高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第二节 函数的单调性与最值学案 文.doc

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2会运用基本初等函数的图象分析函数的性质知识点一 函数的单调性 1单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为i，如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间d上是增函数当x1x2时，都有_，那么就说函数f(x)在区间d上是减函数2.单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间d上是_或_，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，_叫做f(x)的单调区间答案1f(x1)f(x2)2增函数减函数区间d1(2016北京卷)下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是()ay bycosxcyln(x1) dy2x解析：函数y，yln(x1)在(1,1)上都是增函数，函数ycosx在(1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y2x()x在(1,1)上是减函数，故选d.答案：d2(必修p39a组第3题改编)函数y(2m1)xb在r上是减函数，则()am bm dm解析：若y(2m1)xb在r上是减函数，则2m10，即m.答案：b3已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上具有单调性，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示由图象可知函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，)答案：(，12，)知识点二 函数的最值 前提设函数yf(x)的定义域为i，如果存在实数m满足条件对于任意xi，都有_；存在x0i，使得_对于任意xi，都有_；存在x0i，使得_结论m为最大值m为最小值答案f(x)mf(x0)mf(x)mf(x0)m4函数f(x)的值域为_解析：当x1时，f(x)logx是单调递减的，此时，函数的值域为(，0；x0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数；当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数(2)解：设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa.由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)在(1,1)上单调递减；当a0，函数f(x)x(x0)，证明：函数f(x)在(0，上是减函数，在，)上是增函数证明：方法1：任意取x1x20，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).当x1x20时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(0，上为减函数；当x1x2时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)x(a0)在，)上为增函数；综上可知，函数f(x)x(a0)在(0，上为减函数，在，)上为增函数方法2：f(x)1，令f(x)0，则10，解得x或x(舍)令f(x)0，则10，解得x0，0x0，则x2.函数ylog (x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴x，且开口向上ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而ylogu在(0，)上是单调减函数，ylog (x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1).【总结反思】求函数的单调区间与确定单调性的方法一致(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.求下列函数的单调区间：(1)yx2x；(2)y3x26lnx.解：(1)设ux2x，则yu.u在上为减函数，在上为增函数，又yu为减函数，yx2x在上为增函数，在上为减函数(2)y6x.定义域为(0，)，由y0，得x1，增区间为(1，)由y0，得0x1，减区间为(0,1)热点三 函数单调性的应用 考向1比较大小【例3】(2017衡阳模拟)已知函数f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()af(x1)0，f(x2)0bf(x1)0cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0【解析】因为f(x)在(1，)上是增函数，且f(2)log220，又x1(1,2)，所以f(x1)f(2)0.【答案】b考向2解不等式【例4】已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_【解析】由题意，得函数f(x)的草图如图所示因为f(x1)0，所以|x1|2，所以2x12，所以1xx11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab bcbacacb dbac(2)f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()a(8，) b(8,9c8,9 d(0,8)(3)已知函数f(x)若f(x)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围为_解析：(1)因f(x)的图象关于直线x1对称由此可得ff.由x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减12ff(e)bac.(2)211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得8x9.(3)要使函数f(x)在r上单调递增，则有即解得2a3.即实数a的取值范围是(2,3答案：(1)d(2)b(3)(2,3热点四 函数的最值 【例6】(1)若函数f(x)在上的值域是，则实数a的值为_(2)函数y的值域为_【解析】(1)因为函数f(x)在区间上是增函数，值域为，所以f，f(2)2，即解得a.(2)y2.因为x2x12，所以22.故值域为.【答案】(1)(2)【总结反思】求函数最值的方法最常见的是单调性法，此外图象法、配方法、均值不等式法、换元法也是常采用的方法.(1)函数f(x)的值域为_(2)函数f(x)3x，x1,2的值域为_解析：(1)当x1时，f(x)logx是单调递减的，此时，函数的值域为(，0；当x0，f(x)在1,2上为增函数，又f(1)5，f(2)7.f(x)3x，x1,2的值域为5,7答案：(1)(，3)(2)5,71单调区间是定义域的子区间，求单调区间定义域优先2熟记各基本初等函数的单调区间，是求单调区间的前提、基础3对于对勾函数yx(a0)，单调递增区间：(，)；单调递减区间：，0)，(0，4函数的单调增、减区间要分开写；两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，”隔开，不能用“”符号连接5若f(x)具有对称轴xa，则在xa两侧的对称区间上f(x)具有相反的单调性若f(x)具有对称中心(a，b)，则在xa两侧的对称区间上f(x)具有相同的单调性6函数图象的平移不影响单调性；其中左右平移能改变单调区间，上下平移不改变单调区间抽象函数的几个解题技巧抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出了一些体现函数特征的式子的一类函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等它是中学数学中的一个难点，抽象性较强，灵活性大，解决抽象函数问题最重要的一点是要抓住函数中的某些性质，利用数学方法(如赋值法、化归法、数形结合法等)，这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：一、利用赋值法求抽象函数的值【例1】定义在r上的函数f(x)满足：f(x)f(4x)且f(2x)f(x2)0，则f(2 016)的值为_【解析】由f(2x)f(x2)0，令tx2，代入，有f(t)f(t)，f(x)为奇函数且有f(0)0，又f(x4)f4(x4)f(x)f(x)，f(x8)f(x4)f(x)，故f(x)是周期为8的周期函数，f(2 016)f(0)0.【答案】0解题策略：这类抽象函数一般是给出定义域，某些性质及运算式来求特殊值其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是使抽象问题具体化二、利用配凑法证明抽象函数的单调性【例2】已知函数f(x)对任意x，yr有f(x)f(y)2f(xy)，当x0时，f(x)2，f(3)5.求不等式f(a22a2)3的解集【解】设x1，x2r且x10，f(x2x1)2，即f(x2x1)20，f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)2f(x1)，f(x2)f(x1)，故f(x)为增函数，又f(3)f(21)f(2)f(1)23f(1)45，f(1)3，f(a22a2)3f(1)，即a22a21，1a3，因此不等式f(a22a2)3的解集为a|1a3解题策略：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作是给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联此外这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f”，转化为代数不等式求解三、利用周期性回归已知【例3】已知f(x)是定义在r上的函数，f(1)1，且对于任意xr都有f(x5)f(x)5，f(x1)f(x)1，若g(x)f(x)1x，则g(2 002)_.【解析】由g(x)f(x)1x，得f(x)g(x)x1，从而