高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列前n项和的综合应用学案 新人教A版必修5.doc_第1页
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文档简介

第2课时等差数列前n项和的综合应用学习目标:1.掌握an与sn的关系并会应用(难点).2.掌握等差数列前n项和的性质及应用(重点).3.会求等差数列前n项和的最值(重点).4.会用裂项相消法求和(易错点)自 主 预 习探 新 知1sn与an的关系an2等差数列前n项和的性质(1)等差数列an中,其前n项和为sn,则an中连续的n项和构成的数列sn,s2nsn,s3ns2n,s4ns3n,构成等差数列(2)数列an是等差数列snan2bn(a,b为常数)思考:如果an是等差数列,那么a1a2a10,a11a12a20,a21a22a30是等差数列吗?提示(a11a12a20)(a1a2a10)(a11a1)(a12a2)(a20a10)100d,类似可得(a21a22a30)(a11a12 a20)100d.a1a2a10,a11a12a20,a21a22a30是等差数列3等差数列前n项和sn的最值(1)若a10,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得sn的最小值(2)若a10,d0,d0,则s1是sn的最小值;若a10,d0,则s1是sn的最大值思考:我们已经知道当公差d0时,等差数列前n项和是关于n的二次函数snn2n,类比二次函数的最值情况,等差数列的sn何时有最大值?何时有最小值?提示由二次函数的性质可以得出:当a10时,sn先减后增,有最小值;当a10,d0,d0,则等差数列中所有正项之和最大()(3)在等差数列中,sn是其前n项和,则有s2n1(2n1)an.()答案(1)(2)(3)2在项数为2n1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n等于()a9b10c11 d12b,.n10.故选b项3等差数列an中,s24,s49,则s6_.15由s2,s4s2,s6s4成等差数列得2(s4s2)s2(s6s4)解得s615.4已知数列an的通项公式是an2n48,则sn取得最小值时,n为_.【导学号:91432176】23或24由an0即2n480得n24.所有负项的和最小,即n23或24.合 作 探 究攻 重 难等差数列前n项和的性质(1)等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,求数列an的前3m项的和s3m;(2)两个等差数列an,bn的前n项和分别为sn和tn,已知,求的值解(1)在等差数列中,sm,s2msm,s3ms2m成等差数列30,70,s3m100成等差数列27030(s3m100),s3m210.(2).规律方法等差数列前n项和计算的几种思维方法(1)整体思路:利用公式sn,设法求出整体a1an,再代入求解.( (2)待定系数法:利用sn是关于n的二次函数,设snan2bn(a0),列出方程组求出a,b即可,或利用是关于n的一次函数,设anb(a0)进行计算.跟踪训练1(1)等差数列an中,a2a7a1224,则s13_.【导学号:91432177】(2)等差数列an的通项公式是an2n1,其前n项和为sn,则数列的前10项和为_(1)104(2)75(1)由a2a7a1224,得a78,所以s1313a713104.(2)因为an2n1,所以a13.所以snn22n,所以n2,所以是公差为1,首项为3的等差数列,所以前10项和为310175.等差数列前n项和sn的函数特征探究问题1将首项为a12,公差d3的等差数列的前n项和看作关于n的函数,那么这个函数有什么结构特征?如果一个数列的前n项和为sn3n2n,那么这个数列是等差数列吗?上述结论推广到一般情况成立吗?提示:首项为2,公差为3的等差数列的前n项和为sn2nn2n,显然sn是关于n的二次型函数且常数项为0,二次项系数为,一次项系数为a1;如果一个数列的前n项和为sn3n2n,那么当n1时,s1a14.当n2时,ansnsn16n2,则该数列的通项公式为an6n2,所以该数列为等差数列,事实上对于任何一个等差数列的前n项和都是关于n的二次型函数,且常数项为0,反之,一个数列的前n项和具备上述特征,该数列一定是等差数列2已知一个数列an的前n项和为snn25n,试画出sn关于n的函数图象你能说明数列an的单调性吗?该数列前n项和有最值吗?提示:snn25n2,它的图象是分布在函数yx25x的图象上的离散的点,由图象的开口方向可知该数列是递增数列,图象开始下降说明了an前n项为负数由sn的图象可知,sn有最小值且当n2或3时,sn最小,最小值为6,即数列an前2项或前3项和最小数列an的前n项和sn33nn2,(1)求an的通项公式;(2)问an的前多少项和最大;(3)设bn|an|,求数列bn的前n项和sn.【导学号:91432178】思路探究:(1)利用sn与an的关系求通项,也可由sn的结构特征求a1,d,从而求出通项(2)利用sn的函数特征求最值,也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用an判断哪些项是正数,哪些项是负数,再求解,也可以利用sn的函数特征判断项的正负求解解(1)法一:(公式法)当n2时,ansnsn1342n, 又当n1时,a1s1323421满足an342n.故an的通项公式为an342n.法二:(结构特征法)由snn233n知sn是关于n的缺常数项的二次型函数,所以an是等差数列,由sn的结构特征知解得a132,d2,所以an342n.(2)法一:(公式法)令an0,得342n0,所以n17,故数列an的前17项大于或等于零又a170,故数列an的前16项或前17项的和最大法二:(函数性质法)由yx233x的对称轴为x.距离最近的整数为16,17.由snn233n的图象可知:当n17时,an0,当n18时,an0,故数列an的前16项或前17项的和最大(3)由(2)知,当n17时,an0;当n18时,an0,由得又nn*,当n13时,sn有最大值169.法三:s9s17,a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a10,d0,a140;当n35时,ans7s5,有下列四个命题:d0;s12s7,a7s5,a6a70,a60,d0,正确s12(a1a12)6(a6a7)0,不正确sn中最大项为s6,不正确故正确的是.3已知等差数列an中,|a5|a9|,公差d0,则使得前n项和sn取得最小值的正整数n的值是_6或7由|a5|a9|且d0得a50,且a5a902a112d0a16d0,即a70,故s6s7且最小4数列an的通项公式an,其前n项和sn9,则n_.99an,sn(1)()()19.n99.5已知数列an的前n项和公式为snn230n.(1)求数列 an的通项公式an;(2)求sn的最小值及对应的n值.【导学号:91432181】解(1)snn230n,当n1时,a1s1

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