高中数学 专题10 探索利用空间向量求空间夹角方法特色训练 新人教A版选修21.doc

专题10 探索利用空间向量求空间夹角方法一、选择题1【北京海淀北方交大附2016-2017学年高二上学期期中】过正方形的顶点，作平面，若，则平面和平面所成的锐二面角的大小是（ ）a. b. c. d. 【答案】b ，设平面的一个法向量为， ，平面的一个法向量为，所求锐二面角为故选二、解答题2【河南省漯河市高级中学2018届高三上学期三模】如图，四边形和四边形均是直角梯形， 二面角是直二面角， .（1）证明：在平面上，一定存在过点的直线与直线平行；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）利用线面、面面平行的判定和性质定理即可证明；（2）可证，则以为坐标原点， 所在的直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系利用空间向量可求二面角的余弦值（2）因为平面平面,平面平面,又，所以，所以平面，因为平面，所以，因为,所以，以为坐标原点， 所在的直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，由于二面角为锐角，因此二面角的余弦值为.【点睛】熟练掌握线面、面面平行的判定和性质定理、以及利用空间向量可求二面角是解题的关键3【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】如图，在矩形中，是平面同一侧面点，.（）证明：平面平面；（）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（）由条件可得，从而可证得平面，根据面面垂直的判定定理可得结论；（）建立空间直角坐标系，利用向量的运算可求得二面角的余弦值为，进一步可得正弦值为。（），又，平面.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，. ， 4如图，在三棱柱中，平面平面，四边形为菱形，点是棱上不同于， 的点，平面与棱交于点， ， ， （）求证： 平面；（）求证： 平面；（）若二面角为，求的长【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) .【解析】试题分析：（）先利用面面平行的性质定理得到线线平行，再利用线面平行的判定定理进行求解；（）先利用面面垂直的性质定理和菱形的对角线相互垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；（）利用空间向量进行求解.试题解析：（）因为在三棱柱中，平面平面，平面平面，平面平面，所以 . 又因为平面， 平面，所以平面.（）取线段中点，因为菱形中， ，所以 .又因为 ，所以 .又因为平面.如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则 所以， ， ， . 设，（ ） ， 设平面的法向量为，则， 即，所以，即的长为. 【点睛】在处理空间角（异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角），往往利用空间向量进行处理，即先合理建立空间直角坐标系，求出相应直线的方向向量和有关平面的法向量，再利用有关公式进行求解.5【湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二上学期期中】如图，在四棱锥中，平面pad平面abcd，papd，pa=pd，abad，ab=1，ad=2， .（1）求证：pd平面pab； （2）求直线pb与平面pcd所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由条件得平面pad，因此，再结合 ，可得pd平面pab。（2）取ad的中点o，连po，co，可证得op,oa,oc两两垂直，建立空间直角坐标系，用向量的运算求解。（2）取ad的中点o，连po，co。，coad，pa=pd，poad，op,oa,oc两两垂直，以o为原点建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz，则。直线pb与平面pcd所成角的正弦值为。点睛：利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面的夹角即设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平面所成角满足sin |cosm，n|。6【河南省郑州市第一中学2018届高三上学期期中】如图，在六面体中，平面平面， 平面， ， .且， .（1）求证： 平面；（2）求锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，通过平行且等于证明是平行四边形，即可证明平行且等于，再证明出是平行四边形，然后根据线面平行判定定理即可求证；（2）由两两垂直，故可建立空间直角坐标系，求出二面角的两个平面法向量，通过计算法向量夹角的余弦值，再根据二面角为锐角即可求出二面角的余弦值.（2）由题意可得， 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系.设平面的法向量为，则，令，则.又平面的法向量. .由于所求的二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.7【广东省阳春市第一中学2018届高三上学期第三次月考】在四棱锥中， 平面， 是的中点， ， ， .（1）求证： ；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，则，先根据线面垂直的性质证明；进而可得，再由线面判定定理即可证明平面，从而可得；（2）建立空间坐标系，分别求出平面与平面的的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，即可求二面角的余弦值.因为平面，所以.（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则， ， ， ， ， ， .所以，由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定与性质、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.8【北京市平谷区20162017高三第二学期质量监控】如图，在四棱锥中，底面是菱形， ， 平面， ， ， ， 是中点（i）求证：直线平面（ii）求证：直线平面 （iii）在上是否存在一点，使得二面角的大小为，若存在，确定的位置，若不存在，说明理由【答案】（i）见解析；（）见解析（iii）与重合点的位置为所求.【解析】试题分析：（i）结合条件中给出的线段间的长度关系，在上取点，使，证明四边形为平行四边形，可得,故可得结论；（ii）结合图形分析可得只需证， ，便可得到平面；（iii）建立空间直角坐标系，用向量法通过计算进行判断可得结果。又平面, 平面,所以平面（）因为是中点，底面是菱形， ，所以，因为，所以，所以又平面，所以又 所以直线平面（iii）由（）可知， ， ，相互垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系d-xyz由题意得，点睛：空间向量为立体几何中的探索性问题的解法带来了方便，解题时可先假设所探索的点（或其他元素）存在，然后通过代数运算进行验证，看是否得到矛盾，若得到矛盾的结论，则说明假设不成立，即满足条件的点（或其他元素）不存在，否则存在。9【广西桂林市第十八中学2018届高三上学期第三次月考】如图，在三棱锥中， ， 分别为线段上的点，且,.（1）求证： 平面；（2）若与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析; （1）连接，据勾股定理可证，即进而证得平面, 又由勾股定理证得，于是平面（2）由（1）知两两互相垂直，建立直角坐标系，由空间向量的夹角公式可求平面与平面所成锐二面角的余弦值. （2）由（1）知两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系，且与平面所成的角为，有，则又由（1）知， 平面为平面的一个法向量设平面的法向量为，则，令，则为平面的一个法向量故平面与平面的锐二面角的大小为.10【云南省昆明市高新技术开发区2018届高考适应性月考】如图所示，四棱锥中， 平面， ， ， ， 为线段上一点， ， 为线段上一点， .（1）证明： 平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，进而说明线面平行；本题借助平行四边形可以得到线线平行，进而证明线面平行；第二步求线面角，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，借助空间向量，求法向量，利用公式求角.（）解：如图，取的中点，连接由得，从而，且以为坐标原点， 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由题意知， ， ， ， ， ，所以直线与平面所成角的正弦值为【点睛】证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，本题借助平行四边形和三角形中位线定理可以得到线线平行，进而证明线面平行；求线面角有两种方法， 一是传统方法，“一作，二证，三求”，如本题的解析，二是建立空间直角坐标系，借助空间向量，求法向量，利用公式求角.11【江西省赣州市十四县2017-2018学年高二期中联考】 .【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：传统方法求二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出二面角的平面角，本题利用底面为正方形，三角形aec为等腰三角形的特点做出二面角，进而求出，求线面角既可作出后再求，还可直接求出点b到平面的距离，再利用直角三角形的边角关系求出正弦值. (2)在交,取，- 因此 - .【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.12【北京西城44中2016-2017学年高二上学期期中】在四棱锥中， ， ， ， ， ， ，且平面（1）设平面平面，求证： （2）求证： （3）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和平行线的传递性即可找出两个平面的交线并且证明结论；（2）利用已知条件结合勾股定理先证明，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；（3）通过结论空间直角坐标系，设，利用法向量与斜线所成的角即可找出点的位置. 试题解析：（1）如图所示，过点作，并且取，连接， 四边形为平行四边形，即为平面平面， （3）建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ，设，则， ，由（2）可知为平面的法向量，直线与平面所成角的正弦值为，化为，解得，.13【北京西城44中2016-2017学年高二上学期期中】如图，在直三棱柱中， ， ，点是的中点求证： 求点到平面的距离求二面角的余弦值的大小【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由等腰三角形得，由平面得，故而可得平面，最后得结论；（2）点到平面的距离为通过转化，求点到平面的距离；（3）以为坐标原点， ， ， 为， ， 轴，建立空间直角坐标系，求出面和面的法向量，计算法向量的夹角，根据图可判断二面角为锐角，故可得角的大小.（3）如图，点睛：本题考查了线线垂直的判定，用等体积法求点到面的距离，用空间向量求平面间的夹角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题；在证明垂直的过程中主要通过线线垂直和面面垂直之间的互相转化，两个平面的法向量之间所成的角与二面角之间相等或互补，主要通过图形来确定.14【北京朝阳日坛中学2016-2017学年高二上学期期中】如图所示，在多面体中，四边形， ， 均为正方形， 为的中点，过， ， 的平面交于（i）证明： （ii）求二面角余弦值【答案】（i）见解析；（ii）.【解析】试题分析：（i）由线面平行推出线线平行。（ii）建立空间直角坐标系，求出二面角两个平面的法向量，利用法向量夹角的余弦值求出二面角的余弦值。（ii）以为坐标原点，以， ， 所在直线分别为， ， 轴建立空间直角坐标系，设边长为设为面法向量， ，面法向量为，15【河北省衡水市武邑中学2018届高三上学期第三次调研】在五面体中， , , ，平面平面.(1)证明:直线平面；(2)已知为棱上的点，试确定点位置，使二面角的大小为.【答案】（1）证明见解析；（2）点在靠近点的的三等分点处.试题解析：（1）四边形为菱形， ， 平面平面，平面平面平面，又直线平面.(2) ， 为正三角形，取的中点，连接，则， 【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 16【山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考】如图所示，在中，斜边，将沿直线旋转得到，设二面角的大小为.（1）取的中点，过点的平面与分别交于点，当平面平面时，求的长（2）当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据两个面平行的性质，可以得出交线平行，利用中位线的性质可得；（2）过点作交于点，可证明平面，建立以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角可求出二面角的余弦值. （2）过点作交于点,连接,则.因为，所以平面平面.因为平面平面， 平面，所以平面.以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.在中， ，所以.所以.所以.点睛：本题考查面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题。对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求垂直或平行关系，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分析.17【北京西城44中2016-2017学年高二上学期期中】在四棱锥中， ， ， ， ， ， ，且平面（1）设平面平面，求证： （2）求证： （3）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质和平行线的传递性即可找出两个平面的交线并且证明结论；（2）利用已知条件结合勾股定理先证明，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；（3）通过结论空间直角坐标系，设，利用法向量与斜线所成的角即可找出点的位置. 试题解析：（1）如图所示，过点作，并且取，连接， 四边形为平行四边形，即为平面平面， （3）建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ， ，设，则， ，由（2）可知为平面的法向量，直线与平面所成角的正弦值为，化为，解得，.18【北京西城44中2016-2017学年高二上学期期中】如图，在直三棱柱中， ， ，点是的中点求证： 求点到平面的距离求二面角的余弦值的大小【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由等腰三角形得，由平面得，故而可得平面，最后得结论；（2）点到平面的距离为通过转化，求点到平面的距离；（3）以为坐标原点， ， ， 为， ， 轴，建立空间直角坐标系，求出面和面的法向量，计算法向量的夹角，根据图可判断二面角为锐角，故可得角的大小.试题解析：（1）在等腰中， 为斜边中点，又在直三棱柱中， 平面， 平面， ，点， 、平面，平面， 平面， （3）如图，点睛：本题考查了线线垂直的判定，用等体积法求点到面的距离，用空间向量求平面间的夹角，考查空间想象能力，逻辑思维