圆相交；当m或m时，0，直线与椭圆相切；当m或m时，0，直线与椭圆相离反思与感悟判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式是解题关键跟踪训练2在平面直角坐标系xoy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点p和q，求k的取值范围考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题解由已知条件知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21，整理得x22kx10，直线l与椭圆有两个不同的交点p和q等价于8k244k220，解得k或k，所以k的取值范围为.类型二弦长及中点问题例3已知椭圆1的弦ab的中点m的坐标为(2,1)，求直线ab的方程解方法一根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线ab的斜率存在，设直线ab的方程为y1k(x2)将其代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.(*)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，于是x1x2.又m为线段ab的中点，2，解得k.经检验，当k时，(*)式的判别式0.故所求直线的方程为x2y40.方法二点差法设a(x1，y1)，b(x2，y2)，x1x2.m(2,1)为线段ab的中点，x1x24，y1y22.又a，b两点在椭圆上，则x4y16，x4y16，两式相减，得(xx)4(yy)0，于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.，即直线ab的斜率kab.故所求直线的方程为x2y40.方法三对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为a(x，y)，由于点m(2,1)为线段ab的中点，则另一个交点为b(4x,2y)a，b两点都在椭圆上，得x2y40.即点a的坐标满足这个方程，根据对称性，点b的坐标也满足这个方程，而过a，b两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x2y40.引申探究在本例中求弦ab的长解由上例得直线ab方程为x2y40.联立方程组消去y并整理，得x(x4)0，得x0或x4，得两交点坐标a(0,2)，b(4,0)，故ab2.反思与感悟直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式.解决弦长问题，一般应用弦长公式而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程跟踪训练3已知椭圆1和点p(4,2)，直线l经过点p且与椭圆交于a，b两点(1)当直线l的斜率为时，求线段ab的长度；(2)当点p恰好为线段ab的中点时，求l的方程解(1)由已知可得直线l的方程为y2(x4)，即yx.由消去y可得x2180，若设a(x1，y1)，b(x2，y2)则x1x20，x1x218.于是ab63.所以线段ab的长度为3.(2)设a(x3，y3)，b(x4，y4)，则有两式相减得0，整理得kab由于p(4,2)是ab的中点，x3x48，y3y44，于是kab，于是直线l的方程为y2(x4)，即x2y80.类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解(1)由得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，由(1)知：5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以ab.所以当m0时，ab最大，此时直线方程为yx.反思与感悟求最值问题的基本策略(1)求解形如papb的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时papb取得最值，即应用“化曲为直”的思想(2)求解形如pa的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围(3)求解形如axby的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围跟踪训练4已知动点p(x，y)在椭圆1上，若点a的坐标为(3,0)，|1，且0，求|的最小值解由|1，a(3,0)，知点m在以a(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，0且p在椭圆上运动，pmam，即pm为a的切线，连结pa(如图)，则|，由椭圆方程知a5，c3，当|minac532时，|min.1点a(a,1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是_答案(，)解析由题意知1，解得a.2已知直线l：xy30，椭圆y21，则直线与椭圆的位置关系是_答案相离解析把xy30代入y21，得(3x)21，即5x224x320.(24)24532642)，与直线方程xy40联立，得4(a23)y28(a24)y(16a2)(a24)0，由0，得a，所以椭圆的长轴长为2.4若直线ykxb与椭圆1恒有两个公共点，则b的取值范围为_答案(2,2)解析直线ykxb恒过定点(0，b)，且直线ykxb与椭圆1恒有两个公共点，点(0，b)在椭圆1内部，2bb0)的左、右顶点，上、下顶点和左、右焦点，四边形a1b1a2b2的面积是四边形b1f2b2f1面积的2倍，则椭圆的离心率为_答案解析依题意得，b2a22b2c2，即a2c，故离心率e.3若直线mxny4与圆x2y24没有交点，则过点p(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为_答案2解析因为直线mxny4与圆x2y24没有交点，所以2，所以m2n2b0)的离心率为，若直线ykx与椭圆的一个交点的横坐标x0b，则k的值为_答案解析根据椭圆的离心率为，得.设交点的纵坐标为y0，由x0b，得yb2，y0，k.7已知椭圆：1(0b0)与线段ab相交于点d，与椭圆相交于e，f两点若6，则k的值为_答案或解析依题意得椭圆的方程为y21，直线ab，ef的方程分别为x2y2，ykx(k0)如图，设d(x0，kx0)，e(x1，kx1)，f(x2，kx2)，其中x10，解得b1)相交于a，b两点，且l过椭圆c的右焦点，若以ab为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆c的方程解由椭圆c：1(a1)得c1，椭圆的两个焦点为f1(1,0)，f2(1,0)又l经过点f2，m1，即直线l的方程为yx1，代入1(a1)得(2a21)x22a2x2a2a40.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2.又以ab为直径的圆过点f1，af1bf1.kaf1kbf11，即1，y1y2(x11)(x21)0.y1x11，y2x21，(x11)(x21)(x11)(x21)0，即x1x21，1，解得a22.又a21，a22，即a211.故所求椭圆的方程为1.三、探究与拓展14已知o为坐标原点，f是椭圆c：1(ab0)的左焦点，a，b分别为c的左，右顶点p为c上一点，且pfx轴过点a的直线l与线段pf交于点m，与y轴交于点e.若直线bm经过oe的中点，则c的离心率为_答案解析设m(c，m)，则e，oe的中点为d，则d，又b，d，m三点共线，所以，a3c，e.15椭圆1(ab0)与直线xy10相交于p，q两点，且(o为坐标原点)(1)求证：等于定值；(2)若椭圆的离心率e，求椭圆长轴长的取值范围(1)证明椭圆的方程可化为b2x2a2y2a2b20.由消去y得(a2b2)x22a2xa2(