高考数学一轮复习 配餐作业49 立体几何的热点问题（含解析）理.doc

配餐作业(四十九)立体几何的热点问题(时间：40分钟)1(2017东北三省模拟)已知等腰梯形abcd如图所示，其中abcd，e，f分别为ab和cd的中点，且abef2，cd4，m为ce的中点，现将梯形abcd沿ef所在直线折起，使平面efcb平面efda，如图所示，n是cd的中点。(1)证明：mn平面efda；(2)求二面角mnaf的余弦值。解析(1)证明：连接ed，则mned，又mn平面efda，ed平面efda，所以mn平面efda。(2)由题意知平面efda平面efcb，平面efda平面efcbef，cfef，cf平面efcb，所以cf平面efda。以f为坐标原点，fe为x轴，fd为y轴，fc为z轴，建立空间直角坐标系fxyz。由题意得f(0,0,0)，e(2,0,0)，c(0,0,2)，d(0,2,0)，m(1,0,1)，n(0,1,1)，a(2,1,0)，得平面amn的一个法向量为(1,1,2)，平面afn的一个法向量为(1，2,2)，设所求的二面角为，则|cos|，又所求二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为。答案(1)见解析(2)2如图，正方形abcd的边长为4，abaebfef，abef，把四边形abcd沿ab折起，使得ad底面aefb，g是ef的中点，如图。(1)求证：ag平面bce；(2)求二面角caef的余弦值。解析(1)证明：连接bg，因为bcad，ad底面aefb，所以bc底面aefb，又ag底面aefb，所以bcag，因为ab綊eg，abae，所以四边形abge为菱形，所以agbe，又bcbeb，be平面bce，bc平面bce，所以ag平面bce。(2)解法一：由(1)知四边形abge为菱形，agbe，aeegbgab4，设agbeo，所以oeob2，oaog2，取ce的中点m，连接om，所以ombc，所以om平面aefb，作mnae于n，连接on，所以onae，所以onm为二面角caef的平面角。在rtaoe中，由aeonoeoa得4on22，即on，又ombc2，所以mn，所以cosonm，所以二面角caef的余弦值为。解法二：由(1)知四边形abge为菱形，agbe，aeegbgab4，设agbeo，所以oeob2，oaog2，以o为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，则o(0,0,0)，a(2,0,0)，e(0，2，0)，f(4,2，0)，c(0,2，4)，d(2,0,4)，所以(2,2，4)，(2，2，0)，设平面ace的法向量为n(x，y，z)，则取y1，则x，z，即平面ace的一个法向量为n(，1，)。显然m(0,0,1)是平面aef的一个法向量。所以cosn，m结合图象可知，二面角caef的余弦值为。答案(1)见解析(2)3(2016湖北模拟)在如图所示的几何体中，四边形abcd是菱形，adnm是矩形，平面adnm平面abcd，dab60，ad2，am1，e为ab的中点。(1)求证：an平面mec；(2)在线段am上是否存在点p，使二面角pecd的大小为？若存在，求出ap的长h；若不存在，请说明理由。解析证明：(1)如图，连接nb交mc于点f，连接ef。由已知可得四边形bcnm是平行四边形，f是bn的中点，又e是ab的中点，anef。又ef平面mec，an平面mec，an平面mec。(2)假设线段am上存在点p，使二面角pecd的大小为。在am上取一点p，连接ep，cp。由于四边形abcd是菱形，且dab60，e是ab的中点，可得deab。又四边形adnm是矩形，平面adnm平面abcd，dn平面abcd，如图建立空间直角坐标系dxyz，则d(0,0,0)，e(，0,0)，c(0,2,0)，p(，1，h)，则(，2,0)，(0，1，h)，设平面pec的法向量为n1(x，y，z)，则，令yh，则n1(2h，h，)，又平面dec的法向量n2(0,0,1)，cosn1，n2，解得h，在线段am上存在点p，使二面角pecd的大小为，此时h。答案(1)见解析(2)存在，h4(2017郑州一中模拟)如图，ab是半圆o的直径，c是半圆o上除a，b外的一个动点，dc垂直于半圆o所在的平面，dceb，且dceb1，ab4。(1)证明：平面ade平面acd；(2)当三棱锥cade体积最大时，求二面角daeb的平面角的余弦值。解析(1)证明：如图，连接bc，因为ab是半圆o的直径，所以bcac，因为cd平面abc，所以cdbc，因为cdacc，所以bc平面acd。因为cdbe，cdbe，所以四边形bcde是平行四边形，所以bcde，所以de平面acd。又de平面ade，所以平面ade平面acd。(2)因为dceb1，ab4，由(1)知vcadeveacdsacddeaccddeacbc(ac2bc2)ab2，当且仅当acbc2时等号成立。如图所示，建立空间直角坐标系cxyz，则d(0,0,1)，e(0,2，1)，a(2，0,0)，b(0,2，0)，则(2，2，0)，(0,0,1)，(0,2，0)，(2，0，1)。设平面dae的法向量为n(x1，y1，z1)，则，取x11，得n(1,0,2)。设平面abe的法向量为m(x2，y2，z2)，则，取x21，得m(1,1,0)。所以cosm，n，故结合图象可以判断二面角daeb的平面角的余弦值为。答案(1)见解析(2)(时间：20分钟)1. (2016豫南九校联考)如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，adbc，adcd，且adcd2，bc4，pa2，点m在pd上(不与p、d重合)。(1)求证：abpc；(2)若二面角macd的大小为45，求bm与平面pac所成角的正弦值。解析(1)证明：取bc中点e，连接ae，则adec，adec，所以四边形aecd为平行四边形，故aebc，又aebeec2，所以abcacb45，故abac，又易知abpa，因为acpaa，ac、pa平面pac，所以ab平面pac，又pc平面pac，故abpc。(2)如图建立空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(2，2，0)，c(2，2，0)，p(0,0,2)，d(0，2，0)，则(0,2，2)，(2，2，0)，设(0,2，2)(01)，易得m(0,2，22)，(0,2，22)，设平面amc的法向量为n1(x，y，z)，则令y，得x，z，即n1。易知平面acd的一个法向量为n2(0,0,1)，则|cosn1，n2|cos45，解得，即m(0，1)，(2，3，1)，而(2，2，0)是平面pac的一个法向量，设直线bm与平面pac所成的角为。则sin|cos，|。故直线bm与平面pac所成的角的正弦值为。答案(1)见解析(2)2如图，在等腰梯形abcd中，adbc，ad1，bc3，e为bc上一点，be2ec，且de。将梯形abcd沿de折成直二面角bdec，如图所示。(1)求证：平面aec平面abed；(2)设点a关于点d的对称点为g，点m在bce所在平面内，且直线gm与平面ace所成的角为60，试求出点m到点b的最短距离。解析(1)证明：在题图中，由题意易得debc，在题图中，debe，dece，bec是二面角bdec的平面角，二面角bdec是直二面角，bece。debee，de，be平面abed，ce平面abed，又ce平面aec，平面aec平面abed。 (2)由(1)知de，be，ce两两互相垂直，以e为原点，分别以eb，ec，ed所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系exyz，如图所示。则e(0,0,0)，a(1,0，)，b(2,0,0)，c(0,1,0)，d(0,0，)，g