高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第六节 双曲线学案 文.doc

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质2了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用3理解数形结合的思想知识点一双曲线的定义 平面内动点p与两个定点f1，f2(|f1f2|2c0)的距离_为常数2a(2a2c)，则点p的轨迹叫做双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距答案之差的绝对值1判断正误(1)平面内到点f1(0,4)，f2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点f1(0,4)，f2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()答案：(1)(2)2设p是双曲线1上一点，f1，f2分别是双曲线左、右两个焦点，若|pf1|9，则|pf2|等于()a1b17c1或17d以上答案均不对解析：由题意知|pf1|90，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yrxr，ya，ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：a1(a,0)，a2(a,0)顶点坐标：a1_，a2_渐近线yx_离心率e，e_，其中c实虚轴线段a1a2叫做双曲线的实轴，它的长|a1a2|_；线段b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长|b1b2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2_(ca0，cb0)2.等轴双曲线_和_等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为_，离心率为_答案1(0，a)(0，a)yx(1，)2aa2b22实轴虚轴yxe3双曲线方程：1，那么k的范围是()ak5b2k5c2k2d2k5解析：由题意知，(|k|2)(5k)0，解得2k5.答案：d4(2016新课标全国卷)已知f1，f2是双曲线e：1的左、右焦点，点m在e上，mf1与x轴垂直，sinmf2f1，则e的离心率为()a. bc.d2解析：设f1(c,0)，将xc代入双曲线方程，得1，所以1，所以y.因为sinmf2f1，所以tanmf2f1，所以e2e10，所以e.故选a.答案：a5(选修11p53练习第3题改编)以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为_解析：设要求的双曲线方程为1(a0，b0)，由椭圆1，得焦点为(1,0)，顶点为(2,0)所以双曲线的顶点为(1,0)，焦点为(2,0)所以a1，c2，所以b2c2a23，所以双曲线标准方程为x21.答案：x21热点一双曲线的定义及应用 【例1】已知f是双曲线1的左焦点，a(1,4)，p在双曲线右支上运动，则|pf|pa|的最小值为_【解析】如图所示，设双曲线的右焦点为e，则e(4,0)由双曲线的定义及标准方程得|pf|pe|4，则|pf|pa|4|pe|pa|.由图可得，当a，p，e三点共线时，(|pe|pa|)min|ae|5，从而|pf|pa|的最小值为9.【答案】9【总结反思】双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|pf1|pf2|2a，运用平方的方法，建立与|pf1|，|pf2|的联系. (1)已知f1、f2为双曲线c：x2y22的左、右焦点，点p在c上，|pf1|2|pf2|，则cosf1pf2()a. b.c. d.(2)设椭圆c1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线c2的标准方程为()a.1 b.1c.1 d.1解析：(1)由x2y22，知ab，c2.由双曲线定义，|pf1|pf2|2a2，又|pf1|2|pf2|，|pf1|4，|pf2|2，在pf1f2中，|f1f2|2c4，由余弦定理，得cosf1pf2.(2)由题意知椭圆c1的焦点坐标为f1(5，0)，f2(5,0)，设曲线c2上的一点p，则|pf1|pf2|80，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()a.y21bx21c.1 d1【解析】由题意得c，则a2，b1，所以双曲线的方程为y21.【答案】a【总结反思】求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为(0)，再根据条件求的值. (1)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点与圆x2y210x0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为()a.1 b.1c.1 d.1(2)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_解析：(1)由题意知圆心坐标为(5,0)，即c5，又e，所以a25，b220，所以双曲线的标准方程为1.(2)法1：双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y21.法2：渐近线yx过点(4,2)，而0，b0)由已知条件可得解得双曲线的标准方程为y21.答案：(1)a(2)y21热点三双曲线的几何性质 考向1求双曲线的离心率【例3】(2016山东卷)已知双曲线e：1(a0，b0)若矩形abcd的四个顶点在e上，ab，cd的中点为e的两个焦点，且2|ab|3|bc|，则e的离心率是_【解析】如图，由题意不妨设|ab|3，则|bc|2.设ab，cd的中点分别为m，n，则在rtbmn中，|mn|2c2，故|bn|.由双曲线的定义可得2a|bn|bm|1，而2c|mn|2.所以双曲线的离心率e2.【答案】2考向2求双曲线的渐近线【例4】已知f1，f2是双曲线c：1(a0，b0)的两个焦点，p是c上一点，若|pf1|pf2|6a，且pf1f2最小内角的大小为30，则双曲线c的渐近线方程是()a.xy0bxy0cx2y0d2xy0【解析】由题意，不妨设|pf1|pf2|，则根据双曲线的定义得，|pf1|pf2|2a，又|pf1|pf2|6a，解得|pf1|4a，|pf2|2a.在pf1f2中，|f1f2|2c，而ca，所以有|pf2|f1f2|，所以pf1f230，所以(2a)2(2c)2(4a)222c4acos30，得ca，所以ba.所以双曲线的渐近线方程为yxx，即xy0.【答案】a考向3求变量的取值范围【例5】已知m(x0，y0)是双曲线c：y21上的一点，f1，f2是c的两个焦点若0，则y0的取值范围是()a. b.c. d.【解析】由题意知a，b1，c，f1(，0)，f2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点m(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y0，y00，b0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2.(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2c2a2和e转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围. (1)(2017安徽合肥质检)若双曲线c1：1与c2：1(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线c2的焦距为4，则b()a2b4c6d8(2)已知双曲线c：1(a0，b0)的离心率为，则c的渐近线方程为()ayxbyxcyxdyx(3)(2017江西名校学术联盟一调)设a1，a2分别为双曲线c：1(a0，b0)的左、右顶点，若双曲线上存在点m使得两直线斜率kk2，则双曲线c的离心率的取值范围为()a(0，)b(1，)c(，)d(0,3) 解析：(1)由题意，得2b2a，c2的焦距2c4c2b4，故选b.(2)由题意得，ecaa2a2b2ba，故渐近线方程为yxx，故选c.(3)设m(x，y)，a1(a,0)，a2(a,0)，则k，k，kk(*)又m(x，y)在双曲线1上，y2b2，代入(*)式得，2，即e2121e.答案：(1)b(2)c(3)b双曲线类型问题与椭圆类型问题类似，因而研究方法也有许多类似之处，如“利用定义”，“方程观点”，“直接法或待定系数法求曲线方程”，“数形结合”等但双曲线多了渐近线，问题变得略为复杂和丰富多彩复习中要注意如下两个问题：(1)已知双曲线方程，求出它的渐近线方程；(2)求已知渐近线的双曲线方程；已知渐近线方程为axby0时，可设双曲线方程为a2x2b2y2(0)，再利用其他条件确定的值，此方法的实质是待定系数法忽视“判别式”致误【例】已知双曲线x21，过点p(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于a、b两点，且点p是线段ab的中点？【分析】由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，所以在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑“判别式”致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑“判别式”，导致解题错误【解】设点a(x1，y1)，b(x2，y2)在双曲线上，且线段ab的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意设经过点p的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k，由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20)x0.由题意，得1，解得k2.当k2时，方程成为2x24x30.162480，方程没有实数解不能作一条直线l与双曲线交于a，b