高中数学 第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用 3.2.2 函数模型的应用实例学案 新人教A版必修1.doc

3.2.2函数模型的应用实例学习目标：1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点)2.能建立函数模型解决实际问题(重点、难点)3.了解拟合函数模型并解决实际问题(重点)4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力(重点)自 主 预 习探 新 知1常见函数模型常用函数模型(1)一次函数模型ykxb(k，b为常数，k0)(2)二次函数模拟yax2bxc(a，b，c为常数，a0)(3)指数函数模型ybaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)(4)对数函数模型ymlogaxn(m，a，n为常数，m0，a0且a1)(5)幂函数模型yaxnb(a，b为常数，a0)(6)分段函数y2.建立函数模型解决问题的基本过程思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原这些步骤用框图表示如图：基础自测1思考辨析(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述()(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型()(3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型()答案(1)(2)(3)2某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为yalog2(x1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()a300只b400只c600只 d700只a将x1，y100代入yalog2(x1)得，100alog2(11)，解得a100.所以x7时，y100log2(71)300.3据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()【导学号：37102385】ay0.3x800(0x2 000)by0.3x1 600(0x2 000)cy0.3x800(0x2 000)dy0.3x1 600(0x2 000)d由题意知，变速车存车数为(2 000x)辆次，则总收入y0.5x(2 000x)0.80.3x1 600(0x2 000)4某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(xn)为二次函数关系(如图325)，则客车有营运利润的时间不超过_年图32510设二次函数ya(x6)211，又过点(4,7)，所以a1，即y(x6)211.解y0，得6x6，0x10.合 作 探 究攻 重 难利用已知函数模型解决实际问题物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是t0，经过一定时间t后的温度是t，则tta(t0ta)其中ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88热水冲的速溶咖啡，放在24的房间中，如果咖啡降温到40需要20 min，那么降温到32时，需要多长时间？ 【导学号：37102386】解先设定半衰期h，由题意知4024(8824)，即，解之，得h10，故原式可化简为，t24(8824)，当t32时，代入上式，得，3224(8824)，即3，t30.因此，需要30 min，可降温到32 .规律方法已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.跟踪训练1某种商品在近30天内每件的销售价格p(元)和时间t(天)的函数关系为：p(tn*)设该商品的日销售量q(件)与时间t(天)的函数关系为q40t(0t30，tn*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？解设日销售金额为y(元)，则ypq，所以y(tn*)当0t0)(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域(2)求羊群年增长量的最大值. 【导学号：37102387】思路探究：解(1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1，由此可得ykx(0xm)(2)对原二次函数配方，得y(x2mx)2.即当x时，y取得最大值.母题探究：1.(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如何表示出y关于x的函数解析式？解根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1，因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成反比，由此可得y(0xm)2(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k的取值范围解由题意知为给羊群留有一定的生长空间， 则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0xym.因为当x时，ymax，所以0m，解得2k0，所以0k2.规律方法自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.拟合数据构建函数模型解决实际问题探究问题1画函数图象的一般步骤有哪些？提示：列表、描点、连线2学校食堂要了解全校师生的午间就餐情况，以备饭菜，你能用数学知识给予指导性说明吗？提示：第一步：收集样本一周的数据，制成样本点如(1，x1)，(2，x2)，(7，x7)第二步：描点，对上述数据用散点图的形式，给予直观展示第三步：数据拟合，选择一个合适的数学模型拟合上述样本点第四步：验证上述模型是否合理、有效，并做出适当的调整某企业常年生产一种出口产品，自2014年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长已知2014年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)画出20142017年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2018年(即x5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2018年的年产量为多少？思路探究：解(1)画出散点图，如图所示(2)由散点图知，可选用一次函数模型设f(x)axb(a0)由已知得解得f(x)1.5x2.5.检验：f(2)5.5，且|5.585.5|0.080.1.f(4)8.5，且|8.448.5|0.061.2，所以，这个男生偏胖当 堂 达 标固 双 基1一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图326所示，那么图象所对应的函数模型是()图326a分段函数b二次函数c指数函数 d对数函数a由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型2若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是() 【导学号：37102389】ay0.957 6by(0.957 6)100xcyxdy10.042 4a由题意可知y(95.76%)，即y0.9576.3若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为()b由题意h205t(0t4)，其图象为b.4某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元又知总收入k是单位产品数q的函数，k(q)40qq2，则总利润l(q)的最大值是_万元. 【导学号：37102390】2 500每生产一单位产品，成本增加10万元，单位产品数q时的总成本为2 00010q万元k(q)40qq2，利润l(q)40qq210q2 000q230q2 000(q300)22 500，q300时，利润l(q)的最大值是2 500万元5已知a，b两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从a地到达b地，在b地停留1小时后再以50 km/h的速度返回a地(1)把汽车离开a地的距离s表示为时间t的函数(从a地出发时开始)，并画出函数的图象；(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，