高考数学 专题35 两条直线的位置关系热点题型和提分秘籍 文.doc

专题35 两条直线的位置关系1能根据直线的方程判断两条直线的位置关系。2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离。热点题型一 两条直线的平行与垂直例1、(1)若直线l1：ax2y60与直线l2：x(a1)ya210平行，则a_。(2)若直线l3：(a2)x(2a)y1与直线l4：(a2)x(3a4)y2互相垂直，则a的值为_。【解析】(1)直线l1：ax2y60的斜率为，在y轴上的截距为3。又因为直线l1与直线l2平行，所以直线l2：x(a1)ya210的斜率存在且等于，在y轴上的截距为(a1)。由两直线平行得，且3a1，解得a2或a1。【提分秘籍】由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：a1xb1yc10(ab0)l2：a2xb2yc20(ab0)l1与l2垂直的充要条件a1a2b1b20l1与l2平行的充分条件(a2b2c20)l1与l2相交的充分条件(a2b20)l1与l2重合的充分条件(a2b2c20)【举一反三】 已知过点a(2，m)和点b(m,4)的直线为l1，直线2xy10为l2，直线xny10为l3.若l1l2，l2l3，则实数mn的值为()a10 b2 c0 d8【答案】a【解析】l1l2，kab2，解得m8，又l2l3，(2)1，解得n2，mn10。热点题型二 直线的交点例2、经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程为_。 其斜率，解得，代入直线系方程即得l的方程为5x3y10。【提分秘籍】 常见的直线系方程运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：与直线axbyc0平行的直线系方程是：axbym0(mr且mc)；与直线axbyc0垂直的直线系方程是bxaym0(mr)；过直线l1：a1xb1yc10与l2：a2xb2yc20的交点的直线系方程为a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(r)，但不包括l2。【举一反三】 过点p(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2xy20和l2：xy30所截的线段ab以p为中点，则直线l的方程为_。点a的坐标为，由两点式可得l的方程8xy240。 热点题型三 距离公式及其应用 例3 (1) 若直线l1：x3ym0(m0)与直线l2：2x6y30的距离为，则m()a7 b.c14 d17(2) 过点p(1,2)引直线，使a(2,3)，b(4，5)到它的距离相等，则直线方程为_。【提分秘籍】距离的求法(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式。(2)两平行直线间的距离利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；利用两平行线间的距离公式。提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x，y的系数分别相等。【举一反三】 若动点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)分别在直线l1：xy50，l2：xy150上移动，则p1p2的中点p到原点的距离的最小值是()a. b5 c. d15【答案】b【解析】由题意得p1p2中点的轨迹方程是xy100，则原点到直线xy100的距离d5。热点题型四 对称问题及其应用例4、已知直线l：2x3y10，点a(1，2)。求：(1)点a关于直线l的对称点a的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点a(1，2)对称的直线l的方程。【解析】(1)设a(x，y)，再由已知又m经过点n(4,3)，由两点式得直线m方程为9x46y1020。(3)设p(x，y)为l上任意一点，则p(x，y)关于点a(1，2)的对称点为p(2x，4y)，p在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90。 【提分秘籍】处理对称问题的方法(1)在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称，处理这种问题要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上。(2)处理直线关于直线的对称问题可以转化为点关于直线的对称问题来解决。(3)直线关于点的对称都可以转化为点关于点的对称来处理。【举一反三】 在直线l：3xy10上求一点p，使得：(1)p到a(4,1)和b(0,4)的距离之差最大；(2)p到a(4,1)和c(3,4)的距离之和最小。【解析】设b关于l的对称点为b，ab与l的交点p满足(1)；c关于l的对称点为c，ac与l的交点p满足(2)。事实上，对(1)，若p是l上异于p的点，则ac所在直线的方程为19x17y930，ac和l交点坐标为，故p点坐标为。 12016四川卷设直线l1，l2分别是函数f(x)图象上点p1，p2处的切线，l1与l2垂直相交于点p，且l1，l2分别与y轴相交于点a，b，则pab的面积的取值范围是()a(0,1)b(0,2)c(0，)d(1，)【答案】a22014江苏卷在平面直角坐标系xoy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点p(2，5)，且该曲线在点p处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_【答案】3【解析】由曲线yax2过点p(2，5)可得54a.又y2ax，所以在点p处的切线斜率4a.由解得a1，b2，所以ab3. 32014四川卷设mr，过定点a的动直线xmy0和过定点b的动直线mxym30交于点p(x，y)，则|pa|pb|的最大值是_【答案】5【解析】易得a(0,0)，b(1,3)设p(x，y)，则消去m，得x2y2x3y0，所以p在以ab为直径的圆上，papb，所以|pa|pb|5.42013新课标全国卷已知点a(1,0)，b(1,0)，c(0,1)，直线yaxb(a0)将abc分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()a. (0,1) b. c. d. 【答案】b52013四川卷在平面直角坐标系内，到点a(1,2)，b(1,5)，c(3,6)，d(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_【答案】(2,4)1已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a()a1 b2c0或2 d1或2【答案】d【解析】若a0，两直线方程分别为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0；当a0时，两直线若平行，则有，解得a1或2。2当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限【答案】b【解析】解方程组得两直线的交点坐标为，因为0k，所以0，0，故交点在第二象限。3已知两点a(3,2)和b(1,4)到直线mxy30的距离相等，则m的值为()a0或 b.或6c或 d0或【答案】b【解析】依题意得，所以|3m5|m7|。所以3m5m7或3m57m。所以m 6或m。故应选b。4已知a，b两点分别在两条互相垂直的直线2xy0与xay0上，且ab线段的中点为p，则线段ab的长为()a11 b10c9 d8【答案】b【解析】由两直线垂直，得21，解得a2.所以中点p的坐标为(0,5)。则op5，在直角三角形中斜边的长度ab2op2510，所以线段ab的长为10。5已知点a(1,0)，b(cos，sin)，且|ab|，则直线ab的方程为()ayx或yxbyx或yxcyx1或yx1dyx或yx【答案】b6直线(a1)xya30(a1)，当此直线在x，y轴的截距和最小时，实数a的值是()a1 b.c2 d3【答案】d【解析】当x0时，ya3，当y0时，x，令ta35(a1)。a1，a10.t529。当且仅当a1，即a3时，等号成立。7若直线l1：2x5y200，l2：mx2y100与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为_。【答案】5【解析】l1、l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补。因为两坐标轴垂直，故l1l2，即2m100，m5。8点p(0,1)在直线axyb0上的射影是点q(1,0)，则直线axyb0关于直线xy10对称的直线方程为_。【答案】xy10必在xy10上，且则代入xy10，得xy10。9已知点a(5,4)和b(3,2)，则过点c(1,2)且与点a，b的距离相等的直线方程为_。【答案】x1或x4y70【解析】由题可知，当过点c的直线斜率不存在时，即直线为x1时，点a，b到直线的距离均为4；当直线斜率存在时，可知要使点a，b到直线的距离相等，则过点c的