高中数学 黄金100题系列 第06练 导数的应用 理.doc

第6练 导数的应用一.强化题型考点对对练1.（导数与函数的单调性）已知函数的定义域为,为函数的导函数，当时，且，.则下列说法一定正确的是（ ）a bc. d【答案】b 即，故选b.2.（导数与函数的单调性）【2018届湖北省重点高中联考】若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】，.函数在单调递增，在上恒成立，即在上恒成立.令，则，当时， 单调递增，当时， 单调递减.选c.3. （导数与函数的极值与最值）设函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为（ ）a b c d【答案】c 4. （利用导数求参数的取值范围）【2018届黑龙江省大庆实验中学期中】已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】设 ， ， 时， ， 在上递增， ，设 ， ， 在 上递增，在 递减，且时，总有，画出，两函数的简图，如图，由图知，要使对任意的，总存在唯一的，使得成立，则 ，即实数的取值范围是，故选b.5（导数与函数零点相结合）已知函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 (为自然对数的底数)【答案】 6.（导数与函数的极值与最值）【2018届华大新高考联盟联考】若函数满足，则当时， （ ）a. 有极大值，无极小值 b. 有极小值，无极大值c. 既有极大值又有极小值 d. 既无极大值又无极小值【答案】c7 (导数的综合应用)设函数，其中，是自然对数的底.（1）求证：函数有两个极值点；（2）若，求证：函数有唯一零点.【解析】（1）. 令，其中，求导得：.令，得.当上，递减，当上，递增.故当时，取极小值，也是最小值.因为，所以，又，所以，因此在上有唯一零点.注意到，所以，以下证明：.注意到上述不等式，令，则，所以在上递减，所以，即，因此在上有唯一零点.所以时，递增；时，递减；时，递增；综上所述，函数有两个极值点，其中是极大值点，是极小值点. （2）由（1）函数的极小值为.因为，所以，所以. 以下先证：的极小值. ，因为，所以，所以，又，所以，于是，所以.再证：存在，使.取，因为，所以.综上可知，函数有唯一零点. 8. (导数的综合应用)【2018届安徽省马鞍山联考】已知函数的图象在处的切线过点.（1）若，求函数的极值点；（2）设是函数的两个极值点，若，证明： .（提示）（2）是方程的两个根， 是函数的极大值， 是函数的极小值，要证，只需， ，令，则，设，则，函数在上单调递减，.9.（导数的综合应用）已知函数.（1）设函数，讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求整数的最大值.（2）当时，恒成立，即在上恒成立，取，则，再取，则，故在上单调递增，而，故在上存在唯一实数根，故时，；时，故，故.二.易错问题纠错练10.（不能灵活转化而致错）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）a b c. d【答案】c【注意问题】函数在某个区间单调递减，导数值不一定都为负，可能在某些不连续点出导数值为0，但是不影响整个函数的单调性.11.（目标与已知条件不能联系而致错）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）a b c d【答案】b【解析】设，则，所以是上的减函数，由于为奇函数，所以，因为即，结合函数的单调性可知，所以不等式的解集是，故选b.【注意问题】利用单调性解抽象不等式时，关键要密切结论与已知条件的联系，通过构造合适的函数来求解.三.新题好题好好练12已知为定义在的函数的导函数，对任意实数，都有，则不等式的解集为_【答案】13【2018届高三广东省阳春市一中第三次月考】若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由 ，可得 在 恒成立，即为，当 时， 2显然成立；当 时，有 ，可得 设 由 时， ，则在递减，且 ，可得 ；当 时，有 ，可得 ，设 由 时， 在 递减，由时， 在 递增，即有 在 处取得极小值，且为最小值 ，可得 ，综上可得 故选b14已知是函数（，）的一个极值点，则函数的增区间为_【答案】15若函数的图象恒在轴上方，则实数的取值范围_【答案】【解析】当时，取，则，不合题意；当时，则在区间上，在区间上，的最小值为，所以只需，即，即16设，已知函数的导函数为，且（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）当方程有唯一实数根时，求实数的取值范围【解析】函数的定义域为，则由，得，则，所以（1），的单调递减区间是和（2）方程有唯一实数根等价于有唯一的实根显然，则关于的方程有唯一的实根构造函数，则由，得当时，单调递减，当时，单调递增，所以得极小值为作出函数的大致图像，则要使方程的唯一实根，只需直线与曲线有唯一的交点，则或，解得或，故实数的取值范围是17【2018届福建省福州期中】已知函数.（1）求函数的极值点；（2）设，若函数在 内有两个极值点，求证： .，在上大于等于零恒成立