中考数学 专题突破导学练 第17讲 等腰三角形试题.doc

第17讲 等腰三角形【知识梳理】1.概念及分类有两条边相等的三角形叫等腰三角形；有三条边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为：腰和底不相等的等腰三角形及腰和底相等的等腰三角形。2. 等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”；（3）等腰三角形是轴对称图形。3.等腰三角形的判定（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。4.等边三角形角的性质：三个内角相等，等于60，5.等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60的三角形是等边三角形。【考点解析】考点一：等腰三角形的性质与判定【例1】已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）a20或16b20c16d以上答案均不对【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解【解答】解：根据题意得，解得，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20故选b【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断根据题意列出方程是正确解答本题的关键考点二、等边三角形的性质与判定【例2】如图，点p在等边abc的内部，且pc=6，pa=8，pb=10，将线段pc绕点c顺时针旋转60得到pc，连接ap，则sinpap的值为【考点】r2：旋转的性质；kk：等边三角形的性质；t7：解直角三角形【分析】连接pp，如图，先利用旋转的性质得cp=cp=6，pcp=60，则可判定cpp为等边三角形得到pp=pc=6，再证明pcbpca得到pb=pa=10，接着利用勾股定理的逆定理证明app为直角三角形，app=90，然后根据正弦的定义求解【解答】解：连接pp，如图，线段pc绕点c顺时针旋转60得到pc，cp=cp=6，pcp=60，cpp为等边三角形，pp=pc=6，abc为等边三角形，cb=ca，acb=60，pcb=pca，在pcb和pca中，pcbpca，pb=pa=10，62+82=102，pp2+ap2=pa2，app为直角三角形，app=90，sinpap=故答案为【中考热点】（2017宁德）如图，在abc中，ab=ac，点d，e分别在边bc 和ac上，若ad=ae，则下列结论错误的是（）aadb=acb+cadbade=aedccde=baddaed=2ecd【考点】kh：等腰三角形的性质【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项a、b、c正确，选项d错误，即可得出答案【解答】解：adb是acd的外角，adb=acb+cad，选项a正确；ad=ae，ade=aed，选项b正确；ab=ac，b=c，adc=ade+cde=b+bad，aed=cde+c，cde+c+cde=b+bad，cde=bad，选项c正确；aed=ecd+cde，ecdcde，选项d错误；故选：d【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键【达标检测】一选择题：1. 如图，正abc的边长为2，过点b的直线lab，且abc与abc关于直线l对称，d为线段bc上一动点，则ad+cd的最小值是（）a4 b3c2d2+【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质【分析】连接cc，连接ac交y轴于点d，连接ad，此时ad+cd的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形cbac为菱形，根据菱形的性质即可求出ac的长度，从而得出结论【解答】解：连接cc，连接ac交l于点d，连接ad，此时ad+cd的值最小，如图所示abc与abc为正三角形，且abc与abc关于直线l对称，四边形cbac为边长为2的菱形，且bac=60，ac=2ab=2故选c2. （2017山东滨州）如图，在abc中，ab=ac，d为bc上一点，且da=dc，bd=ba，则b的大小为（）a40b36c30d25【考点】kh：等腰三角形的性质【分析】根据ab=ac可得b=c，cd=da可得adb=2c=2b，ba=bd，可得bda=bad=2b，在abd中利用三角形内角和定理可求出b【解答】解：ab=ac，b=c，cd=da，c=dac，ba=bd，bda=bad=2c=2b，又b+bad+bda=180，5b=180，b=36，故选b3. （2017广西河池）已知等边abc的边长为12，d是ab上的动点，过d作deac于点e，过e作efbc于点f，过f作fgab于点g当g与d重合时，ad的长是（）a3b4c8d9【考点】kk：等边三角形的性质；ko：含30度角的直角三角形【分析】设ad=x，根据等边三角形的性质得到a=b=c=60，由垂直的定义得到adf=deb=efc=90，解直角三角形即可得到结论【解答】解：设ad=x，abc是等边三角形，a=b=c=60，deac于点e，efbc于点f，fgab，adf=deb=efc=90，af=2x，cf=122x，ce=2cf=244x，be=12ce=4x12，bd=2be=8x24，ad+bd=ab，x+8x24=12，x=4，ad=4故选b4. 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”如图，线段cd是abc的“和谐分割线”，acd为等腰三角形，cbd和abc相似，a=46，则acb的度数为113或92【考点】s7：相似三角形的性质；kh：等腰三角形的性质【分析】由acd是等腰三角形，adcbcd，推出adca，即accd，分两种情形讨论当ac=ad时，当da=dc时，分别求解即可【解答】解：bcdbac，bcd=a=46，acd是等腰三角形，adcbcd，adca，即accd，当ac=ad时，acd=adc=67，acb=67+46=113，当da=dc时，acd=a=46，acb=46+46=92，故答案为113或92二填空题：5. （2017江西）如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中oa=ob若剪刀张开的角为30，则a=75度【考点】kh：等腰三角形的性质【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论【解答】解：oa=ob，aob=30，a=75，故答案为：756. 有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30，则以它的腰长为边的正方形的面积为20和20【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质【分析】分两种情形讨论当30度角是等腰三角形的顶角，当30度角是底角，分别作腰上的高即可【解答】解：如图1中，当a=30，ab=ac时，设ab=ac=a，作bdac于d，a=30，bd=ab=a，aa=5，a2=20，abc的腰长为边的正方形的面积为20如图2中，当abc=30，ab=ac时，作bdca交ca的延长线于d，设ab=ac=a，ab=ac，abc=c=30，bac=120，bad=60，在rtabd中，d=90，bad=60，bd=a，aa=5，a2=20，abc的腰长为边的正方形的面积为20故答案为20或207. 如图，等边三角形的顶点a（1，1）、b（3，1），规定把等边abc“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边abc的顶点c的坐标为【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移【分析】据轴对称判断出点a变换后在x轴上方，然后求出点a纵坐标，再根据平移的距离求出点a变换后的横坐标，最后写出即可【解答】解：解：abc是等边三角形ab=31=2，点c到x轴的距离为1+2=+1，横坐标为2，a（2， +1），第2016次变换后的三角形在x轴上方，点a的纵坐标为+1，横坐标为2-20161=-2014，所以，点a的对应点a的坐标是(-2014，+1)故答案为：(-2014，+1)8. 如图是一张长方形纸片abcd，已知ab=8，ad=7，e为ab上一点，ae=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（aep），使点p落在长方形abcd的某一条边上，则等腰三角形aep的底边长是 【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理【分析】分情况讨论：当ap=ae=5时，则aep是等腰直角三角形，得出底边pe=ae=5即可；当pe=ae=5时，求出be，由勾股定理求出pb，再由勾股定理求出等边ap即可；当pa=pe时，底边ae=5；即可得出结论【解答】解：如图所示：当ap=ae=5时，bad=90，aep是等腰直角三角形，底边pe=ae=5；当pe=ae=5时，be=abae=85=3，b=90，pb=4，底边ap=4；当pa=pe时，底边ae=5；综上所述：等腰三角形aep的对边长为5或4或5；故答案为：5或4或5三解答题：9.爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图（1）、图（2）、图（3）中，am、bn是abc的中线，anbn于点p，像abc这样的三角形均为“中垂三角形”设bc=a，ac=b，ab=c【特例探究】（1）如图1，当tanpab=1，c=4时，a=4，b=4；如图2，当pab=30，c=2时，a=，b=；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论【拓展证明】（3）如图4，abcd中，e、f分别是ad、bc的三等分点，且ad=3ae，bc=3bf，连接af、be、ce，且bece于e，af与be相交点g，ad=3，ab=3，求af的长【考点】四边形综合题【分析】（1）首先证明apb，pef都是等腰直角三角形，求出pa、pb、pe、pf，再利用勾股定理即可解决问题连接ef，在rtpab，rtpef中，利用30性质求出pa、pb、pe、pf，再利用勾股定理即可解决问题（2）结论a2+b2=5c2设mp=x，np=y，则ap=2x，bp=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题（3）取ab中点h，连接fh并且延长交da的延长线于p点，首先证明abf是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题【解答】（1）解：如图1中，ce=ae，cf=bf，efab，ef=ab=2，tanpab=1，pab=pba=pef=pfe=45，pf=pe=2，pb=pa=4，ae=bf=2b=ac=2ae=4，a=bc=4故答案为4，4如图2中，连接ef，ce=ae，cf=bf，efab，ef=ab=1，pab=30，pb=1，pa=，在rtefp中，efp=pab=30，pe=，pf=，ae=，bf=，a=bc=2bf=，b=ac=2ae=，故答案分别为，（2）结论a2+b2=5c2证明：如图3中，连接efaf、be是中线，efab，ef=ab，fpeapb，=，设fp=x，ep=y，则ap=2x，bp=2y，a2=bc2=4bf2=4（fp2+bp2）=4x2+16y2，b2=ac2=4ae2=4（pe2+ap2）=4y