中考数学 专题突破导练案 第五讲 三角形试题.doc

第五讲三角形【专题知识结构】【专题解题分析】三角形在中考中的常见考点有三角形的边和角，三角形的重要线段；全等三角形的判定，全等三角形的性质及综合应用，角平分线的应用；等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线；比例线段与黄金分割，相似三角形的性质及判定，相似多边形的性质；锐角三角函数，解直角三角形的应用等对三角形的考查在中考中既有客观题又有主观题，考查题型多样，关于边角的基础知识一般以选择题或填空题的形式进行考查，证明三角形全等、相似，应用三角形全等、相似解决问题一般以解答题的形式进行考查；解决三角形问题常用的数学思想是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法和设参数法等.【典型例题解析】例题1: (2017山东东营)如图，把abc沿着bc的方向平移到def的位置，它们重叠部分的面积是abc面积的一半，若bc=，则abc移动的距离是（）abcd【分析】移动的距离可以视为be或cf的长度，根据题意可知abc与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以ec：bc=1：，推出ec的长，利用线段的差求be的长【解答】解：abc沿bc边平移到def的位置，abde，abchec，=（）2=，ec：bc=1：，bc=，ec=，be=bcec=故选：d【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证abc与阴影部分为相似三角形例题2: ( 2017宁夏)在abc中，ab=6，点d是ab的中点，过点d作debc，交ac于点e，点m在de上，且me=dm当ambm时，则bc的长为8【分析】根据直角三角形的性质求出dm，根据题意求出de，根据三角形中位线定理计算即可【解答】解：ambm，点d是ab的中点，dm=ac=3，me=dm，me=1，de=dm+me=4，d是ab的中点，debc，bc=2de=8，故答案为：8【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键例题3：(2017上海)一副三角尺按如图的位置摆放（顶点c 与f 重合，边ca与边fe叠合，顶点b、c、d在一条直线上）将三角尺def绕着点f按顺时针方向旋转n后（0n180 ），如果efab，那么n的值是45【分析】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可【解答】解：如图1中，efab时，ace=a=45，旋转角n=45时，efab如图2中，efab时，ace+a=180，ace=135旋转角n=360135=225，0n180，此种情形不合题意，故答案为45【点评】本题考查旋转变换、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型例题4：(2017上海)如图，一座钢结构桥梁的框架是abc，水平横梁bc长18米，中柱ad高6米，其中d是bc的中点，且adbc（1）求sinb的值；（2）现需要加装支架de、ef，其中点e在ab上，be=2ae，且efbc，垂足为点f，求支架de的长【分析】（1）在rtabd中，利用勾股定理求出ab，再根据sinb=计算即可；（2）由efad，be=2ae，可得=，求出ef、df即可利用勾股定理解决问题；【解答】解：（1）在rtabd中，bd=dc=9，ad=6，ab=3，sinb=（2）efad，be=2ae，=，=，ef=4，bf=6，df=3，在rtdef中，de=5【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型例题5：(2017年湖南郴州)如图所示，c城市在a城市正东方向，现计划在a、c两城市间修建一条高速公路（即线段ac），经测量，森林保护区的中心p在a城市的北偏东60方向上，在线段ac上距a城市120km的b处测得p在北偏东30方向上，已知森林保护区是以点p为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：1.73）【分析】作phac于h求出ph与100比较即可解决问题【解答】解：结论；不会理由如下：作phac于h由题意可知：eap=60，fbp=30，pab=30，pbh=60，pbh=pab+apb，bap=bpa=30，ba=bp=120，在rtpbh中，sinpbh=，ph=pbsin60=120103.80，103.80100，这条高速公路不会穿越保护区【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题例题6：(2017年湖南郴州)如图1，abc是边长为4cm的等边三角形，边ab在射线om上，且oa=6cm，点d从o点出发，沿om的方向以1cm/s的速度运动，当d不与点a重合时，将acd绕点c逆时针方向旋转60得到bce，连结de（1）求证：cde是等边三角形；（2）如图2，当6t10时，bde的周长是否存在最小值？若存在，求出bde的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当点d在射线om上运动时，是否存在以d、e、b为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）由旋转的性质得到dce=60，dc=ec，即可得到结论；（2）当6t10时，由旋转的性质得到be=ad，于是得到cdbe=be+db+de=ab+de=4+de，根据等边三角形的性质得到de=cd，由垂线段最短得到当cdab时，bde的周长最小，于是得到结论；（3）存在，当点d与点b重合时，d，b，e不能构成三角形，当0t6时，由旋转的性质得到abe=60，bde60，求得bed=90，根据等边三角形的性质得到deb=60，求得ceb=30，求得od=oada=64=2，于是得到t=21=2s；当6t10s时，此时不存在；当t10s时，由旋转的性质得到dbe=60，求得bde60，于是得到t=141=14s【解答】解：（1）证明：将acd绕点c逆时针方向旋转60得到bce，dce=60，dc=ec，cde是等边三角形；（2）存在，当6t10时，由旋转的性质得，be=ad，cdbe=be+db+de=ab+de=4+de，由（1）知，cde是等边三角形，de=cd，cdbe=cd+4，由垂线段最短可知，当cdab时，bde的周长最小，此时，cd=2cm，bde的最小周长=cd+4=2+4；（3）存在，当点d与点b重合时，d，b，e不能构成三角形，当点d与点b重合时，不符合题意，当0t6时，由旋转可知，abe=60，bde60，bed=90，由（1）可知，cde是等边三角形，deb=60，ceb=30，ceb=cda，cda=30，cab=60，acd=adc=30，da=ca=4，od=oada=64=2，t=21=2s；当6t10s时，由dbe=12090，此时不存在；当t10s时，由旋转的性质可知，dbe=60，又由（1）知cde=60，bde=cde+bdc=60+bdc，而bdc0，bde60，只能bde=90，从而bcd=30，bd=bc=4，od=14cm，t=141=14s，综上所述：当t=2或14s时，以d、e、b为顶点的三角形是直角三角形【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键【达标检测评估】一、选择题：1. （2016山东省滨州市3分）如图，abc中，d为ab上一点，e为bc上一点，且ac=cd=bd=be，a=50，则cde的度数为（）a50b51c51.5d52.5【考点】等腰三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；三角形的外角性质【专题】计算题【分析】根据等腰三角形的性质推出a=cda=50，b=dcb，bde=bed，根据三角形的外角性质求出b=25，由三角形的内角和定理求出bde，根据平角的定义即可求出选项【解答】解：ac=cd=bd=be，a=50，a=cda=50，b=dcb，bde=bed，b+dcb=cda=50，b=25，b+edb+deb=180，bde=bed=（18025）=77.5，cde=180cdaedb=1805077.5=52.5，故选d【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键2.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）a三条高的交点 b三条角平分线的交点c三条中线的交点 d三条边的垂直平分线的交点【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：d3. （2016山东省德州市3分）如图，在abc中，b=55，c=30，分别以点a和点c为圆心，大于ac的长为半径画弧，两弧相交于点m，n，作直线mn，交bc于点d，连接ad，则bad的度数为（）a65b60c55d45【考点】线段垂直平分线的性质【分析】根据线段垂直平分线的性质得到ad=dc，根据等腰三角形的性质得到c=dac，求得dac=30，根据三角形的内角和得到bac=95，即可得到结论【解答】解：由题意可得：mn是ac的垂直平分线，则ad=dc，故c=dac，c=30，dac=30，b=55，bac=95，bad=baccad=65，故选a【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键4.如图，在abc中，acb=90，ac=8，ab=10，de垂直平分ac交ab于点e，则de的长为（）a6 b5 c4 d3【考点】三角形中位线定理；线段垂直平分线的性质【分析】在rtacb中，根据勾股定理求得bc边的长度，然后由三角形中位线定理知de=bc【解答】解：在rtacb中，acb=90，ac=8，ab=10，bc=6又de垂直平分ac交ab于点e，de是acb的中位线，de=bc=3故选：d【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半5. (2017哈尔滨)如图，在abc中，d、e分别为ab、ac边上的点，debc，点f为bc边上一点，连接af交de于点g，则下列结论中一定正确的是（）a =b =c =d =【考点】s9：相似三角形的判定与性质【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案【解答】解：（a）debc，adeabc，故a错误；（b）debc，故b错误；（c）debc，故c正确；（d）debc，ageafc，=，故d错误；故选（c）二、填空题：6. （2016青海西宁2分）如图，op平分aob，aop=15，pcoa，pdoa于点d，pc=4，则pd=2【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形【分析】作peoa于e，根据角平分线的性质可得pe=pd，根据平行线的性质可得acp=aob=30，由直角三角形中30的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得pe，即可求得pd【解答】解：作peoa于e，aop=bop，pdob，peoa，pe=pd（角平分线上的点到角两边的距离相等），bop=aop=15，aob=30，pcob，acp=aob=30，在rtpce中，pe=pc=4=2（在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半），pd=pe=2，故答案是：27. (2017上海)如图，已知abcd，cd=2ab，ad、bc相交于点e，设=， =，那么向量用向量、表示为+2【分析】根据=+，只要求出即可解决问题【解答】解：abcd，=，ed=2ae，=，=2，=+=+2【点评】本题考查平面向量、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则求向量，属于基础题8. (2017山东威海)如图，abc为等边三角形，ab=2若p为abc内一动点，且满足pab=acp，则线段pb长度的最小值为【分析】由等边三角形的性质得出abc=bac=60，ac=ab=2，求出apc=120，当pbac时，pb长度最小，设垂足为d，此时pa=pc，由等边三角形的性质得出ad=cd=ac=1，pac=acp=30，abd=abc=30，求出pd=adtan30=ad=，bd=ad=，即可得出答案【解答】解：abc是等边三角形，abc=bac=60，ac=ab=2，pab=acp，pac+acp=60，apc=120，当pbac时，pb长度最小，设垂足为d，如图所示：此时pa=pc，则ad=cd=ac=1，pac=acp=30，abd=abc=30，pd=adtan30=ad=，bd=ad=，pb=bdpd=；故答案为：【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键9. (2017山东东营)一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度如图，在a处测得塔顶的仰角为，在b处测得塔顶的仰角为，又测量出a、b两点的距离为s米，则塔高为米【分析】在rtbcd中有bd=，在rtacd中，根据tana=可得tan=，解之求出cd即可得【解答】解：在rtbcd中，tancbd=，bd=，在rtacd中，tana=，tan=，解得：cd=，故答案为：【点评】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是根据两直角三角形的公共边利用三角函数建立方程求解三、解答题：10. (2017年湖南郴州)已知abc中，abc=acb，点d，e分别为边ab、ac的中点，求证：be=cd【分析】由abc=acb可得ab=ac，又点d、e分别是ab、ac的中点得到ad=ae，通过abeacd，即可得到结果【解答】证明：abc=acb，ab=ac，点d、e分别是ab、ac的中点ad=ae，在abe与acd中，abeacd，be=cd【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记定理是解题的关键11. (2017哈尔滨)已知：acb和dce都是等腰直角三角形，acb=dce=90，连接ae，bd交于点o，ae与dc交于点m，bd与ac交于点n（1）如图1，求证：ae=bd；（2）如图2，若ac=dc，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形【考点】kd：全等三角形的判定与性质；kw：等腰直角三角形【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证acebcd，从而可知ae=bd；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；【解答】解：（1）acb和dce都是等腰直角三角形，acb=dce=90，ac=bc，dc=ec，acb+acd=dce+acd，bcd=ace，在ace与bcd中，acebcd（sas），ae=bd，（2）ac=dc，ac=cd=ec=cb，acbdce（sas）；由（1）可知：aec=bdc，eac=dbcdom=90，aec=cae=cbd，emcbcn（asa），cm=cn，dm=an，aondom（aas），de=ab，ao=do，aobdoe（hl）12. (2017杭州)如图，在锐角三角形abc中，点d，e分别在边ac，ab上，agbc于点g，afde于点f，eaf=gac（1）求证：adeabc；（2）若ad=3，ab=5，求的值【分析】（1）由于agbc，afde，所以afe=agc=90，从而可证明aed=acb，进而可证明adeabc；（2）adeabc，又易证eafcag，所以，从而可知【解答】解：（1）agbc，afde，afe=agc=90，eaf=gac，aed=acb，ead=bac，adeabc，（2）由（1）可知：adeabc，=由（1）可知：afe=agc=90，eaf=gac，eafcag，=【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型13. (2017山东东营)如图，在等腰三角形abc中，bac=120，ab=ac=2，点d是bc边上的一个动点（不与b、c重合），在ac上取一点e，使ade=30（1）求证：abddce；（2）设bd=x，ae=y，求y关于x的