高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第十一节 导数的应用学案 文.doc

1.了解函数单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)3会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)4会用导数解决实际问题知识点一 利用导数研究函数的单调性 函数yf(x)在区间(a，b)内可导，1若f(x)0，则f(x)在这个区间内是_；2若f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”()答案：(1)(2)2(选修11p91例1改编)如图所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象，则下列判断中正确的是()a函数f(x)在区间(3,0)上是减函数b函数f(x)在区间(3,2)上是减函数c函数f(x)在区间(0,2)上是减函数d函数f(x)在区间(3,2)上是单调函数解析：当x(3,0)时，f(x)0，解得x0，故其单调递增区间是(0，)答案：(0，)知识点二利用导数研究函数的极值 函数极值的概念函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0.类似地，函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，函数f(x)单调递增，当x(2,2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以a2.答案：d知识点三函数最值的求解步骤 一般地，求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值6(选修11p97例5改编)函数f(x)x312x在区间3,3上的最大值是_解析：由f(x)3x2120，得x2，验证可知x2是函数f(x)的极大值点，故函数f(x)在3,3上的最大值f(x)maxmaxf(2)，f(3)max16，916.答案：16第1课时导数与函数的单调性热点一判断或证明函数的单调性 【例1】已知函数f(x)(a1)lnxax21，讨论函数f(x)的单调性【解】f(x)的定义域为(0，)f(x)2ax，当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x，则当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增.【总结反思】导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f(x)；(2)确定f(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f(x)0时为增函数；f(x)0.当x(ln2，)时，g(x)0.所以f(x)maxg(x)maxg(ln2)2ln220.所以f(x)0时，由于f(x)在(，a)和(0，)上都恒为正，所以f(x)的递增区间是(，a)，(0，)；由于f(x)在(a，0)上恒为负，所以f(x)的递减区间是(a，0)；当a0，f(x)的递增区间是(，0)，(a，)；在(0，a)上，f(x)0)，f(x)x3，函数f(x)x23x4lnx在(t，t1)上不单调，f(x)x30在(t，t1)上有解，0在(t，t1)上有解，x23x40在(t，t1)上有解，由x23x40得x1或x4(舍去)，1(t，t1)，t(0,1)，故实数t的取值范围是(0,1)答案：(0,1)热点三 函数单调性的简单应用 考向1比较大小【例3】已知f(x)为r上的可导函数，且xr，均有f(x)f(x)，则以下判断正确的是()af(2 013)e2 013f(0)bf(2 013)f(x)，g(x)0，即函数g(x)在r上递减，g(2 013)g(0)，f(2 013)x2，则不等式(x2 014)2f(x2 014)4f(2)0的解集为()a(，2 012) b(2 012, 0)c(，2 016) d(2 016,0)【解析】由2f(x)xf(x)x2，x0，得2xf(x)x2f(x)x3，即x2f(x)x30，令f(x)x2f(x)，则当x0时，f(x)0，即f(2 014x)f(2)又f(x)在(，0)上是减函数，所以2 014x2，即x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()a(，1)(0,1)b(1,0)(1，)c(，1)(1,0)d(0,1)(1，)(2)(2017福建质检)已知f(x)是定义在r上的减函数，其导函数f(x)满足x1，则下列结论正确的是()a对于任意xr，f(x)0c当且仅当x(，1)时，f(x)0解析：(1)记函数g(x)，则g(x)，因为当x0时，xf(x)f(x)0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递减；又因为函数f(x)(xr)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(，0)上单调递增，且g(1)g(1)0.当0x0，则f(x)0；当x1时，g(x)0，综上所述，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)(2)因为函数f(x)是定义在r上的减函数，所以f(x)0.因为xf(x)所以f(x)(x1)f(x)0，构造函数g(x)(x1)f(x)，则g(x)f(x)(x1)f(x)0，所以函数g(x)在r上单调递增，又g(1)(11)f(1)0，所以当x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0，所以f(x)0.因为f(x)是定义在r上的减函数，所以f(1)0.综上，对于任意xr，f(x)0.故选b.答案：(1)a(2)b1在某个区间(a，b)上，若f(x)0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f(x)0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f(x)0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数2若函数yf(x)在区间(a，b)上单调递增，则f(x)0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数yf(x)在区间(a，b)上单调递减，则f(x)0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立3使f(x)0的离散的点不影响函数的单调性第2课时导数与函数的极值、最值热点一利用导数研究函数的极值 考向1根据函数的图象判断函数的极值【例1】(2017青海西宁月考)设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图象的一部分如图所示，则()af(x)的极大值为f()，极小值为f()bf(x)的极大值为f()，极小值为f()cf(x)的极大值为f(3)，极小值为f(3)df(x)的极大值为f(3)，极小值为f(3)【解析】由图象知，当x3时，f(x)0；当3x0，由此知极小值为f(3)；当0x0；当x3时，f(x)0)，因为f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点a(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aalna，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aalna，无极大值考向3已知函数的极值求参数【例3】(2017江西八校联考)已知函数f(x)x(lnxax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()a(，0) b.c(0,1) d(0，)【解析】f(x)x(lnxax)，f(x)lnx2ax1，故f(x)在(0，)上有两个不同的零点，令f(x)0，则2a，设g(x)，则g(x)，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，而g(x)maxg(1)1.只需02a10a0，故a2或a2，函数f(x)x2x1在区间上有极值点可化为x2ax10在区间上有解，当2a0，即164a10，故a，故2a.当a8时，f(4)f0，无解综上所述，2a.答案：(1)a(2)d热点二 利用导数研究函数的最值 【例4】(2017洛阳模拟)已知函数f(x)klnx，k，求函数f(x)在上的最大值和最小值【解】因为f(x)klnx，f(x).若k0，则f(x)在上恒有f(x)0，所以f(x)在上单调递减所以f(x)minf(e)，f(x)maxfe1.若k0，f(x).()若k0，则在上恒有0，由ke，则x0，所以0，所以f(x)在上单调递减所以f(x)minf(e)klnek1，f(x)maxfek1.综上，k时，f(x)mink1，f(x)maxek1.若把本例中函数改为“f(x)alnx，ar”，试求解此函数在区间(0，e上的最小值解：f(x)，x(0，)当a0时，在区间(0，e上f(x)，此时f(x)在区间(0，e上单调递减，则f(x)在区间(0，e上的最小值为f(e).当0，即a0时，在区间(0，e上f(x)0，此时f(x)在区间(0，e上单调递减，则f(x)在区间(0，e上的最小值为f(e)a，当0时，在区间上f(x)0.此时f(x)在区间上单调递增；则f(x)在区间(0，e上的最小值为faaln.当e，即0时，f(x)在区间(0，e上的最小值为aaln.【总结反思】求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.热点三 函数极值与最值的综合问题 【例5】已知函数f(x)(a0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值【解】(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点，且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.【总结反思】求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m、n1,1，则f(m)f(n)的最小值是()a13 b15c10 d15解析：对函数f(x)求导得f(x)3x22ax，由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0.即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在1,0)上单调递减，在0,1上单调递增，当m1,1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，当n1,1时，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.答案：a1函数的最值是整个定义域上的问题，而函数的极值只是定义域的局部问题2f(x0)0是f(x)在xx0处取得极值的必要非充分条件，因为求函数的极值，还必须判断x0两侧的f(x)的符号是否相反3求f(x)的最值应注意在闭区间上研究，还是在开区间上研究，若闭区间上最值问题只需比较端点值与极值即可，若开区间上最值问题，注意考查f(x)的有界性第3课时导数的综合应用热点一利用导数证明不等式 【例1】(2016新课标全国卷)已知函数f(x)(x1)lnxa(x1)()当a4时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；()若当x(1，)时，f(x)0，求a的取值范围【解】()f(x)的定义域为(0，)，当a4时，f(x)(x1)lnx4(x1)，f(x)lnx3，f(1)2，f(1)0.曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为2xy20.()当x(1，)时，f(x)0等价于lnx0.设g(x)lnx，则g(x)，g(1)0.()当a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，因此g(x)0；()当a2时，令g(x)0得x1a1，x2a1.由x21和x1x21得x11，故当x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)上单调递减，此时g(x)0，f(x)在0，上是增函数；当x(，1)时，f(x)0，所以当x0,1时，f(x)0，即sinxx.记h(x)sinxx，则当x(0,1)时，h(x)cosx11时，g(x)0；()确定a的所有可能取值，使得f(x)g(x)在区间(1，)内恒成立【解】()f(x)2ax(x0)当a0时，f(x)0时，由f(x)0有x .当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递增()证明：令s(x)ex1x，则s(x)ex11.当x1时，s(x)0，所以ex1x，从而g(x)0.()由()，当x1时，g(x)0.当a0，x1时，f(x)a(x21)lnxg(x)在区间(1，)内恒成立时，必有a0.当0a1.由()有f()0，所以此时f(x)g(x)在区间(1，)内不恒成立当a时，令h(x)f(x)g(x)(x1)，当x1时，h(x)2axe1xx0，因此，h(x)在区间(1，)内单调递增又因为h(1)0，所以当x1时，h(x)f(x)g(x)0，即f(x)g(x)恒成立综上，a，).【总结反思】不等式恒成立问题的求解方法(1)由不等式恒成立求解参数的取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值，即要使ag(x)恒成立，只需ag(x)max，要使ag(x)恒成立，只需ag(x)min.另外，当参数不宜进行分离时，还可直接求最值建立关于参数的不等式求解，例如，要使不等式f(x)0恒成立，可求得f(x)的最小值h(a)，令h(a)0即可求出a的取值范围(2)参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数范围的关键就是找到这样的不等式.已知f(x)xlnx，g(x)x2ax3.(1)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明：对一切x(0，)，lnx恒成立解：(1)由题意知2xlnxx2ax3对一切x(0，)恒成立，则a2lnxx，设h(x)2lnxx(x0)，则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4，对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.即实数a的取值范围是(，4(2)证明：问题等价于证明xlnx(x(0，)，又f(x)xlnx，f(x)lnx1，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)minf.设m(x)(x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，从而对一切x(0，)，lnx恒成立热点三 利用导数解决存在性问题 【例3】(2017福建四地六校联考)已知a为实数，函数f(x)alnxx24x.(1)是否存在实数a，使得f(x)在x1处取得极值？证明你的结论；(2)设g(x)(a2)x，若x0，使得f(x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围【解】(1)函数f(x)定义域为(0，)，f(x)2x4.假设存在实数a，使f(x)在x1处取极值，则f(1)0，a2，此时，f(x)，当x0时，f(x)0恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，x1不是f(x)的极值点故不存在实数a，使得f(x)在x1处取得极值(2)由f(x0)g(x0)，得(x0lnx0)ax2x0，记f(x)xlnx(x0)，f(x)(x0)当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调递增f(x)f(1)10.a，记g(x)，x.g(x).x，22lnx2(1lnx)0，x2lnx20，x时，g(x)0，g(x)单调递增g(x)ming(1)1，ag(x)min1.故实数a的取值范围为1，).【总结反思】不等式能成立问题的解决方法(1)f(x)g(x)对xi能成立i与f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xi)(2)对x1d1，x2d2使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min，f(x)定义域为d1，g(x)定义域为d2.(2017新乡调研)已知函数f(x)x(a1)lnx(ar)，g(x)x2exxex.(1)当x1，e时，求f(x)的最小值；(2)当a1时，若存在x1e，e2，使得对任意的x22，0，f(x1)g(x2)恒成立，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x).当a1时，x1，e，f(x)0，f(x)为增函数，f(x)minf(1)1a.当1ae时，x1，a时，f(x)0，f(x)为减函数；xa，e时，f(x)0，f(x)为增函数所以f(x)minf(a)a(a1)lna1.当ae时，x1，e时，f(x)0，f(x)在1，e上为减函数f(x)minf(e)e(a1).综上，当a1时，f(x)min1a；当1ae时，f(x)mina(a1)lna1；当ae时，f(x)mine(a1).(2)由题意知f(x)(xe，e2)的最小值小于g(x)(x2,0)的最小值由(1)知当a1时，f(x)在e，e2上单调递增，f(x)minf(e)e(a1).g(x)(1ex)x.当x2,0时，g(x)0，g(x)为减函数g(x)ming(0)1.所以e(a1)，所以a的取值范围为.热点四 利用导数解决零点问题 【例4】设函数f(x)klnx，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点【解】(1)由f(x)klnx(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(1，上单调递减，且f(1)0，f()0)(1)求函数f(x)f(x)g(x)的极值；(2)若函数g(x)f(x)g(x)(a1)x在区间内有两个零点，求实数a的取值范围解：(1)由题意知，f(x)f(x)g(x)ax2lnx，f(x)axlnxaxax(2lnx1)，由f(x)0得xe，由f(x)0得0xe，故f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，所以xe为f(x)的极小值点，f(x)极小值f(e)，无极大值(2)g(x)x2alnx(a1)x，g(x)xa1，由g(x)0，得x1或xa(舍去)，当x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递增，要使g(x)在区间内有两个零点，需满足即即下面比较与的大小由于0，故，故实数a的取值范围为.1利用导数证明不等式若证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数f(x)f(x)g(x)，如果f(x)0，则f(x)在(a，b)上是减函数，同时若f(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有f(x)0，即证明了f(x)g(x)2利用导数解决不等式的恒成立问题利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题3利用导数研究函数的零点或方程的根研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形