高考数学一轮复习 第五章 数列 第二节 等差数列学案 文.doc

1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数的关系知识点一等差数列的定义 如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，公差通常用字母d表示数学语言表达式：an1and(nn*)，d为常数答案2同一个常数公差1判断正误(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列的公差是相邻两项的差()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()答案：(1)(2)(3)知识点二等差数列的通项公式与前n项和公式 1若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an_.若等差数列an的第m项为am，则其第n项an可以表示为an_.2等差数列的前n项和公式sn_.(其中nn*，a1为首项，d为公差，an为第n项)答案1a1(n1)dam(nm)d2na1d2(必修p39练习第5题改编)在等差数列an中，a24，a3a720，则a8()a8 b12c16 d24解析：因为数列an是等差数列，由等差数列的性质得：a2a8a3a7，又a24，a3a720，所以a8a3a7a220416.故选c.答案：c3(2016北京卷)已知an为等差数列，sn为其前n项和若a16，a3a50，则s6_.解析：设等差数列an的公差为d，由已知得解得所以s66a165d3615(2)6.答案：6热点一等差数列的基本运算 【例1】(1)(2016新课标全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()a100 b99c98 d97(2)(2016江苏卷)已知an是等差数列，sn是其前n项和若a1a3，s510，则a9的值是_【解析】(1)设等差数列an的公差为d，因为an为等差数列，且s99a527，所以a53.又a108，解得5da10a55，所以d1，所以a100a595d98，选c.(2)设等差数列an的公差为d，则a1aa1(a1d)23，s55a110d10，解得a14，d3，则a9a18d42420.【答案】(1)c(2)20【总结反思】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，sn，知道其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.(1)已知等差数列an的前n项和为sn，且s36，a30，则公差d等于()a1 b1c2 d2(2)设等差数列an满足a511，a123，其前n项和sn的最大值为m，则lgm()a1 b1c2 d2解析：(1)由s33a26，得a22，又a30，所以公差d2.(2)由a511，a123，得公差d2，所以an11(n5)(2)212n，所以a119，故sn19n(2)n220n(n10)2100100，所以m100，所以lgm2.答案：(1)d(2)c热点二 等差数列的判定与证明 【例2】已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bn.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式【解】(1)证明：，bn1bn，bn是等差数列(2)由(1)及b11.知bnn，an1，an.【总结反思】证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明anan1d(n2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an1anan2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法.若数列an满足an2an12n1(nn*，n2)，a327.(1)求a1，a2的值；(2)记bn(ant)(nn*)，是否存在一个实数t，使数列bn为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由解：(1)由a327,272a2231，得a29，由92a1221，得a12.(2)假设存在实数t，使得bn为等差数列则2b2b1b3，即2(9t)(2t)(27t)，t1.bn(an1)bnbn1(an1)(an11)(2an12n11)(an11)an11an11.存在一个实数t1，使数列bn为等差数列热点三 等差数列的性质及应用 考向1通项的性质应用【例3】(1)已知数列an是等差数列，且a1a4a72，则cos(a3a5)等于()a. bc. d(2)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_【解析】(1)因为a1a4a73a42，所以a4.又a3a52a4，所以cos(a3a5)cos.故选b.(2)设该数列为an，首、末项为a1，an，当n为奇数2k1时，有a1a2k121 010，a15；当n为偶数2k时，有a1a2kakak121 010，a15.【答案】(1)b(2)5考向2前n项和sn的性质【例4】(1)(2017广东广州毕业班综合测试)设等差数列an的前n项和为sn，且a2a7a1224，则s13()a52 b78c104 d208(2)(2017河北衡水中学一调)两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为()a2 b3c. d.(3)设等差数列an的前n项和为sn，若s39，s636，则a7a8a9等于()a63 b45c36 d27【解析】(1)a2a7a1224，3a724，即a78.s1313a7104，故选c.(2)设这两个数列的前n项和分别为sn，tn，则3，故选b.(3)由an是等差数列，得s3，s6s3，s9s6为等差数列即2(s6s3)s3(s9s6)，得到s9s62s63s345，故选b.【答案】(1)c(2)b(3)b【总结反思】(1)项的性质：在等差数列an中，aman(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差(2)和的性质：在等差数列an中，sn为其前n项和，则s2nn(a1a2n)n(anan1)；s2n1(2n1)an.(1)在等差数列an中，a3a927a6，sn表示数列an的前n项和，则s11()a18 b99c198 d297(2)(2017常德一模)已知an为等差数列，若a1a2a35，a7a8a910，则a19a20a21_.解析：(1)因为a3a927a6,2a6a3a9，所以3a627，所以a69，所以s11(a1a11)11a699.(2)法1：设数列an的公差为d，则a7a8a9a16da26da36d518d10，所以18d5，故a19a20a21a712da812da912d1036d20.法2：由等差数列的性质，可知s3，s6s3，s9s6，s21s18成等差数列，设此数列公差为d.所以52d10，所以d.所以a19a20a21s21s1856d51520.答案：(1)b(2)20热点四 等差数列前n项和的最值 【例5】已知在等差数列an中，a131，sn是它的前n项的和，s10s22.(1)求sn；(2)这个数列前多少项的和最大？并求出这个最大值【解】(1)s10a1a2a10，s22a1a2a22，又s10s22，a11a12a220，即0，即a11a222a131d0.又a131，d2.snna1d31nn(n1)32nn2.(2)法1：由(1)知，sn32nn2(n16)2256，当n16时，sn有最大值256.法2：由(1)知，令(nn*)，解得n，nn*，n16时，sn有最大值256.【总结反思】求等差数列前n项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解(2)通项公式法：求使an0(an0)成立时最大的n值即可一般地，等差数列an中，若a10，且spsq(pq)，则若pq为偶数，则当n时，sn最大；若pq为奇数，则当n或n时，sn最大.在等差数列an中，a129，s10s20，则数列an的前n项和sn的最大值为()as15 bs16cs15或s16 ds17解析：解法1：a129，s10s20，10a1d20a1d，解得d2，sn29n(2)n230n(n15)2225.当n15时，sn取得最大值解法2：s10s20，a11a12a200，5(a15a16)0，又a1290，a150，a160，s15最大答案：a1要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列