高考数学 黄金100题系列 第07题 分段函数 理.doc

第7题 分段函数i题源探究黄金母题【例1】已知函数，求，的值【解析】，精彩解读【试题来源】人教版a版必修一第45页b组第4题【母题评析】本题以分段函数为载体，考查函数的求值问题本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到既考查运算能力与及分类讨论思想的应用的目的【思路方法】考察自变量的值与分段函数每一段函数的定义域关系，正确选用解析式如果自变量以参数形式出现，注意考虑分类讨论思想的应用ii考场精彩真题回放【例2】【2017新课标3理15】设函数则满足的x的取值范围是_【答案】【解析】令 ，当时，当时，当时，写成分段函数的形式：，函数 在区间 三段区间内均单调递增，且，据此x的取值范围是： 【例3】【2017江苏14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上， 其中集合，则方程的解的个数是 【答案】8【解析】解法一：由于则需考虑的情况，在此范围内，时，设 ，且 互质若 ，则由 ，可设 ，且 互质因此 ，则 ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此因此 不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8解法二：是有理数集，自变量，所对应的函数值都为有理数，且在函数上对应的空心点函数值也为有理数，令等于这些函数值与空心点函数值所求得在区间内皆为无理数，故 不能与函数上所对应的函数值及空心点函数值相交，故答案为8 个【例4】【2017天津理8】已知函数设，若关于x的不等式在r上恒成立，则的取值范围是 （ ）a b c d【答案】a解法一：当时，函数对称轴左侧图象的斜率为，故对称轴左侧图象与无交点，要使关于x的不等式在r上恒成立，则在上恒成立由均值不等式可得，当且仅当，即（负值舍去）时取最小值，当时，符合题意；当时，必须满足当时，的对称轴左侧图象恒在下方（至多相切），当时，取最小值综上可得，故选a解法二：不等式为（*）当时，（*）式即为，又（时取等号），（时取等号），当时，(*)式为又（当时取等号），（当时取等号），综上，故选a【命题意图】本类题考查分段函数的求值【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往与分段函数的求值、分段函数的性质、分段函数图象及应用、分段函数与其它知识（不等式、方程、程序框图等）知识的交汇或综合【难点中心】分段函数也是函数，因此主要也是要关心它的图象与性质，以及图象与性质的应用其难点主要体现在：（1）函数的求值问题必须考虑自变量的所属范围，无法判断时须利用分类讨论思想解决；（2）分段函数的图象画法，因为它的每一段多数由基本初等函数构成，处理分界点的图象是一个难点，当函数是非基本函数图象时，常常要联系其它知识来作（如利用导数）；（3）求解分段函数的性质中的参数问题，常常要用到数形结合法、分裂参数法、构造法等数学方法来解决iii理论基础解题原理考点一分段函数的概念（1）定义：在函数的定义域内，对于自变量不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数函数的解析式中的绝对值含有未知数，此函数实质上也是分段函数（2）定义域：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集（3）值域；分段函数的值域是各段函数值集合的并集考点二分段函数图象（1）图象的构成：分类函数不同区间上的表达式不同，但每一段的函数解析式基本上都是常见的基本初等函数关系，因此分段函数的图象基本上是两个或两个以上的基本初等函数的部分图象共同所构成的（2）图象的作法：通常是逐段作出其函数图象，而作每一段函数的图象时，通常是作出所涉及到基本函数的图象，然后根据每一段的定义域进行截取，但必须注意各个分段的“端点”是空心还是实心考点三 分段函数的性质1分段函数的单调性：判断分段函数的单调性首先应该判断各分段分区间函数的单调性：（1）如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起；（2）如果单调性不相同，则直接可分开说明单调性2分段函数的奇偶性：判断分段函数的奇偶性主要有两种方法：（1）如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性；（2）与初等函数奇偶性的判断一样，也可根据定义，一般分两步进行：判断定义域是否是对称区间；对定义域中任意一个实数，判断与的关系iv题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系【技能方法】已知分段函数的最值求参数的取值范围的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式，注意取值范围的大前提，利用函数的单调性寻找关于参数的不等式（组）若能利用数形结合可加快求解的速度【易错指导】（1）当自变量以字母参数的形式出现时，易忽视对字母的分类讨论，造成少解；（2）判断函数的奇偶性时，忽视函数定义域的对称性的判断，或函数在有定义时，忽视对的验证；（3）判断函数单调性时，不考虑函数在分界点是否连续，或忽视函数在分界点处的函数值及此点左右两端的函数值的大小比较，造成逻辑思维不严谨；（4）将含有绝对值符号的函数化为分段表示时，在找分界点易出现错误，或判断符号时出现错误；v举一反三触类旁通考向1求解分段函数的函数值【例1】【2018江西宜春昌黎实验学校第二次段考】已知函数 则（ ）a b c d【答案】a【解析】，又，故选【例2】【2017高考山东卷文数】设，若，则a2 b4 c6 d8【答案】c【名师点睛】求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围【例3】【2018河北邢台高一上学期第一次联考】设 则的值为 ()a b c d【答案】d【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、复合函数求函数值，属于中档题对于分段函数解析式的考查是高考命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰本题解答分两个层次：首先求出 的值，进而得到的值【例4】【2018山西45校第一次联考】函数的定义域为，且对任意，都有，若在区间上则（ ）a0 b1 c2 d2018【答案】c【解析】由知，是周期为2的函数，故，代入解析式，得，解得，从而，故故选c【跟踪练习】1【2018名校大联考第二次联考】设函数且，则（ ）a1 b2 c3 d6【答案】c【解析】函数所以，解得所以故选c2设函数则满足的取值范围是（ ）（a）（b）（c）（d） 【答案】c3【2018安徽滁州9月联合质量检测】设是定义域为，最小正周期为的函数，且在区间上的表达式为，则（ ）a b c1 d-1【答案】d【解析】故选d考向2求分段函数的最值（或值域）【例5】【2018湖南永州一模】定义为中的最大值，设，则的最小值是（ ）a2 b3 c4 d6【答案】c【解析】画出函数的图象，如图，由图可知，函数在 处取得最小值，即的最小值为，故选b【例6】【2017江苏南京模拟】设常数，函数，则在区间上的取值范围为_【答案】【解析】当时，令，则，；当且时，则，令，则， ，函数所以当时，的取值范围是，应填答案点睛：解答本题的关键是运用三角换元法探求分段函数，则在区间上的值域求解时充分运用分类整合思想，对定义域分和两种情形进行分类整合，特别在最后的函数值域的整合过程中，充分利用了这一题设条件，从而使得问题获解【例7】【2017湖南师范大学附属中学模拟二】已知函数f(x)x|x212|的定义域为0，m，值域为0，am2，则实数a的取值范围是_【答案】a1函数f(x)的定义域为0，m，值域为0，am2，分为以下情况考虑：当0m2时，函数的值域为0，m(12m2)，有m(12m2)am2，所以am，因为0m4；当2m4时，函数的值域为0，16，有am216，所以a，因为2m4，所以1a4；当m4时，函数的值域为0，m(m212)，有m(m212)am2，所以am，因为m4，所以a1综上所述，实数a的取值范围是a1【跟踪练习】1已知函数，则 ，的最小值是_【答案】，【解析】；当时，当且仅当时，等号成立，当时，当且仅当时，等号成立，故最小值为【名师点睛】本题主要考查分段函数以及求函数的最值，属于容易题，在求最小值时，可以求每个分段上的最小值，再取两个最小值之中较小的一个即可，在求最小值时，要注意等号成立的条件，是否在其分段上，分段函数常与数形结合、分类讨论等数学思想相结合，在复习时应予以关注2【2015高考福建理14】若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是_【答案】【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运用考向3分段函数的奇偶性【例8】【2016届北京市海淀区高三第二学期期中练习理】已知函数是偶函数，则下列结论可能成立的是（）abcd【答案】c【点评】分段函数的奇偶性主要有两种题型：（1）判断已知函数的单调性，通常根据判断定义域是否对称、确定与的关系来判断；（2）根据函数的奇偶性求解参数问题，此类的解答通常要利用或建立方程来解决【跟踪练习】设奇函数，则的值为_【答案】0【解析】本题考查分段函数、函数的奇偶性因为为奇函数，所以，即，所以；由，得，所以；由，得，所以，所以，所以【方法点拨】已知函数为奇函数求相关的参数时，须注意如果函数在时有定义，则必有，但如果在时没有定义，则通常考虑利用奇函数的定义或取特殊值求解考向4分段函数的单调性【例9】【2018安徽滁州9月联合质量检测】若函数|在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）a bc d【答案】b【解析】，分三种情况讨论当时， ，所以；当时， ，显然单调；当时， ，所以综上： 或故选b点睛：含绝对值的函数问题，一般的思路是去绝对值，即将函数转成分段函数，含参数时，只需讨论参数范围即可【例10】【2017北京朝阳区二模】设函数则_；若在其定义域内为单调递增函数，则实数的取值范围是_【答案】 2 【解析】，由于在其定义域内为单调递增函数，所以填 (1)2 (2)【例11】【2017山东济宁3月模拟】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是_【答案】【跟踪练习】1【2017浙江宁波效实中学高三上期中考试理科】函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（）abcd【答案】d【解析】是上的单调递减函数，故选d【易错点睛】分段函数的基本出发点是分段函数分段算，本题容易遗漏的不等式是，将分段函数在上单调递减的充要条件错误地等价为在各自分段上单调递减即可，而忽视了还需保证在分段的转折点处，函数的图象不上升2【2018江苏南京上学期期初学情调研】已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则实数a的取值范围为_【答案】0，23，8有两个整数点满足，不合题意， 时，只有一个点满足符合题意，当时，至少存在两点满足不合题意，故答案为点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等考向5分段函数的对称性【例12】【2018齐鲁名校教科研协作体第一次调研】已知，若有个根，则的取值范围是_【答案】 【跟踪练习】若函数的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则实数的取值范围是（）abcd【答案】d【解析】本题考查分段函数的图象的对称性、函数图象的应用当时，函数，则，于是当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，且，且又当时，函数恒过定点，由此可作出函数的图象，由图可知，要使函数的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则函数关于原点对称的函数图象与直线有且仅有两个交点，如图所示由，得，则函数在点的切线斜率为1，由此根据图可知实数的取值范围是或，故选d【名师点睛】求解分段函数的图象关于原点存在对称点问题的策略：首先将轴一侧的函数图象作关于原点的对称图象，然后考虑此图象与原函数在此侧的函数图象之间的交点问题，通常根据它们的位置关系可建立关于参数的不等式求解考向6分段函数的图象交点【例13】【2016届西安中学高三第四次仿真理】已知定义在上的函数满足：（1），（2）；（3）在上表达式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为（）a5 b6 c7 d8【答案】b【知识拓展】若函数满足或，则函数的图象关于点对称；若函数满足或，则函数的图象关于直线对称【跟踪练习】【2018海南八校联考】设函数，其中(1)若直线与函数的图象在上只有一个交点，求的取值范围；(2)若对恒成立，求实数的取值范围【答案】(1) 或；(2) (2)当时， ， ，令得；令得， 递增；令得， 递减，在处取得极小值，且极小值为，当即时， ，即，无解，当即时， ，即，又，综上， 点睛：函数交点问题，研究函数的单调性找函数最值，求参；恒成立求参，对于分段函数来讲，分段讨论最值即可考向7分段函数的零点【例14】【2018辽宁庄河高级中学、沈阳二十中第一次联考】函数，则函数的零点个数为（ ）a2个 b3个 c4个 d5个【答案】d当时， ，据此可得：；当时， ，据此可得：；当时， ，而，则函数与函数在区间上有2个交点，很明显，当时，函数图象没有交点，绘制函数图象如图所示，观察可得：函数的零点个数为5个点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点【例15】【2018吉林省百校联盟九月联考】已知函数函数，则下列说法错误的是（ ）a若，则函数无零点 b若，则函数有零点c若，则函数有一个零点 d若，则函数有两个零点【答案】a【跟踪练习】1【2018广东珠海一中等六校第一次联考】已知函数，则函数的零点个数是（ ）a4 b5 c6 d7【答案】a【解析】令t=f（x），f（x）=0，则f（t）2t=0，分别作出y=f（x）和直线y=2x+，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2，则t1=0，1t22，即有f（x）=0有一根；1f（x）2时，t2=f（x）有3个不等实根，综上可得f（x）=0的实根个数为4，即函数f（x）=ff（x）2f（x）的零点个数是4点睛：本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t对应几个x2【2017天津二模】已知函数则函数的所有零点构成的集合为_【答案】考向8分段函数与方程的关系【例16】【2018甘肃兰州西北师范大学附属中学高三一调】若函数，则方程的根的个数为（ ）a1 b2 c3 d4【答案】c【解析】【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解【例17】【2018湖南永州一模】定义函数， ， ，若存在实数使得方程无实数根，则实数的取值范围是_【答案】 【跟踪练习】1已知函数，则方程实根的个数为_【答案】4【解析】由题意将问题转化为求函数与交点个数以及函数与交点个数之和，因为，所以函数与有两个交点，又，所以函数与有两个交点，因此共有4个交点【名师点晴】方程的根也就是与方程对应的函数的零点，因此方程根的个数问题，可以考虑通过构造相应的函数，将其转化为函数零点个数多少问题求解，也可以考虑直接通过分离，转化为函数的值域问题求解2【2018河南郑州模拟】已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】画出的图象如图所示当时，得或，此时化为，若，则此时有两解或，违背题意，故，此时；若，则关于的不等式恰有一个整数解结合图象可知，可得；若，则关于的不等式恰有一个整数解结合图象可知，可得综上，考向9分段函数与不等式【例18】【2018江苏淮安盱眙中学第一次学情调研】设函数 ，则满足的的解集是 _【答案】【例19】【2018河南林州第一中学10月调研】已知函数，若，且，则的取值范围是（ ）a b c d【答案】a【解析】作出函数f(x)的图象如图，若mn，且f(m)=f(n)，则当ln(x+1)=1时，得x+1=e，即x=e1，则满足0ne1，2m0，则ln(n+1)= m+1，即m=2ln(n+1)2，则nm=n+22ln(n+1)，设h(n)=n+22ln(n+1)，00得1ne1，当h(x)0得0n1，即当n=1时，函数h(n)取得最小值h(1)=1+22ln2=32ln2，当n=0时，h(0)=22ln1=2，当n=e1时，h(e1)=e1+22ln(e1+1)=1+e2=e12，则32ln2h(n)2，即nm的取值范围是32ln2，2)，故选a【例20】【2018河北武邑中学第二次调研】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）a b c d【答案】b点睛：分段函数中求参数范围问题：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求【例21】【2018江苏如皋高一上学期教学质量调研数学试题】已知函数，则满足的实数的取值范围是_【答案】；【解析】若，则，解得，若则，解得，故填【例22】【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高三第一次调研】已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是_【答案】点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路【跟踪练习】1【2018江苏省扬州高一数学第二次学情测试】已知函数，若函数f（x）的值域为r，则实数t的取值范围是 _【答案】-7，2【解析】当时，由于为 上的增函数，当时， 为顶点在开口向上的抛物线，顶点的纵坐标为 ，令解得 ， 或 ，函数，若函数f（x）的值域为r，只需，则实数t的取值范围是 2【2018江西南昌高三上学期摸底】已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为_【答案】考向10分段函数与程序框图【例23】【2018湖南永州一模】执行如图所示的程序框图，输入的值为2，则输出的的值为（ ）a2 b3 c4 d5【答案】d点睛：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理，属于基础题；模拟执行程序，依次写出每次循环得到的，的值，当时不满足条件，退出循环，输出的值即可【例24】【2018海南八校联考】执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的 ( )a2 b4 c10 d28【答案】b【解析】， ，符合题意，从而有=1，不符合题意，故选b点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项【跟踪练习】执行下列程序框图若输出的值是4，则输入的实数的值为（）a1b2c1或2d1或2【答案】d【点评】因为分段函数的自变量在不同的范围内时函数的关系式不同，所以分段函数的问题与算法有着紧密联系，主要是可通过利用程序框图将函数解析式呈现出来，因此解答时根据程序框图确定分段函数的解析式是解答此类试题的突破口与关键点考向11分段函数与实际应用【例25】【2018绵阳一诊】某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米a13 b14 c15 d16【答案】c【解析】设该职工的月实际用水为x立方米，所缴水费为y元，由题意得 ，即根据题意得该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以，解得选c【思路点拨】本题题设条件给出了分段函数的解析式，同时利用表格