二次型学习指导.doc

53线性代数辅导二次型【基本要求】1.掌握理解二次型及其矩阵表示。2.会用正交变换法及配方法化二次型为标准形。3.了解掌握二次型的秩、惯性定律、二次型的正定性及其判别法。【主要内容】二次型的正、负定判断：1阶实对称矩阵A正定二次型是正定的它的正惯性指数=nA的所有特征值A的顺序主子式全大于零A合同于E。2阶实对称矩阵A负定二次型是负定的它的负惯性指数=nA的所有特征值n个顺序主子行列式的值负正相间合同矩阵：1. 设均为阶实对称矩阵，如果有阶实可逆矩阵存在，使得，则称合同于，记为2. 任一实对称矩阵必合同于一个对角矩阵。3. 实对称矩阵的充要条件是：二次型与有相同的正、负惯性指数；必要条件是化二次型为标准型：1 配方法2 正交变换法注：正交变换化二次型为标准型时，标准型中平方项系数必是矩阵A的n个特征值，而配方法没有这个属性。【典型例题】例1 用配方法将下列二次型化为标准型，并写出所做的实可逆线性变换 (1) (2) (3) 解：(1) 令 ， 则。 (2) 分析：此题仅含有混合项，需先想办法生成平方项。令 ， 则 令 , 则 , 即 于是得 (3) 令 ， 则 注意：1.用配方法化二次型为标准形时，一定要保证所做的线性变换为可逆线性变换，特别是此例第三小题，最后只有一个平方项，其变换中的后两个等式也不能少。2.用配方法化二次型为标准形时，所做的可逆线性变换要保证变量个数不变。 例2 用正交变换将二次型化为标准型。解： 二次型的矩阵为 ，其特征方程为：则A的特征值是 ,对,解,得; 对,解 得;对,解,得。显然是两两正交的特征向量，令，则P为正交矩阵，所以，令 , 则例3 设 正定,求的取值范围。 解： 二次型的矩阵为 , 其顺序主子式分别为 由于正定，得 , .例4 设为阶实对称矩阵，证明当充分大时，为正定矩阵。证明： 设的特征值为，为对应的特征向量, 又，的特征值为。取，则的所有特征值均大于0，所以，当充分大时，为正定矩阵。例5 设、均为阶正定矩阵，证明也是正定矩阵。 证明：(用定义证明）A、均为阶正定矩阵，则对任意维非零实列向量，均有， 即为正定矩阵。【自我练习及解答】一、填空题 (1)若二次型是正定的，则t的取值范围是 。 (2)设，则 正定矩阵; 式子 二次型；式子 二次型（填“是”或者“不是”）.二、选择题(1) 二次型的正惯性指数与负惯性指数与符号差分别为 。 (A) 2,0,2 (B) 2,0,0 (C) 2,1,1 (D) 1,1,0 (2) 是 。 （A）正定的（B）负定的（C）既不正定也不负定（D）无法确定 (3) 如果A是正定矩阵，则 。（A是A的伴随矩阵） (A) A和A1也正定，但A不一定 （B）A1和A也正定，但A不一定（C）A、A1、A也都是正定矩阵 (D) 无法确定 (4) 二次型的矩阵是 (A), (B) , (C) (D) 三、设二次型（1）写出其矩阵表达式；（2）用正交变换将其化为标准形，并写出所用的正交变换.四、用配方法将下列二次型化为标准型，并写出所做的实可逆线性变换：（1）（2）五、判断下列二次型的正定性：（1）=（2）习题参考答案一、 (1) ; (2)不是、不是、不是 二、 (1)A;(2)C;