数学专业毕业论文-导数在解题中的应用.doc

毕毕 业业 论论 文文 2009 届 题 目 导数在解题中应用 学 院 数学计算机学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2006 级 学生学号 学生姓名 指导教师 2009 年 5 月 8 日 导数在解题中的应用 数学计算机学院数学与应用数学 师范 专业 2010 届 摘摘 要要 本文通过导数的基本理论来解决数学中的相关问题 通过例题从简单 应用和综合应用来说明导数在解题中的应用 如在数列 函数 不等式证明 实 际问题 数列求和等方面的应用 关关键词键词 导数 函数 单调性 最值 数列 中图分类号 017 The Application of Derivative in Solving problems Abstract In this paper we discuss some problems in mash by the theory of the derivative The derivative application is obtained by using examples from simple application to comprehensive application such as the application of the series inequality proof practical problems and summation series Keywords derivative function monotone the most value series 目目 录录 1 引言 1 2 导数在解题中的应用 4 2 1 求曲线的切线方程 4 2 2 导数在探究函数性质中的应用 6 2 2 1 判断函数的单调性 6 2 2 2 函数的极值 最值问题 7 2 2 3 求函数的解析式 9 2 2 4 导数在解决实际问题中的应用 9 2 3 研究方程根的情况 11 2 4 导数在不等式证明中的应用 12 2 5 导数求参数的取值范围 12 2 6 导数在数列中的应用 13 2 6 1 导数在数列求和中的应用 13 2 6 2 求数列中的最大 小 项 14 2 7 导数在求极限中的应用 15 2 8 近似计算 15 3 结束语 16 谢 辞 16 参考文献 17 1 导数在解题中的应用 1 引言 微积分的知识和方法在中学数学的许多问题上 能起到以简驭繁的作用 尤其体现 在判定函数相关性质 证明不等式 恒等式及恒等变形 研究函数的变化形态及函数作 图上 导数是微积分学中重要的基础知识 是研究函数解析性质的重要手段 在求函数的 极值方面起着 钥匙 的作用 中学数学中加入导数的基础知识不仅丰富了函数的基础知 识 而且使得对函数内容以及对函数性质的研究更加完整化 系统化 在初等数学与高 等数学中导数起着 桥梁 作用 为中学生进入高等学府后继续学习奠定了基础 导数是高等数学中一个很重要的概念 深入理解导数的概念能够帮助我们很好地解 题 定义定义 1 设函数在点的某个领域内有定义 当自变量在处取得增量 xfy 0 xx 0 x 点仍在该领域内 时 相应的函数的增 如果与x xx 0 y 00 xfxxfy y 之比当时的极限存在 则称函数在处可导 并称这个极限为函数x 0 x xfy 0 x 在处的导数 记为 即 xfy 0 x 0 xx y x xfxxf x y y xx xx 00 00 limlim 0 1 1 导数定义的形式比较灵活 对它进行研究 能促进我们对导数的理解 帮助我们迅速 正确地解题 导数的定义式也可以有不同的形式 常见的有 1 0 0 0 lim 0 xx xfxf xf xx 1 2 h xfhxf xf h 00 0 0lim 1 3 式中的即为自变量的增量 1 3 hx 从微积分成为一门学科来说 2 是在十七世纪 但是 微分和积分的思想在古代就 已经产生了 2 公元前三世纪 古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积 球和球冠面积 螺 线下面积和旋转双曲体的体积的问题中 就隐含着近代积分学的思想 作为微分学基础 的极限理论来说 早在古代以有比较清楚的论述 比如我国的庄周所著的 庄子 一书 的 天下篇 中 记有 一尺之棰 日取其半 万世不竭 三国时期的刘徽在他的割 圆术中提到 割之弥细 所失弥小 割之又割 以至于不可割 则与圆周和体而无所失 矣 这些都是朴素的 也是很典型的极限概念 到了十七世纪 有许多科学问题需要解决 这些问题也就成了促使微积分产生的因 素 归结起来 大约有四种主要类型的问题 第一类是研究运动的时候直接出现的 也 就是求即时速度的问题 第二类问题是求曲线的切线的问题 第三类问题是求函数的最 大值和最小值问题 第四类问题是求曲线长 曲线围成的面积 曲面围成的体积 物体 的重心 一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力 十七世纪的许多著名的数学家 天文学家 物理学家都为解决上述几类问题作了大 量的研究工作 如法国的费尔玛 笛卡尔 罗伯瓦 笛沙格 英国的巴罗 瓦里士 德 国的开普勒 意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论 为微积分的创立做出 了贡献 十七世纪下半叶 在前人工作的基础上 英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨 分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作 虽然这只是十分初步的工作 他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起 一个是切线问题 微分学的 中心问题 一个是求积问题 积分学的中心问题 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量 因此这门学科早期也称为 无穷小分析 这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源 牛顿研究微积分着重于 从运动学来考虑 莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的 牛顿在 1671 年写了 流数法和无穷级数 这本书直到 1736 年才出版 它在这本 书里指出 变量是由点 线 面的连续运动产生的 否定了以前自己认为的变量是无穷 小元素的静止集合 他把连续变量叫做流动量 把这些流动量的导数叫做流数 牛顿在 流数术中所提出的中心问题是 已知连续运动的路径 求给定时刻的速度 微分法 已知运动的速度求给定时间内经过的路程 积分法 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者 1684 年 他发表了现在世界上认为是最早 的微积分文献 这篇文章有一个很长而且很古怪的名字 一种求极大极小和切线的新方 法 它也适用于分式和无理量 以及这种新方法的奇妙类型的计算 就是这样一片说 3 理也颇含糊的文章 却有划时代的意义 他以含有现代的微分符号和基本微分法则 1686 年 莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献 他是历史上最伟大的符号学者之一 他 所创设的微积分符号 远远优于牛顿的符号 这对微积分的发展有极大的影响 现在我 们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的 微积分学的创立 极大地推动了数学的发展 过去很多初等数学束手无策的问题 运用微积分 往往迎刃而解 显示出微积分学的非凡威力 前面已经提到 一门科学的创立决不是某一个人的业绩 他必定是经过多少人的努 力后 在积累了大量成果的基础上 最后由某个人或几个人总结完成的 微积分也是这 样 不幸的是 由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余 在提出谁是这门学科的创立者 的时候 竟然引起了一场悍然大波 造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立 英国数学在一个时期里闭关锁国 囿于民族偏见 过于拘泥在牛顿的 流数术 中停步 不前 因而数学发展整整落后了一百年 其实 牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究 在大体上相近的时间里先后完成的 比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早 10 年左右 但是正式公开发表微积分这一 理论 莱布尼茨却要比牛顿发表早三年 他们的研究各有长处 也都各有短处 那时候 由于民族偏见 关于发明优先权的争论竟从 1699 年始延续了一百多年 应该指出 这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样 牛顿和 莱布尼茨的工作也都是很不完善的 他们在无穷和无穷小量这个问题上 其说不一 十 分含糊 牛顿的无穷小量 有时候是零 有时候不是零而是有限的小量 莱布尼茨的也 不能自圆其说 这些基础方面的缺陷 最终导致了第二次数学危机的产生 直到 19 世纪初 法国科学学院的科学家以柯西为首 对微积分的理论进行了认真研 究 建立了极限理论 后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化 使极限理 论成为了微积分的坚定基础 才使微积分进一步的发展开来 任何新兴的 具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者 在微积分的历 史上也闪烁着这样的一些明星 瑞士的雅科布 贝努利和他的兄弟翰 贝努利 欧拉 法国的拉格朗日 科西 欧氏几何也好 上古和中世纪的代数学也好 都是一种常量数学 微积分才是真正 的变量数学 是数学中的大革命 微积分是高等数学的主要分支 不只是局限在解决力 学中的变速问题 它驰骋在近代和现代科学技术园地里 建立了数不清的丰功伟绩 4 2 导数在解题中的应用 2 1 求曲线的切线方程 在求过点所作函数对应曲线的切线方程 3 时应先判断该点是否在曲 00 yxP xfy 线上 当点在曲线上 即点为切点时 则切线方程为 1 00 yxP 00 yxP 000 xxxfyy 当点不在曲线上时 则设切点坐标为 由 2 00 yxP yx 10 10 1 11 xx yy xf xfy 先求得切点的坐标 然后进一步求切线方程 例例1 1 已知曲线 求过点P的曲线 的切线方程 axxyl 2 2 1 2 l 解 解 因 所以 axxy 2 2 22 xy 则当时 2 xay 2 y 当时 点P在曲线 上 故过点P的曲线 的切线方程为1 a 1 2 ll 即 2 2 1 xy052 yx 当时 点P不在 上 设曲线 过点P的切线的切点是 1 all 00 yx 则切线方程为且点P在此切线方程上 22 000 xxxyy 1 2 所以有 即 2 22 1 000 xxy 3 62 0 2 00 xxy 又 axxy 0 2 00 2 则有 即 3622 0 2 00 2 0 xxaxx 0 3 4 0 2 0 axx 1 4 3 416 aa 5 当时 所以 1 a0 12 0 ax 当时 0 xx 1122122 aay 所以切线方程是 即 21121 xay 12112 xay 当时 切线不存在 1 a0 例例2 已知抛物线和抛物线 当取什么值时 和xxyC2 2 1 axyC 2 2 a 1 C 有且仅有一条公切线 写出公切线的方程 2 C 分析 传统的处理方法是用法来解决 但计算量大 容易出错 如能运用导数的几 何意义去解 则思路清晰 解法简单 解 解 设分别是直线 与 的两个切点 2211 yxByxAl 1 C 2 C 又 的导数分别为 2 1 2Cyxx 2 2 Cyxa 所以 即 22 xy y x2 21 22xx 1 21 xx 又 有且只有一条公切线 则点A与点B重合 1 C 2 C 21 xx 所以 即 有点在上 可知 21 xx 2 1 4 3 2 1 AB 2 C 2 1 a 此时 l 4 1 xy 例例3 已知曲线 直线 且 与切与点 xxxyC23 23 kxyl lC 0 000 xyx 求直线 的方程及切点坐标 l 解 解 由 过原点 知 点在曲线上 l 0 0 0 x x y k 00 yxC 0 2 0 3 00 23xxxy 23 0 2 0 0 0 xx x y 又 263 2 xxy 又 263 0 2 0 xxk 0 0 x y k 23263 0 2 00 2 0 xxxx 6 不符合题意 2 3 032 00 2 0 xxx0 0 x 8 3 2 3 2 2 3 3 2 3 23 0 y 4 1 2 3 8 3 0 0 x y k 所以 的方程为 切点为 lxy 4 1 8 3 2 3 求曲线的切线方程 关键利用曲线上某点的导数就是曲线上过该点的切线的斜率 2 2 导数在探究函数性质中的应用 2 2 1 判断函数的单调性 假设 y 在点中可导 4 xf ba 若对中所有而言 则在中递增 bax 0fx xf ba 若对中所有而言 则在中递减 bax 0fx xf ba 若对中所有而言 0 则在中不变 bax x f xf ba 由此可见 只要求出函数的导数 判断其正负性 则能判断函数的单调性 这种方法比传 统的的 定义法 及 图像法 更方便 例例 1 1 求函数在 0 1 上的单调性 R x xay 1 2 x a 解 解 令 即求 t 0 1 上的单调性 xt t attf 1 2 当 a0 时 在 t 0 1 上为增函数 tf 当 a 0 时 因 f t 3 1 2 t a 则由 得 0 有 t 0fx 3 1 2 t a 3 a 1 则可以判断 当 t 0 时 说明在 t 0 上为增函数 3 a 1 0 x f tf 3 a 1 7 当 t时 在上为减函数 a 1 3 0 x f tf a 1 3 接下来 要比较和 1 的大小 3 a 1 当时 则在上为增函数 01 a1 a 1 3 tf 1 0 t 此时 121 aftf 当时 则在 t 0 上为增函数 在 t上为减1 a1 a 1 3 tf 3 a 1 a 1 3 函数 该题用导数来解 淡化了技巧 突出了通法 充分显示了该解法的新颖别致和通俗 易懂 例例 2 2 已知函数 1 其中 求的取值范 xf1tan2 2 xxx 3 2 2 围 使在区间 1 上是单调函数 xf3 解 解 它在 1 上是单调函数 fx x2 tan23 tan22 min x f tan232 max x f 当 即时 tan22 0 2 4 为单调递增函数 xf0 xf 当 即时 0tan232 3 2 故为单调递减函数 xf0 xf 综上所述 当时 在区间 1 上是单调函数 2 4 3 2 xf3 2 2 2 函数的极值 最值问题 求可导函数的极值 5 的一般步骤和方法是 xf 求导数 fx 8 求方程的根 0 x f 检验在方程的根的左右符号 如果在根左侧附近为正 右侧附近为 fx 0 x f 负 那么函数在这个根处取得极大值 如果在根的左侧附近为负 右侧附近为正 xfy 那么函数在这个根处取得极小值 xfy 对于在连续 在可导的函数的最值的求解 可先求出函数在上 ba ba xf ba 的极大 小 值 并与 比较即可得出最大 小 值 af bf 例例 1 已知为实数 函数 a 4 2 axxxf 求导数 1 fx 若 求在上的最大值和最小值 2 0 1 f xf 2 2 解 解 由原式得 1 axaxxxf44 23 则 423 2 axxxf 由 得 此时有 2 0 1 f 2 1 a 2 1 4 2 xxxf43 2 xxxf 由 得 或 0 x f 3 4 x1 x 又 27 50 3 4 f0 2 0 2 2 9 1 fff 所以在上的最大值为 最小值为 xf 2 2 2 9 27 50 例例 2 求函数的值域 342 xxy 分析 求函数的值域是数学中的难点 方法因题而异 不易掌握而采用导数求解 则 较为容易 且一般问题都可行 解 解 函数的定义域为 2 3422 4232 32 1 42 1 xx xx xx y 又 可见当时 4232 xx 3242 82 xx x 2 x0 y 9 所以在上是增函数 而 342 xxy 2 1 2 f 所以的值域是 342 xxy 1 2 2 3 求函数的解析式 例例 1 设函数为三次函数 其图像与轴的交点为 P 且曲线在 P 点处的切线 xfy y 方程为 若函数在处取得极值 求函数的解析式 01224 yx2 x16 解 解 设 则 0 23 adcxbxaxxfcbxaxxf 23 2 依题意有 0 cf 因为切线的斜率为 所以 01224 yx24 k24 c 把代入 得 0 x01224 yx12 y 所以 P 点的坐标为 即求得 此时 12 0 12 d1224 23 xbxaxxf 由函数在处取得极值 xf2 x16 则得 解得 244120 364816 ba ba 3 1 b a 所以 12243 23 xxxxf 例例 2 设为三次函数 且图像关于原点对称 当时 的极小值为 求 xfy 2 1 x xf 函数的解析式 xf 解 解 设 0 23 ddcxbxaxxf 因为其图像关于原点对称 即 xfxf 所以 dcxbxax 23 dcxbxax 23 则 即 所以 0 0 dbcxaxxf 3 caxxf 2 3 依题意 解得 0 4 3 2 1 caf1 28 1 2 1 c af 3 4 ca 故 xxxf34 3 10 2 2 4 导数在解决实际问题 6 中的应用 学习的目的 就是要会实际应用 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函 数 把 问题情景 译为数学语言 找出问题的主要关系 并把问题的主要关系近似化 形式化 抽象成数学问题 再划归为常规问题 选择合适的数学方法求解 例例1 用总长的钢条制作一个长方体容器的框架 如果所制作容器的底面的一边m 8 14 比另一边长 那么高为多少时容器的容积最大 并求出它的最大容积 m5 0 解 解 设容器底面短边为 则另一边长为 高为xmmx 5 0 5 0 44 8 14 4 1 xx mx 22 3 由 且 得 022 3 x0 x6 10 x 设容器的容积为 则有 3 ym 22 3 5 0 xxxy 6 10 6 12 22 23 xxxx 所以 令 即 6 14 46 2 xxy06 14 46 2 xx041115 2 xx 解得 不合题意 舍去 15 4 1 21 xx 当时 当时 1 0 x0 y 6 1 1 x0 y 所以函数在上单调递增 在上单调递减 xxxy6 12 22 23 1 0 6 1 1 因此 当时 这时 高为 1 x8 16 12 22 max y2 1122 3 故高为时容器的容积最大 最大容积为 m2 1 3 8 1 m 例例 2 如图 有甲 乙两个工厂 甲厂位于一直线河岸的岸边处 乙厂和甲厂在河A 的同侧 乙厂位于离河岸的处 乙厂到河岸的垂足与相距 两厂要在km40BDAkm50 此岸边合建一个供水站 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米元和元 Ca3a5 问供水站建在岸边何处才能使水管费用最省 C 解 解 根据题意 只有点在线段上某一适当位置 才能使总运费最省 如右图所CAD 示 设点距点 CDxkm 因为 所以 50 50 40 xACADBD 2222 40 xCDBDBC 设总的水管费用为元 则y 例 2 图 1 11 500 405 50 3 22 xxaxay 所以 令 22 40 5 3 x ax ay0 y 解得 舍去 30 30 21 xx 当时 当时 所以当时 取得最小值 30 x0 y 30 x0 y 30 x 此时 即供水站建在 之间距甲厂处可使水管费 203050kmAC ADkm20 用最省 2 3 研究方程根的情况 用导数的方法确定方程根的个数是一种很有效的方法 它是通过函数的变化情况 运用 数形结合的方法来确定函数的图象与 轴的交点的个数并结合定义域来确定方程解的个x 数的方法 例例 1 若 则方程在上有多少个根 3 a01 23 axx 2 0 解 解 设 则 1 23 axxxfaxxxf23 2 当 时 故在上单调递减 0 a 2 0 x0 x f xf 2 0 而在与处都连续 且 xf0 x2 x 049 2 01 0 aff 故在上有且只有一个根 xf 2 0 例例2 取何值时 关于的方程在上有解 ax02 2 axx 1 0 分析 本题亦可结合二次函数的图象 使得问题转化为区间根分布2 2 axxxf 问题 但是要分在上有两解和一解两种情况 采用转化思想将与分离开 利用导数 1 0 ax 求函数值域 使得运算量大大减少 解 解 因为 所以 将看成的函数 02 2 axx 2 x xa ax 因为 1 0 x 2 1 2 x a 12 所以函数在上是增函数 故 2 x xa 1 0 3 1 2 1 a 2 4 导数在不等式证明中的应用 7 不等式是数学的重要部分 它遍及数学的每一个分支学科 证明他们的方法很多 有 些更是具有很强的技巧性 对于某些不等式不易证明时 可根据给出不等式的特点构造 函数 利用导数知识研究函数的单调性 然后利用函数的单调性来加以证明 往往可以 达到事半功倍的效果 定会觉得豁然开朗 例例1 当时 证明不等式 0 x 2 2 1 1ln xxx 证明 证明 设 2 1 1ln 2 xxxxf xxx 2 2 1 1ln 可求得其定义域为 1 由 可知在上单调递增 0 1 1 1 1 2 x x x x xf xf 1 所以当时 即 0 x0 0 fxf0 2 1 1ln 2 xxx 故 对一切都成立 2 2 1 1ln xxx 0 x 例例2 已知 求证 0 ba b ba b a a ba ln 证明 证明 设 则原不等式化为 1 xx b a 1ln 1 1 xx x 设 1 ln xxxf 1 1 ln x xxg 当时 1 x01 1 x xf 所以在上为减函数 于是有 xf 1 0 1 fxf 可得 1ln xx 2 4 1 所以在上为增函数 0 111 22 x x xx xg xg 1 于是有 可得 0 1 gxg x x 1 1ln 2 4 2 13 由得 故原不等式成立 2 4 1 2 4 2 1ln 1 1 xx x 2 5 导数求参数的取值范围 8 求参变量的取值范围是数学中的一个重要内容 有不少求参变量取值范围的问题依靠 传统的方法不容易解决 但是借助求导的方法确是一种很有效的解决途径 例例1 已知 函数在上是单调函数 求的取值范围 0 a x eaxxxf 2 2 1 1 a 解 解 由 x eaxaxxf 2 1 2 2 0 x f 即 解得 0 2 1 2 2 x eaxax 11 21 2 2 1 xxaax 当时 0 a0 1 21 xx 在上是减函数 在上是增函数 所以在上是单调函数的充 xf 21 xx 2 x xf 1 1 要条件是 1 2 x 即 解得 所以的取值范围为 111 2 aa 4 3 aa 4 3 例例2 求出的范围 使不等式对任意的都成立 aaxx 24 34 x 分析 将含参数的不等式问题转化为函数问题 利用导数求得函数最小值 方可确定出 参数的范围 解 解 令 则 34 4 xxxf 23 124 xxxf 再设 可求得 或 0 x f0 x3 x 当时 当时 0 x0 x f30 x0 x f 当时 所以时 取得极小值为 3 x0 x f3 x xf27 从而有最小值为 则 故有 xf27 axf 227 min 29 a 解决本题的关键在于构造函数 通过导数判断函数极小值的位置 2 6 导数在数列中的应用 14 2 6 1 导数在数列求和中的应用 数列求和是数学中比较常见的问题 也是学生难以掌握的问题 用常规方法求数列 的和 有时技巧性很高 或者计算十分繁琐 如果借助导数这一工具 用导数的相关性 质来解决此类问题 常可化繁为简 化难为易 例例1 1 求 2 321xx 1 0 1 Nnxxnxn 解 解 因 32 xxx x xx x n n 1 1 两边都是关于的函数 两边求导得 x 2 321xx 1n nx 1 1 x xx n 2 1 1 1 1 x nxxn nn 例例2 求和 321 32 nnnn CCCS NnnC n n 解 解 因 则该式两边都是关于的函数 两边 2210 1 xCxCCx nnn nnn nx C x 都对求导得x 23211 32 1 xCxCCxn nnn n1 nn nx nC 令 得 即 1 x 3211 322 nnn n CCCn n n nC 1 2 n n nS 数列是一种特殊的函数 它有通项公式和前项和公式 并且 是关于 n an n S n a n S 的函数 因此可以把看作是某个函数的导数 n n S 2 6 2 求数列中的最大 小 项 将数列看作正整数集上的函数 然后将定义域扩充为正实数 用导数的方法求解问题 是解决上述问题的一种好方法 例例1 数列中 求中的最小项 n a n nan 90 n a 解 解 构造函数 0 90 x x xxf 令 解得 0 90 1 2 x xf103 x 15 则当时 当时 103 x0 x f103 x0 x f 所以当时 的值最小 103 x xf 因为 通过计算知中的最小项为 101039 n a19 109 aa 把数列通项构造为函数 将数列的最小项问题转化为函数的最小值问题 从而利 n a 用导数求解 2 7 导数在求极限中的应用 导数的定义 9 在许多题目中出现的形式灵活多样 较为简单的类型是直接应用导数 的定义是作适当的变形即能解决问题 导数是由极限定义 所以就能利用导数来求极限 例例1 1 求极限 4 8 2 sin lim 4 x xx x 解 解 令 由导数定义可得xxxfsin 4 4 cos sin 4 4 8 2 sin lim x x xxxf x xx 4 1 2 2 例例2 已知存在 证明 其中 0 x f 0 00 0 lim xf p nm ph nhxfmhxf h 为常数