高考数学 考点一遍过 专题51 不等式选讲 文.doc

专题51 不等式选讲1理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1） .（2）.（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：.2了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.（1）柯西不等式的向量形式：（2）.（3）.（此不等式通常称为平面三角不等式.）3会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：4会用向量递归方法讨论排序不等式.5了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.6会用数学归纳法证明伯努利不等式：了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立.7会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值.8了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a=0a0|x|ax|-axax|xa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc;|ax+b|cax+bc或ax+b-c.(3)|x-a|+|x-b|c和|x-a|+|x-b|c型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.2.绝对值三角不等式(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.(3)推论1:|a|-|b|a+b|.(4)推论2:|a|-|b|a-b|.【技能方法】（一）含绝对值不等式的解法方法解读适合题型1公式法利用公式|x|a-ax0)和|x|axa或x0)直接求解不等式|f(x)|g(x)或|f(x)|g(x)2平方法利用不等式两边平方的技巧,去掉绝对值,需保证不等式两边同正或同负|f(x)|g(x)|f(x)2g2(x)3零点分段法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解|f(x)|g(x)|a,|f(x)|g(x)|a4几何法利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解|xa|xb|c,|xa|xb|c5图象法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解或通过移项构造一个函数如|f(x)|+|g(x)|a可构造y=|f(x)|+|g(x)|-a或y=|f(x)|+|g(x)|与y=a（二）含绝对值不等式的恒成立问题的解题规律1.根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值,转化为分段函数,然后利用数形结合解决.2.巧用“|a|-|b|ab|a|+|b|”求最值.(1)求|a|-|b|的范围:若ab为常数m,可利用|a|-|b|ab|-|m|a|-|b|m|确定范围.(2)求|a|+|b|的最小值:若ab为常数m,可利用|a|+|b|ab|=|m|,从而确定其最小值.3.f(x)a恒成立f(x)maxa恒成立f(x)mina.二、不等式的证明1.基本不等式(1)基本不等式:如果a,b0,那么,当且仅当a=b时,等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.(2)算术平均几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1,a2,an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即,当且仅当a1=a2=an时,等号成立.2.柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(2)柯西不等式的向量形式:设,是两个向量,则|,当且仅当是零向量或是零向量或存在实数k使=k时,等号成立.(3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2r,那么.(4)一般形式的柯西不等式:设a1,a2,an,b1,b2,bn是实数,则(+)(+)(a1b1+a2b2+anbn)2,当且仅当ai=0或bi=0(i=1,2,n)或存在一个数k使得ai=kbi(i=1,2,n)时,等号成立.3.证明不等式的基本方法(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证法和放缩法;(5)数学归纳法.考向一 绝对值不等式的求解解绝对值不等式的常用方法有：（1）基本性质法：对.（2）平方法：两边平方去掉绝对值符号.（3）零点分区间法（或叫定义法）：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解.（4）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.（5）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.典例1已知函数，且不等式的解集为，（1）求的值；（2）对任意实数，都有成立，求实数的最大值【解析】（1）若，原不等式可化为，解得，即；若，原不等式可化为，解得，即；若，原不等式可化为，解得，即综上所述，不等式的解集为，所以（2）由（1）知，所以，故，即，解得，所以实数的最大值为2 1不等式的解集为abcd考向二 含绝对值不等式的恒成立问题含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：（1）分享参数法运用“”可解决恒成立中的参数范围问题.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“”求最值.（2）更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.（3）数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题.典例2 若不等式log2(|x+1|+|x-2|m)2恒成立,则实数m的取值范围是.【答案】(,-12关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为abcd考向三 不等式的证明比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差变形判断差的符号下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明. 典例3 已知函数，m为不等式f(x) 2的解集.（1）求m；（2）证明：当a，bm时，a+b1+ab.【解析】（1）当时，由得解得；当时， ；当时，由得解得.所以的解集.（2）由（1）知，当时，从而，因此3已知在中，角，所对的边分别为，（1）证明：；（2）若，且恒成立，求实数的最小值1关于的不等式的解集为,则a或bcd2已知不等式|x+2|x|a的解集不是空集,则实数a的取值范围是a2,+)b2,+)c2,2)d(,23关于x的不等式|x+1|+|2x4|6的解集为a(,3)(1,+)b(3,1)c(,1)(3,+)d(1,3)4定义:m(a,b)=,m(a,b)=,其中a,br,则下列等式不成立的是am(a,b)+m(a,b)=a+bbm(|a+b|,|ab|)=|a|b|cm(|a+b|,|ab|)=|a|+|b|dm(m(a,b),m(a,b)=m(a,b)5已知f(x)=|x1|+|x+2|,若关于x的不等式f(x)a22a对于任意的xr恒成立,则实数a的取值范围是a(1,3)b(1,1)c(1,3)d(3,1)6若函数的最小值3，则实数的值为 a或b或c或d5或7不等式|2x+1|+|2x9|10的解集为.8已知不等式|2x1|a|x2|恒成立,则实数a的取值范围为.9已知不等式|2xa|+a6的解集为2,3,则实数a的值为.10已知函数f(x)=x1(x0,xr),则不等式f(|x+|)+f(|x+2|)1的解集为.11已知函数,(1)解不等式；(2)若对于,有,求证:.12已知函数.(1)若,解关于的不等式;(2)若,使,求的取值范围.13已知;(1)若的解集为,求的值;(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.14已知函数,且的解集为(1)求的值;(2)若,且,求证:15已知为任意实数.(1)求证:;(2)求函数的最小值.1（2017年高考新课标i卷文）已知函数，.（1）当a=1时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含1，1，求a的取值范围.2（2017年高考新课标ii卷文）已知证明：（1）；（2）3（2017年高考新课标iii卷文）已知函数f（x）=x+1x2.（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围.4（2017年高考江苏卷）已知为实数，且证明：5（2016高考新课标卷文）已知函数.（1）画出的图象；（2）求不等式的解集 变式拓展1【答案】c 【解析】或或，即，故选c2【答案】d 3【解析】（1）因为，为正实数，所以由均值不等式可得，即，所以，又，所以，当且仅当时，取等号（2）根据柯西不等式可得，即，当且仅当，即，时，取等号，又，所以，因为恒成立，所以实数的最小值为 考点冲关1【答案】b【解析】.若则.,无解若则.2【答案】a【解析】构造函数y=|x+2|x|,可求得其最小值为2,因为不等式|x+2|x|a的解集不是空集,所以a2.3【答案】c【解析】由题意知,原不等式可化为或或,解得x3,所以不等式|x+1|+|2x4|6的解集为(,1)(3,+).4【答案】b故选b优解取a=1,b=2,则m(|a+b|,|ab|)=m(1,3)=112,故b不正确.5【答案】a【解析】因为|x1|+|x+2|(x1)(x+2)|=3,所以函数f(x)的最小值为3.要使不等式f(x)a22a对于任意的xr恒成立,只需a22a3,即(a+1)(a3)0,解得1aa|x2|恒成立,即a|2x1|+|x2|恒成立.令f(x)=|2x1|+|x2|,则f(x)=易知当x=时,f(x)取得最小值,且f(x)min=f()=,所以a1等价于|x+|+|x+2|3,等价于或或解得x,所以不等式的解集为(,)(,+).11【解析】(1)不等式f(x)x+1,等价于|2x1|x+1,即x12x1x+1,解得0x2,故不等式f(x)x+1的解集为(0,2).(2),所以f(x)=|2x1|=|2(xy1)+(2y+1)|2(xy1)|+|(2y+1)|2+1. (2),使等价于,因为,所以,所以的最小值为,所以,得或所以的取值范围是.13【解析】(1)即,平方整理得:,所以根据题意，可得3,1是方程的两根,解得.(2)因为,所以要使不等式恒成立只需,当时,解得,当时,此时满足条件的a不存在.所以=9(或展开运用基本不等式)所以.15.【解析】(1).因为,所以.(2)=1111=,即.直通高考又在的最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题.2【解析】（1）（2）因为所以，因此【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法3【解析】（1），当时，无解；故m的取值范围为.【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数