高考数学 专题6.3 数列的综合问题试题 文.doc

专题6.3 数列的综合问题【三年高考】1. 【2017课标ii，文17】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， (1)若 ，求的通项公式；（2）若，求.【解析】（1）设an的公差为d，bn的公比为q，则an=-1+（n-1）d, bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3. （1） 由a3+b3=5得2d+q2=6 联立和解得d=3q=0（舍去），d=1，q=2。因此bn的通项公式bn=2n+1（2） 由b1=1，t1=21得q2+q-20=0.解得q=-5，q=4当q=-5时，由得d=8，则s3=21.当q=4时，由得d=-1，则s3=-6.2. 【2017天津，文18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（）求和的通项公式；（）求数列的前n项和.【解析】（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.由，可得.由，可得，联立，解得，由此可得.所以，的通项公式为，的通项公式为.3. 【2017北京，文15】已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5（）求的通项公式；（）求和：【解析】（i）设公差为， ,所以，所以.（）设的公比为，.=，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.4. 【2016高考浙江文数】如图，点列分别在某锐角的两边上，且，.(pq表示点p与q不重合)若，为的面积，则（ ）a.是等差数列 b.是等差数列 c.是等差数列 d.是等差数列【答案】a【解析】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，过作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了等腰梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，作差后：，都为定值，所以为定值故选a5. 【2016高考天津文数】已知是等比数列，前n项和为，且.()求的通项公式；()若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.【解析】（）设数列的公比为，由已知有，解之可得，又由知，所以，解之得，所以.（）由题意得，即数列是首项为，公差为的等差数列.设数列的前项和为，则6. 【2015高考浙江，文10】已知是等差数列，公差不为零若，成等比数列，且，则 ， 【答案】【解析】由题可得，故有，又因为，即，所以.7.【2015高考福建，文16】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于_【答案】98.【2015高考陕西，文21】设(i)求；(ii)证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.【解析】 (i)由题设，所以 由 得，所以 (ii)因为，所以在内至少存在一个零点，又，所以在内单调递增，因此，在内有且只有一个零点，由于，所以，由此可得，故，所以9.【2015高考上海，文23】已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即，求证：数列的第项是最大项；（3）设，求的取值范围，使得对任意，且 .【解析】（1）因为，所以，所以是等差数列，首项为，公差为6，即.（2）由，得，所以为常数列，即，因为，所以，即，所以的第项是最大项.（3）因为，所以，当时， ，当时，符合上式，所以，因为，且对任意，故，特别地，于是，此时对任意，当时，由指数函数的单调性知，的最大值为，最小值为，由题意，的最大值及最小值分别是及，由及，解得，综上所述，的取值范围是.【2017考试大纲】【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 等差数列与等比数列的综合，数列与应用问题的结合，数列与函数、方程、不等式、向量、平面解析几何、向量、三角函数的有机结合，互相渗透，已经成为近年来高考的热点和重点【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出，对等差数列与等比数列的综合考察,“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”“需要什么，就求什么” ， 既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得 与“巧用性质”解题相同的效果对数列与应用问题的结合的考察，主要是将实际应用问题转化为数列模型，关键是要熟悉等差数列模型、等比数列模型，以及注意项与项之间的递推关系数列与函数、方程、不等式的结合，此类问题抓住一个中心-函数,一是数列和函数的密切联系，数列的通项公式是数列的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，注意利用它们的对应关系解题数列与其他知识的结合，主要是通过三角函数或者解析几何或者向量中包含的等量关系，得出数列的递推公式或者通项公式，进而利用数列知识求解数列问题是每年必考题目，预测2018年会继续考查，以等差数列和等比数列的综合应用题为主，要灵活掌握等差数列和等比数列的性质 【2018年高考考点定位】高考对数列综合应用问题的考查有四种主要形式：一是等差、等比的综合应用；二是等差、等比数列在实际中的应用；三是数列与函数、方程、不等式等其他知识的交汇考察【考点1】等差数列、等比数列的综合应用【备考知识梳理】1等差数列的判定：（为常数）；（为常数）；（为常数）其中用来证明方法的有2.等比数列的判定：（）；（）；其中用来证明方法的有3等差数列的通项公式： ，2等比数列的通项公式：，4等差数列前n项和公式：sn= sn=5.等比数列前n项和公式：当q=1时，sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q1时，sn= sn=6等差数列an中，若m+n=p+q，则7等比数列an中，若m+n=p+q，则8等差数列an的任意连续m项的和构成的数列、仍为等差数列.9等比数列an的任意连续m项的和构成的数列仍为等比数列（当m为偶数且公比为-1的情况除外）10两个等差数列an与bn的和差的数列an+bn、an-bn仍为等差数列11两个等比数列an与bn的积、商、倒数的数列anbn、仍为等比数列12.等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列13等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列14等差中项公式：a= （有唯一的值）15. 等比中项公式：g= （ab0，有两个值）【规律方法技巧】解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解【考点针对训练】1. 【2017河北唐山三模】是公差不为0的等差数列， 是公比为正数的等比数列， ， ， ，则数列的前项和等于_【答案】【解析】设等差数列公差为，等比数列公比为，则由题有，解得： ，所以， ，则，设数列的前n项和为，则所以；-得： 所以，整理得： .2. 【2017四川泸州四诊】已知数列的前项和满足，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）因为，所以，即（），即数列是以2为公比的等比数列，又成等差数列，所以，即，解得，所以数列的通项公式为（2）由（1）得，因为，所以.【考点2】等差数列、等比数列的实际应用【备考知识梳理】解数列应用题的建模思路从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：【规律方法技巧】1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题.2.将实际问题转化为数列问题时应注意：（1）分清是等差数列还是等比数列；（2）分清是求an还是求sn，特别要准确地确定项数n.【考点针对训练】1. 【广西高级中学2017届高三11月阶段性检测】在我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有 盏灯【答案】 2【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】张丘建算经卷上第题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”. 其意思为: 现一善于织布的女子，从第天开始，每天比前一天多织相同量的布，第天织了五尺，一个月（按天计算）共织九匹三丈（一匹=四丈，一丈=十尺），记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ）a b c. d【答案】b【解析】设公差为，则，故选b.【考点3】数列与其他知识的交汇【备考知识梳理】数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命题，近年由于对数列要求降低，但仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇.归纳起来常见的命题角度有：1)数列与不等式的交汇；2)数列与函数的交汇；3)数列与解析几何的交汇.【规律方法技巧】1解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了2解决数列与函数、方程、三角函数、向量等知识结合的问题时，要通过其他知识，把问题转化为数列项的递推式或通项公式转化为数列问题处理【考点针对训练】1. 【2017黑龙江哈师大附中三模】方程的解称为函数的不动点，若有唯一不动点，且数列满足， ，则_【答案】2017【解析】由题意可知，方程有唯一的解，所以有唯一的解，所以，所以，可得，所以，得，所以数列是以1为首项，1位公差的等差数列，可得，所以.2. 【黑龙江、吉林两省八校2017届高三上学期期中】已知数列与满足，若的前项和为且对一切恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【应试技巧点拨】1运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量(或)，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算2深刻理解等差(比)数列的定义，能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题3关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n项和公式构造关于 (或)的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式(2)方程思想的应用往往是破题的关键4数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性 1. 【安徽师范大学附属中学2017届高三期中】公差不为零的等差数列的前项和为，若是的等比中项, ,则等于 （ ）a18 b 24 c60 d 90【答案】c【解析】由题意可知，整理得，因为，所以，所以，故选c.2. 【宁夏育才中学2017届高三第二次月考】已知数列中，前项和为，且点在直线上，则（ ）a、b、c、d、【答案】c【解析】数列是首项公差为的等差数列，故选c. 3. 【福建省福州外国语学校2017届高三适应性考试（三）】已知等差数列的公差，且，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（ ）a4b3cd2【答案】a【解析】由已知有，所以有，数列通项公式,所以,当且仅当,即时等号成立.选a.4. 【山西省太原市2017届高三上学期阶段性测评（期中）】已知等差数列的前项和为，且，数列满足，若，则的最小值为（ ）a b c. d【答案】c【解析】,令，则，两式作差得，所以，又，当时，即得的最小值为，故选c. 5. 【河北省冀州中学2017届高三第二次阶段考试】数列满足与（与分别表示的整数部分与分数部分），则（ ）a b c. d【答案】b【解析】因为数列满足与，所以，所以，所以6. 【安徽师范大学附属中学2017届高三期中】用表示不超过的最大整数，例如，.已知数列满足，则_.【答案】【解析】因为，所以，因此数列是递增数列，且，由得，所以，所以7. 【山西省太原市2017届高三（期中）】已知数列的前项和为，且,数列满足, 则数列的前项和 _.【答案】8. 【四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试】设数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)令，解得由，有， 两式相减得，化简得（n2）， 数列是以首项为1，公比为2 的等比数列， 数列的通项公式 (2)由，整理得k，令，则， n=1，2，3，4，5时， n=6，7，8，时，即 b5=， 的最大值是实数k的取值范围是 9. 【河南省豫北名校联盟2017届高三精英对抗赛】已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.【解析】（1）设数列的公差为，则即 又因为，所以 所以. （2）因为，所以. 因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使成立. 又，（当且仅当时取等号），所以.即实数的取值范围是. 10. 【2017届湖南省衡阳市高三二联】已知数列中， ， （， ）.（1）写出、的值（只写出结果），并求出数列的通项公式；（2）设，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】， ，当时， ，当时， 也满足上式， (2) ，则数列是单调递减数列， 或11. 【湖北2016年9月三校联考】在各项均为正数的等比数列中，且成等差数列，记sn是数列an的前n项和，则 ( )a32 b62 c27 d81 【答案】b【解析】设公比为，则，由成等差数列得，即，解之得或（舍），所以，故选b.12. 【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺五】设数列满足，点对任意的，都有向量，则数列的前n项和_.【答案】 13.【2016届上海市七宝中学高三模拟】设，且为常数，若存在一公差大于0的等差数列（），使得为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组的值_.【答案】（答案不唯一，一组即可）【解析】由题设可取,此时,存在数列,满足题设,应填答案.14.【2016届广东省华南师大附中高三5月测试】已知函数，数列的前项和为，点（）均在函数的图象上（）求数列的通项公式；（）令，证明：【解析】（）点在的图象上，当时，；当时，适合上式，（）；（）由，又，成立 15. 【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺二】已知数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，是否存在，使得成等比数列？若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当时，即，所以数列是首项为的常数列.所以，即.所以数列的通项公式为.（2）假设存在，使得成等比数列，则，因为，所以，这与矛盾.故不存在，使得成等比数列. 【一年原创真预测】1已知各项均为正数的递增数列的前项和为满足，（），若成等差数列，则（）a8b9c7或8d8或9【答案】d【解析】当时，解得；当时，由，得，则，整理，得，配方，得由题意知，数列为单调递增数列，且，则，即，所以数列为等差数列，则，所以，则由成等差数列，得，所以因为，故只能取2，3，5当时，；当时，；当时，所以或9，故选d【入选理由】本题考查数列通项与前项和间的关系、等差数列，意在考查运算求解能力、逻辑推理能力、估算能力本题是数列综合应用,也是高考常考题型