高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第13讲 函数的零点个数问题的求解方法.doc

第13讲 函数的零点个数问题的求解方法【知识要点】一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数（，把使成立的实数叫做函数（的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图像与轴的交点的横坐标，即：方程有实数根函数的图像与轴有交点函数有零点. （3）零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在使得，这个也就是方程的根. 函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有是函数在区间内至少有一个零点的一个充分不必要条件. 零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决.二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法.（2）给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步：确定区间，验证，给定精确度.第二步：求区间的中点.第三步：计算：若=0，则就是函数的零点；若，则令 （此时零点）若，则令（此时零点）第四步：判断是否达到精确度即若，则得到零点值或，否则重复第二至第四步.三、一元二次方程的根的分布讨论一元二次方程的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组：（1）的符号； （2）对称轴的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入.五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法.【方法点评】方法一方程法使用情景方程可以直接解出来.解题步骤先解方程，再求解.【例1 】已知函数区间内有零点，求实数的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数在区间上的零点个数是（ ）a4 b5 c6 d 7方法二图像法使用情景一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析. 【例2】（2017全国高考新课标i理科数学）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.(2) 若由（1）知至多有一个零点. 若，由（1）知当时，取得最小值，.（i）当时，=0，故只有一个零点.（ii）当时，由于0，即，故没有零点.（iii）当时，即.故在只有一个零点.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当时，要先判断的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是要说明，这里利用了放缩法，丢掉了.(3) 当时，要判断上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是，再放缩证明0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性. 【例3】已知是函数的一个极值点.（）求；（）求函数的单调区间；（）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围.（）由（）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，所以的极大值为，极小值为因此所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当，因此，的取值范围为【点评】本题第(3)问，由于函数中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数，其中为实数，常数.(1) 若是函数的一个极值点，求的值；(2) 当时，求函数的单调区间；(3) 当取正实数时，若存在实数，使得关于的方程有三个实数根，求的取值范围.方法三方程图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令,重新构造方程,再画函数的图像分析解答.【例4】函数的零点有 （ ） a4 个 b3 个 c2个 d1个yx【点评】（1）本题主要考察零点的个数，但是方程也不好解，直接研究函数的单调性不是很方便，所以先令,可化为,再在同一直角坐标系下画出和的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用. 【反馈检测3】设函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数与图象的交点个数高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第13讲：函数零点个数问题的求解方法参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测2答案】（1）；（2）的单调增区间是，；的单调减区间是，；（3）的取值范围是.【反馈检测2详细解析】(1) 因为是函数的一个极值点，所以，即.而当时，可验证：是函数的一个极值点.因此. (2) 当时，令得，解得，而.所以当变化时，、的变化是极小值极大值因此的单调增区间是，；的单调减区间是，； 【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是, 单调递减区间是；（2）【反馈检测3