高考数学一轮总复习集合函数导数专题19含参数导数题型规律总结（3）文（含解析）.docx

专题19含参数导数题型规律总结（3）一、本专题要特别小心：1.图形考虑不周陷阱；2.思维定式陷阱（与等式有关的构造函数）；3. 已知条件中含有导函数值而无从下手；4.恒成立中的最值陷阱5. 含有导函数的式子中的和差构造陷阱6.与三角函数有关的构造函数7.忽视分母造成解集不完备8.与指数函数对数函数有关的构造二【知识点】1.函数的极值(1)若可导函数f(x)在xx0处导数值为0，且在xx0处的左边f(x0)0，在xx0处的右边f(x0)0，则f(x)在xx0处有极大值.(2)若可导函数f(x)在xx0处导数值为0，且在xx0处的左边f(x0)0，在xx0处的右边f(x0)0，则f(x)在xx0处有极小值.(3)可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点不一定是极值点，如yx3在x0处导数值为零，但x0不是极值点.2.函数的最值(1)连续函数f(x)在闭区间a，b上必有最大值与最小值.(2)最值的求法：先求f(x)在(a，b)上的极值，再将各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.3.极值与最值的区别和联系(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是函数在整个区间上的函数值的比较.(2)函数的极值不一定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值.(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值(单峰函数)，则极大值即是a，b上的最大值，极小值即是a，b上的最小值.三【题型方法总结】（一）导数与不等式证明例1.已知函数的图象在处的切线过点（）讨论函数的单调性；（）若函数有两个极值点，证明：【答案】（）见解析（）见解析【解析】由题意的定义域是，故，故切线方程是：，又切线过，故，解得：，故；，当时，在递增，当时，令，解得：或舍，在递增，在递减，综上，时，在递增，时，在递增，在递减；证明：，故，有两个极值点，即有2个相异实根，即，令，在递减，练习1已知函数（1）当时，判断函数的单调性；（2）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明【答案】（1）在上单调递增；（2）详见解析.【解析】（1）时，故，在上单调递增（2）由题意可知有两解，设直线与相切，切点坐标为，则，解得，即实数的取值范围是不妨设，则，两式相加得：，两式相减得：，故，要证，只需证，即证，令，故只需证在恒成立即可令，则，在上单调递增，即在恒成立练习2已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设，求证：（参考数据：）【答案】(1) 单调递减区间为；函数单调递增区间为；(2)见证明【解析】（1）解：，时，函数单调递减；时，函数单调递增所以单调递减区间为；函数单调递增区间为（2）证明：.由（1）得当时，函数单调递增，函数在上单调递增，故在单调递增，存在，使得.当时，当时，在单调递减，在单调递增，当时，函数取得极小值即最小值因为函数与在上单调递减，所以在上单调递减，且，.（二）参数讨论例2. 已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】，即，（1）当时，当时，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以。当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C。练习1. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若方程有两个不相等的实数根，求证：【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1） .当时，函数在上单调递增，所以函数的单调增区间为.当时，由得；由得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）因为是方程的两个不等实根，所以.不妨设，则，两式相减得,即.又，当时，；当时，.故只要证明即可，即证，即证,即证.设，令，则,则在为增函数，又,所以时，总成立，得证.（三）导数与数列例3. 已知函数.（）讨论的单调性；（）证明：（，且）.【答案】（）在上单调递增，在上单调递减.（）见证明【解析】（）函数的定义域为，.在上，在上，.在上单调递增，在上单调递减.（）由（）知，即，当且仅当时取等号.从而，.练习1. 设函数，对于，都有成立.（）求实数的取值范围；（）证明：（其中是自然对数的底数）.【答案】（）（）见证明【解析】（），当时，由，得，由，得，在上单调递增，在上单调递减. ，都成立，.又，所以由，得.；的取值范围是.（）当时，即.当时，.令，则.且时，.，.；即恒成立.练习2.已知函数，.（1）若，在上恒成立，求的取值范围；（2）设数列，为数列的前项和，求证：；（3）当时，设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）详见解析；（3）不存在.【解析】（1）当时，即，设，则.若，显然不满足题意；若，则时，恒成立，所以在上为减函数，有在上恒成立；若，则时，时，所以在上单调递增，时，不满足题意综上，时在上恒成立（2）由（1）得在上恒成立，令有，则，即.（3），设点的坐标是，且，则点的中点坐标为，在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为，假设在点处的切线与在点处的切线平行，则，即.所以 ，所以.设，则，.令，则.因为，所以，所以在上单调递增故，则.这与矛盾，假设不成立故不存在点，使在点处的切线与在点处的切线平行（四）三角函数的导数例4. 已知函数，（I）求函数的单调区间；（II）若在恒成立，求的取值范围；（III）当，时，证明：【答案】（I）见解析（II）（III）见解析【分析】（I）求导后，当时，恒成立，可知单调递增；当时，求出的解，从而可判断出的符号，从而得到的单调区间；（II）当时，可知；当时，利用导数求解出使，的最大值，从而；当时，可得，综合上述结果，可求得；（III）由（II）可知只需证得在上恒成立即可；构造函数，利用导数可证得结果，从而原不等式成立.【解析】（I）由题意知：（1）当时，恒成立 在定义域上单调递增（2）当时，令，解得：则，变化情况如下表：极小值的单调减区间为：，单调增区间为： （II）（1）当时，原不等式化为：恒成立，可知（2）当时，则，令则 令，则当时，则在上单调递减 即 在上单调递减 当时， 综上所述：（III）（1）当时，则由（II）可得时， 则只需证明：成立令当时，在上单调递增 （五）极值点偏移例5. 已知函数.（1）试讨论的单调区间；（2）若时，函数的图像与轴交于，两点，且，求证：.【答案】（1）见解析；（2）见证明【解析】（1）当时， 在上是增函数. 当时，由得. 当时，；当时， 的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）由（1）可知：当时，1是的极值点，构造函数， 在上单调递增，所以, 又，又 又在是增函数， 练习1已知函数，其中，函数，其中为自然对数的底数.（I）判断函数的单调性；（II）设， 是函数的两个零点，求证：；（III）当，时，试比较与的大小并证明你的结论.【答案】（I）在上递减，在上递增.（II）见解析（III）答案见解析.【解析】（I），当时，在上递减；当时，在上递增.综上可知，在上递减，在上递增. （II）不妨设，由题意及（I）可知，且，令，则 ，即， ， ， ，由（I）知在上递增，.（III）当，时， 在上递减，在上递增. ，令，得，所以函数在区间单调递增，在区间单调递减. .综上所述，当且仅当时等号成立.练习2.已知函数有两个极值点，.（1）求的取值范围；（2）求证：.