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第25讲 三角函数最值（值域）的求法【知识要点】一、的图象与性质性质图象定义域值域最值当时，；当时，当时，；当时，既无最大值，也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.二、复合函数的单调性设，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数.如下表：增增增增减减减增减减减增【方法讲评】方法一利用三角函数的单调区间求函数的最值使用情景一般是区间上的三角函数的最值.解题步骤先求三角函数的单调区间，再根据单调区间求出函数的最值.【例1】已知函数（）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；（）求函数在区间上的值域.【解析】（1） 由函数图象的对称轴方程为 【点评】（1）研究函数的问题，要想到利用函数的性质来研究它，求出了它的单调区间，就知道了函数的大致走势，就可以确定函数的最值(值域).（2）求三角函数的单调区间，一般要根据复合函数的单调性来求. 【反馈检测1】已知函数 （）将函数化简成的形式，并指出的周期； （）求函数上的最大值和最小值.方法二利用复合函数的性质求三角函数的最值使用情景一般是区间上的三角函数的最值解题步骤从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.【例2】已知函数（）的最小正周期为（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围【点评】（1）对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.（2）这种方法的关键是由得到，这一步的完成主要是把看成一个整体，通过观察正弦函数的图像得到.【反馈检测2】已知函数 （）将函数化简成（，）的形式；（）求函数的值域.方法三利用换元法求三角函数的最值使用情景一般函数形如或当已知中同时有或者同时有.解题步骤先将三角函数化简，再换元，最后求函数的最值.【例3】已知函数.（）求的值；（）求的最大值和最小值. 【点评】（1）看到形如的函数要联想到二次函数，构造二次函数.（2）换元时一定要注意新“元”的范围，要注意命题的等价性.【反馈检测3】求函数的最大值与最小值.【例4】求函数，的值域.【解析】令，则由且可得：当时，当时，故所求函数的值域为.【点评】（1）由于，所以当已知中同时有或者同时有时，可以考虑换元，化成一个二次函数.（2）换元时注意利用三角函数的知识求准新元的范围.【反馈检测4】求函数的值域.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第25讲:三角函数最值（值域）的求法参考答案【反馈检测1答案】（1）；（2）有最小值，有最大值2.【反馈检测2答案】（1） （2）【反馈检测2详细解析】（）（）由得在上为减函数
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