中考数学 专题突破导学练 第24讲 梯形试题.doc

第24讲 梯 形【知识梳理】1.梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形.2.特殊梯形的分类：直角梯形和等腰梯形. (1)直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形(2)等腰梯形的定义：两腰相等的梯形.3. 特殊梯形的性质与判定：(1)等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。 (2)等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 4.梯形中常规辅助线的添加方式:本章内容是对平面上四边形的分类及性质上的研究，要求学生在学习过程中多动手多动脑，把自己的发现和知识带入做题中。因此教师在教学时可以多鼓励学生自己总结四边形的特点，这样有利于学生对知识的把握。【考点解析】考点一：梯形的有关计算【例1】如图所示，四边形abcd是梯形，adbc，ca是bcd的平分线，且abac，ab=4，ad=6，则tanb=（）a2 b2 c d思路分析：先判断da=dc，过点d作deab，交ac于点f，交bc于点e，由等腰三角形的性质，可得点f是ac中点，继而可得ef是cab的中位线，继而得出ef、df的长度，在rtadf中求出af，然后得出ac，tanb的值即可计算解：ca是bcd的平分线，dca=acb，又adbc，acb=cad，dac=dca，da=dc，如图，过点d作deab，交ac于点f，交bc于点e，abac，deac（等腰三角形三线合一的性质），点f是ac中点，af=cf，ef是cab的中位线，ef=ab=2，=1，ef=df=2，在rtadf中，af=，则ac=2af=8，tanb=故选b点评：本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点f是ac中点，难度较大考点二、等腰梯形的性质【例2】如图，梯形abcd中，adbc，abde，dec=c，求证：梯形abcd是等腰梯形思路分析：由abde，dec=c，易证得b=c，又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，即可证得结论证明：abde，dec=b，dec=c，b=c，梯形abcd是等腰梯形点评：此题考查了等腰梯形的判定此题比较简单，注意掌握同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形定理的应用，注意数形结合思想的应用考点三、梯形的判定【例4】如图，梯形abcd中，adbc，点m是ad的中点，不添加辅助线，梯形满足ab=dc（或abc=dcb、a=d）等条件时，有mb=mc（只填一个即可）考点：梯形；全等三角形的判定.专题：开放型分析：根据题意得出abmdcm，进而得出mb=mc解答：解：当ab=dc时，梯形abcd中，adbc，则a=d，点m是ad的中点，am=md，在abm和dcm中，abmdcm（sas），mb=mc，同理可得出：abc=dcb、a=d时都可以得出mb=mc，故答案为：ab=dc（或abc=dcb、a=d）等点评：此题主要考查了梯形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出abmdcm是解题关键【中考热点】如图1，在梯形abcd中，abcd，b=90，ab=2，cd=1，bc=m，p为线段bc上的一动点，且和b、c不重合，连接pa，过p作pepa交cd所在直线于e设bp=x，ce=y（1）求y与x的函数关系式；（2）若点p在线段bc上运动时，点e总在线段cd上，求m的取值范围；（3）如图2，若m=4，将pec沿pe翻折至peg位置，bag=90，求bp长思路分析：（1）证明abppce，利用比例线段关系求出y与x的函数关系式；（2）根据（1）中求出的y与x的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围；（3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出bp的长度解答中提供了三种解法，可认真体会解：（1）apb+cpe=90，cep+cpe=90，apb=cep，又b=c=90，abppce，即，y=-x2+x（2）y=-x2+x=-（x-）2+，当x=时，y取得最大值，最大值为点p在线段bc上运动时，点e总在线段cd上，1，解得m2m的取值范围为：0m2（3）由折叠可知，pg=pc，eg=ec，gpe=cpe，又gpe+apg=90，cpe+apb=90，apg=apbbag=90，agbc，gap=apb，gap=apg，ag=pg=pc解法一：如解答图所示，分别延长ce、ag，交于点h，则易知abch为矩形，he=ch-ce=2-y，gh=ah-ag=4-（4-x）=x，在rtghe中，由勾股定理得：gh2+he2=gh2，即：x2+（2-y）2=y2，化简得：x2-4y+4=0由（1）可知，y=-x2+x，这里m=4，y=-x2+2x，代入式整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2，bp的长为或2解法二：如解答图所示，连接gcagpc，ag=pc，四边形apcg为平行四边形，ap=cg易证abpgnc，cn=bp=x过点g作gnpc于点n，则gh=2，pn=pc-cn=4-2x在rtgpn中，由勾股定理得：pn2+gn2=pg2，即：（4-2x）2+22=（4-x）2，整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2，bp的长为或2解法三：过点a作akpg于点k，apb=apg，ak=ab易证apbapk，pk=bp=x，gk=pg-pk=4-2x在rtagk中，由勾股定理得：gk2+ak2=ag2，即：（4-2x）2+22=（4-x）2，整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2，bp的长为或2点评：本题是代数几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折叠、函数关系式、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度注意第（2）问中求m取值范围时二次函数性质的应用，以及第（3）问中构造直角三角形的方法【达标检测】1. 如图，等腰梯形abcd的对角线长为13，点e、f、g、h分别是边ab、bc、cd、da的中点，则四边形efgh的周长是（）a13b26c36d39考点：等腰梯形的性质；中点四边形分析：首先连接ac，bd，由点e、f、g、h分别是边ab、bc、cd、da的中点，可得eh，fg，ef，gh是三角形的中位线，然后由中位线的性质求得答案解答：解：连接ac，bd，等腰梯形abcd的对角线长为13，ac=bd=13，点e、f、g、h分别是边ab、bc、cd、da的中点，eh=gf=bd=6.5，ef=gh=ac=6.5，四边形efgh的周长是：eh+ef+fg+gf=26故选b点评：此题考查了等腰梯形的性质以及三角形中位线的性质此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用2. 如图，在等腰梯形abcd中，abcd，d=45，ab=1，cd=3，bead交cd于e，则bce的周长为第1题图考点：等腰梯形的性质分析：首先根据等腰梯形的性质可得d=c=45，进而得到ebc=90，然后证明四边形abed是平行四边形，可得ab=de=1，再得ec=2，然后再根据勾股定理可得be长，进而得到bce的周长解答：解：梯形abcd是等腰梯形，d=c=45，ebad，bec=45，ebc=90，abcd，bead，四边形abed是平行四边形，ab=de=1，cd=3，ec=31=2，eb2+cb2=ec2，eb=bc=，bce的周长为：2+2，故答案为：2+2点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，以及平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是掌握等腰梯形同一底上的两个角相等3. 如图，在梯形abcd中，adbc，be平分abc交cd于e，且becd，ce：ed=2：1如果bec的面积为2，那么四边形abed的面积是考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；梯形解析：首先延长ba，cd交于点f，易证得befbec，则可得df：fc=1：4，又由adfbcf，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得adf的面积，继而求得答案解答：解：延长ba，cd交于点f，be平分abc，ebf=ebc，becd，bef=bec=90，在bef和bec中，befbec（asa），ec=ef，sbef=sbec=2，sbcf=sbef+sbec=4，ce：ed=2：1df：fc=1：4，adbc，adfbcf，=（）2=，sadf=4=，s四边形abcd=sbefsadf=2=故答案为：点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用4. 如图，在梯形abcd中，adbc，adc=90，b=30，ceab，垂足为点e若ad=1，ab=2，求ce的长考点：直角梯形；矩形的判定与性质；解直角三角形.解析：利用锐角三角函数关系得出bh的长，进而得出bc的长，即可得出ce的长解答：解：过点a作ahbc于h，则ad=hc=1，在abh中，b=30，ab=2，cos30=，即bh=abcos30=2=3，bc=bh+bc=4，ceab，ce=bc=2点评：此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中30所对的边等于斜边的一半等知识，得出bh的长是解题关键5. 已知等腰梯形中，ab=dc=2，adbc，ad=3，腰与底相交所成的锐角为60，动点p在线段bc上运动（点p不与b、c点重合），并且apq=60，pq交射线cd于点q，若cq=y，bp=x，（1）求下底bc的长（2）求y与x的函数解析式，并指出当点p运动到何位置时，线段cq最长，最大值为多少？（3）在（2）的条件下，当cq最长时，pq与ad交于点e，求qe的长11解：（1）如图1，过点d作deab，交bc于e，adbc，四边形abed是平行四边形，be=ad=3，de=ab=dc=2，deab，dec=b=60，dec为等边三角形，ec=dc=2，bc=be+ec=3+2=5；（2）如图2，在cpq与bap中，cpqbap，cq：bp=cp：ba，即y：x=（5-x）：2，y=-x2+x，当x=，即当点p运动到bc中点时，线段cq最长，此时最大值为；（3）如图3，在（2）的条件下，当cq最长时，bp=cp=，cq=，qd=cq-cd=-2=decp，qdeqcp，qe：qp=de：cp=qd：qc，即qe：qp=de：=：=9：25，可设qe=9k，qp=25k，且de=，pe=qp-qe=16k，ae=ad-de=3-=在deq与pea中，deqpea，de：pe=eq：ea，：16k=9k：，解得k=，qe=9k=6. 如图，在等腰梯形abcd中，ab=dc=5cm，ad=4cm，bc=10cm，点e从点c出发，以1cm/s的速度沿cb向点b移动，点f从点b出发以2cm/s的速度沿ba方向向点a移动，当点f到达点a时，点e停止运动；设运动的时间为t（s）（0t2.5）问：（1）当t为何值时，ef平分等腰梯形abcd的周长？（2）若bfe的面积为s（cm2），求s与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使五边形afecd的面积与bfe的面积之比是3：2？若存在求出t的值；若不存在，说明理由（4）在点e、f运动的过程中，若线段ef=cm，此时ef能否垂直平分ab？4解：（1）ef平分等腰梯形abcd的周长，be+bf=（ad+bc+cd+ab）=12，10-t+2t=12，t=2；答：当t为2s时，ef平分等腰梯形abcd的周长；（2）如图，过a作anbc于n，过f作fgbc于g，则bn=（bc-ad）=（10-4）=3（cm），anbc，fgbc，fgan，abnfgb，fg=t，sbef