高考数学 专题10.2 概率与离散型随机变量及其分布列同步单元双基双测（A卷）理.doc

专题10.2 概率与离散型随机变量及其分布列（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 设为随机变量，若，当时，的值为（ ）a3 b5 c7 d9【答案】d【解析】试题分析：随机变量x服从正态分布，考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2. 【2018江西宜春联考】五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为a. b. c. d. 【答案】c故答案选3. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )（a）0.648 （b）0.432（c）0.36（d）0.312【答案】a【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选a.【考点定位】本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式4. 某车间共有名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，从该车间名工人中，任取人，则至少有名优秀工人的概率为（ ）a b c d【答案】c【解析】考点：茎叶图；古典概型5. 如图，中的阴影部分是由曲线与直线所围成，向内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）a b c d【答案】d【解析】试题分析：所求概率，故选d考点：1、古典概型；2、定积分6. 【2018广东香山中学一模】某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为( )a. b. c. d. 【答案】d本题选择d选项.7. 如果袋中有六个红球，四个白球，从中任取一球，确认颜色后放回，重复摸取四次，设x为取得红球的次数，那么x的均值为（ ）a b c d【答案】b【解析】试题分析：采用有放回的取球，每次取得红球的概率都相等，均为，取得红球次数x可能取的值为0，1，2，3，4，由以上分析，知随机变量服从二项分布，则x的均值为，故选：b考点：离散型随机变量的期望与方差8. 【2018东北名校联考】据统计2016年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为（ ）附；若a. b. c. d. 【答案】d【解析】游客人数服从正态分布，则由则 ，可得，所以故本题答案选9.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当时称为“凹数”（如213，312等），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】试题分析：由于，且互不相同，故可得个三位数.若，则“凹数”有：.共6个；若，则“凹数”有：.共2个.所以这个三位数为“凹数”的概率为有.考点：古典概型.10. 【2018黑龙江海林朝鲜中学一模】已知是所在平面内一点，且，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】将一粒黄豆随机撒在abc内，黄豆落在pbc内的概率为p=故选c11. 已知随机变量的分布列如右图所示，则（ ）a b c d【答案】b【解析】试题分析：首先，所以，故选择b.考点：随机变量的概率分布.12. 已知，则函数的图象恒在轴上方的概率为（ ）a b c d【答案】d【解析】考点：1、几何概型；2、定积分的几何意义；3、函数的图象二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为,那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是 . （请用分数表示结果）【答案】【解析】试题分析：由对立事件可知所求概率为考点：独立重复试验14. 现有红心1，2，3和黑桃4，5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为 【答案】【解析】试题分析：从5张中取2张共有基本事件10种（用列举法），其中2张均为红心有3种，则它的概率为考点：古典概率模型15. 已知随机变量服从正态分布，若，则_【答案】【解析】试题分析：根据正态分布密度曲线图的对称性知，其图像关于直线对称，所以1-2a考点：考查正态分布图像的对称性及利用该性质求相关概率问题16. 四面体的顶点和各棱的中点共计10个点，在其中取4个点，则这四个点不共面的概率为_.【答案】【解析】试题分析：从个点中取个点的取法为种，只要求出共面的就可以了共面的分三种情况：四个点都在四面体的某一个面上，每个面个点，有种，四个面共有情况；其中三点共线，另一个点与此三点不在四面体的某一个面上，而在与此三点所在直线异面的那条直线的中点，显然只有种情况（因为四面体只有条边）；其中两点所在直线与另两点所在直线平行，且这四个点也不在四面体的某一个面上，画图可得出只有种情况；因此，取个不共面的点的不同取法共有：，所以这四个点不共面的概率为故答案应填：考点：古典概型及其概率计算公式 【思路点睛】先利用组合求出个点中取个点的所有的基本事件个数；利用分类讨论的方法求出取出的四点在一个平面上的所有的基本事件个数；利用对立事件求出不共面的所有的基本的事件个数；利用古典概型概率公式求出这四个点不共面的概率本题考查利用排列、组合求完成事件的方法数、考查分类讨论的数学思想方法、考查对立事件的概率的求法 三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）.（）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（）从盒子中随机抽取个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望. （以直方图中的频率作为概率）.【答案】（），众数20，平均数24.6；（）分布列见解析，期望为【解析】试题解析：（）由题意，得， 解得； 又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克） 而个样本小球重量的平均值为：（克）故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克； （）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为 则.的可能取值为、， ，.的分布列为：.（或者）考点：频率分布直方图，用样本估计总体，随机变量分布列，数学期望18. 【2018辽宁凌源两校联考】虽然吸烟有害健康，但是由于历史以及社会的原因，吸烟也是部分公民交际的重要媒介世界卫生组织1987年11月建议把每年的4月7日定为世界无烟日，且从1989年开始，世界无烟日改为每年的5月31日某报社记者专门对吸烟的市民做了戒烟方面的调查，经抽样只有的烟民表示愿意戒烟，将频率视为概率（1）从该市吸烟的市民中随机抽取3位，求至少有一位烟民愿意戒烟的概率；（2）从该市吸烟的市民中随机抽取4位， 表示愿意戒烟的人数，求的分布列及数学期望【答案】（1）（2）分布列见解析， 试题解析：（1）依题意，得任意抽取一位吸烟的市民愿意戒烟的概率为，从而任意抽取一位吸烟的市民不愿意戒烟的概率为，设“至少有一位烟民愿意戒烟”为事件，则，故至少有一位烟民愿意戒烟的概率（2）的所有可能取值为0,1,2,3,4， ， ， ，所以的分布列为19. 【2018福建四校联考】某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：售出水量x（单位：箱）76656收益y（单位：元）165142148125150() 若x与y成线性相关，则某天售出8箱水时，预计收益为多少元？() 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201500 名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额x 的分布列及数学期望。附： ， 。【答案】（）186元；（）（1）；（2）分布列见解析，期望为600.【解析】试题分析：()由题意可求得回归方程为，据此预测售出8箱水时，预计收益为186元；() (1)由条件概率公式可得他获得一等奖学金的概率是；(2) 由题意可得x的取值可能为0，300，500，600，800，1000，据此求得分布列，然后计算可得数学期望为600. 试题解析：， ， 当时， 即某天售出8箱水的预计收益是186元。 () 设事件a为“学生甲获得奖学金”，事件b为“学生甲获得一等奖学金”，则即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为x的取值可能为0，300，500，600，800，1000，即的分布列为： （元）20. 为考察高中生的性别与是否喜欢体育课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下列联表：喜欢体育课不喜欢体育课合计男306090女2090110合计50150200（1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢体育课之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从不喜欢体育课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）从（2）随机抽取的5人中再随机抽取3人，该3人中女生的人数记为，求的数学期望【答案】（1）约有975%以上的把握认为“性别与喜欢体育课之间有关系”；（2）男生2人，女生3人；（3）的数学期望为【解析】试题解析：（1），约有975%以上的把握认为“性别与喜欢体育课之间有关系”（2）男生抽取人数有：（人） 女生抽取人数有：（人）（3）由（2）可知，男生抽取的人数为2人，女生抽取的人数为3人，所以的取值为1，2，3，所以的数学期望为 考点：独立性检验，分层抽样，随机变量的分布列及期望值计算21. 为了了解我校高2017级本部和大学城校区的学生是否愿意参加自主招生培训的情况，对全年级2000名高三学生进行了问卷调查，统计结果如下表：校区愿意参加不愿意参加重庆一中本部校区220980重庆一中大学城校区80720（1）若从愿意参加自主招生培训的同学中按分层抽样的方法抽取15人，则大学城校区应抽取几人；（2）现对愿意参加自主招生的同学组织摸底考试，考试题共有5道题，每题20分，对于这5道题，考生“如花姐”完全会答的有3题，不完全会的有2道，不完全会的每道题她得分的概率满足：，假设解答各题之间没有影响，对于一道不完全会的题，求“如花姐”得分的均值；试求“如花姐”在本次摸底考试中总得分的数学期望【答案】（1）；（2）；【解析】试题解析：（1）大学城校区应抽取人；（2）由题知：对一道不完全会的题，“如花姐”得分的分布列为，即；61218所以对于每一道不完全会的题，“如花姐”得分的期望为分；记为“如花姐”做两道不完全会的题的得分总和，则；所以“如花姐”最后得分的期望值为分 考点：（1）分层抽样；（2）离散型随机变量的分布列及期望22. 【2018湖南株洲两校联考】微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2（1）确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为x，求x的分布列和数学期望 使用微信时间（单位：小时） 频数频率 （0，0.5 3 0.05 （0.5，1 x p （1，1.5 9 0.15 （1.5，2 15 0.25 （2